1+i

Финансовая математика
Минасян В.Б.
к.ф.-м.н., доцент кафедры корпоративных
финансов ВШФМ РАНХиГС при Президенте РФ.
Certified International Investment Analyst
(CIIA)
Типы моделей
В зависимости от глубины проникновения в реальные
процессы, нужд практики и необходимой точности описания
модели финансовой математики подразделяются на:
•Статические
•Динамические
•Детерминированные
•Стохастические (случайные)
Динамические модели подразделяются на:
•Динамические модели с дискретным временем
•Динамические модели с непрерывным временем
Модели финансовых процессов
Под финансовой математикой, в широком
смысле, понимаются математические модели для
описания процессов, происходящих на
финансовых рынках, описания самих рынков и
финансовых инструментов, применяемых на этих
рынках.
Данные модели применяются для оценки
важнейших финансово-экономических
показателей, описания их взаимной зависимости и
динамики во времени.
Простые методы
Самыми простыми моделями являются
статические детерминированные модели.
Они присутствуют в финансовом менеджменте,
когда мы анализируем ситуацию в данный момент,
с помощью данных взятых из прошлого,
рассматривая значения некоторых значимых
финансовых величин или некоторых их
комбинаций, имеющих важный смысл.
Например, анализируя (диагностируя) ситуацию в
компании с помощью отчетности – применяя
соответствующие коэффициенты.
Что мы успеем рассмотреть
Мы сначала рассмотрим динамические
детерминированные модели с дискретным
временем.
Мы лишь коснемся динамических стохастических
моделей с дискретным временем.
Простейшая ситуация,
требующая введения дискретной модели
В дискретных моделях вводят понятие
стандартного единого промежутка времени (чаще
всего – год). И ситуационно, процесс описывают
через каждый стандартный временной
промежуток.
Простейшая ситуация,
требующая введения дискретной модели
Предположим, что Вы отдали в долг в момент О
сумму Р=PV, и долг должны вернуть через n
стандартных временных промежутков.
Общеизвестно, что должны вернуть сумму:
S = FV = P + I
0
n
P
S=P+I
I – процент,- доход в денежной форме,
выплачиваемый кредитору за пользование его
деньгами.
Схемы начисления процентов
Процентная ставка
Проценты начисляют по процентной ставке i на
стандартном промежутке
I
i
P
I – процент за единичный промежуток времени
Схемы начисления процентов
Схема простых процентов
Проценты в размере i начисляются в конце
каждого стандартного временного промежутка
только на первоначально вложенную сумму Р
Схема сложных процентов
Проценты в размер i начисляются в конце каждого
стандартного временного промежутка, но не
только на первоначальную сумму Р, но и на все
заработанные к этому моменту проценты.
Наращение процентов
Наращение простых процентов
0
P
n
S=P(1+ni)
Наращение сложных процентов
0
P
n
S=P(1+i)
n
Когда сумма Р вкладывается на банковский
депозит, то в договоре между клиентом и банком
фиксируется и ставка и схема начисления
процентов.
Доходность = процентная ставка
При вложении суммы Р в финансовые инструменты
(активы, бизнесы проекты) более сложные, чем
банковский депозит, чаще всего сумма S=FV
оказывается случайной.
Роль процентной ставки i здесь играет ожидаемая
(средняя) доходность от данных вложений за
единичное время.
Машина времени из настоящего
в будущее
Будет ли доходность i сложной или простой ставкой
зависит от вас.
Будете ли вы совершать реинвестирование
полученных доходов в конце каждого единичного
промежутка времени?
n
S=P(1+i) при реинвестировании
S=P(1+ni) без реинвестирования
(1+i) nи (1+ni) соответствующие коэффициенты наращения
Концепция временной ценности денег.
Дисконтирование.
Машина времени из будущего в настоящее
Операция оценки современной ценности вложения
по известной его будущей ценности называется
дисконтированием
Дисконтирование по простой ставке.
0
n
S
P
S
1  ni
Дисконтирование по сложной ставке.
0
n
S
P
S
n
(1  i )
Выбор ставки дисконтирования
Это нетривиальный вопрос.
Иногда, в качестве неё выбирают ставку альтернативной
доходности.
Но финансовая теория рекомендует выбирать требуемую
доходность, зависящую от уровня риска с которым
сталкивается инвестор.
Этот непростой вопрос решается в недрах корпоративных
финансов с помощью различных алгоритмов её оценки в
виде WACC – средне-взвешенной доходности, которая
зависит от стоимости долга и стоимости собственного
капитала инвестора, уровня левериджа с которым он связан и
уровнем структурного риска среды, в которой принимается
решение.
Влияние инфляции на процентную ставку
Формула И. Фишера
1 i
ip 
1
1 h
Где i – номинальная (с учетом инфляции) ставка
i p- реальная ставка (очищенная от инфляции)
h – темп инфляции
ip
Принцип: Номинальные денежные потоки
дисконтировать по номинальным ставкам.
Реальные денежные потоки дисконтировать по
реальным ставкам
Учет векселей по простой
и сложной учетной ставках
Вексель – это ордерная ценная бумага, подтверждающая
безусловное обязательство векселедателя оплатить
определенную сумму векселедержателю в определенное
время в определенном месте.
Учет векселя – это его продажа с передачей права
требования новому владельцу (банку)
Учет векселей, учетная ставка
Банк определяет учетную ставку на стандартном
временном промежутке d.
И тогда учет векселей может происходить по простой и
сложной учетной ставке d.
Учет векселей
по простой учетной ставке
0
P  S (1  nd )
n
S-
Номинальная
ценность векселя
Векселедатель передает вексель банку и получает сумму Р
Учет векселей по сложной учетной ставке
0
n
P  S (1  d ) n
S
Векселедатель передает вексель банку и получает сумму Р
Очевидно, что учет векселей связан с дисконтированием.
Наращение по учетной ставке
Если мы знаем сумму Р, которую получил
векселедержатель при учете векселя, и учетную схему, то
можно определить номинальную ценность векселя по
одной из формул:
O
n
P
P
P
S
,
1  nd (1  d ) n
В зависимости от того d – простая или
сложная учетная ставка
Наращение годовой ставки чаще, чем раз в год
Эффективная ставка
0
jm
m
jm
m
jm
m
jm
m
1
m
2
m
3
m
1 год
m
Jm – годовая номинальная ставка.
Её m-ая доля начисляется в конце каждого интервала деления года на m равных
частей с реинвестированием.
Эффективная годовая доходность
(Эффективная ставка)
jm m
iэфф  (1  )  1
m
Ценность вложения суммы Р через n лет
jm mn
S  P (1  )
m
Понятие денежного потока
Денежным потоком (постнумерандо/пренумерандо) в течение n стандартных
временных промежутков, называется множество денежных платежей или
поступлений в конце, или, соответственно, в начале этих промежутков.
Мы, в основном, будем рассматривать потоки постнумерандо.
CFn 1
0
1
CF1
CF0
CF3
2
CF2
3
n 1
CFn
Понятие денежного потока
Если это денежный поток от инвестиционного
проекта, то рассчитывают чистую приведенную
ценность (NPV) проекта
CFn
CF1 CF2
NPV  CF0 

 ... 
1 i 1 i
(1  i) n
Где i – требуемая ставка доходности
Критерий NPV
Если NPV>0, то проект, может быть, целесообразно
реализовывать.
Если NPV  0 , то нецелесообразно финансирование
проекта
IRR проекта
Критерий IRR
IRR проекта (внутренней ставкой доходности
проекта) называется такая ставка i, при которой
NPV(i)=0
Критерий IRR
Пусть мы определяем IRR проекта, а i – требуемая
ставка доходности.
Если IRR>i, то проект целесообразно реализовывать.
Если IRR  i , то проект нецелесообразно
реализовывать
Оценка аннуитетов
Аннуитетом называется денежный поток, в котором
денежные суммы возникают через равные промежутки
времени.
Мы рассмотрим постоянные аннуитеты, т.е. и сами
суммы постоянны и возникают в конце периодов
0
R
R
R
R
1
2
n-1
n
Будущая ценность аннуитета
S  R  S n ,i
(1  i )  1

i
n
S n ,i
Современная ценность аннуитета
P  R  An ,i
1
1
n
(1  i)
An,i 
i
Перпетуитет
Вечный постоянный аннуитет (постнумерандо) называется
перпетуитетом
Современная ценность перпетуитета
R
P
i