Решение уравнений с модулями 9 класс

Тема: Решение уравнений с
модулями(9 класс)
Автор: учитель математики
Яблокова М. В.
МОУ Сусанинская средняя
общеобразовательная школа.
Основная цель: показать
алгебраически, геометрически
методы решения уравнений с
модулем. Предусмотреть
возможность творчества
учащихся.
История математики свидетельствует о том, что оба
метода алгебраический и геометрический,
развивались в тесной взаимосвязи.
Интеграция алгебраического и геометрического
методом может происходить в двух случаях.
В первом случае берется алгебраическая
(геометрическая) задача, решаемая двумя
методами, и решается вначале алгебраическим
методом, затем происходит перевод ее на
геометрический язык, и она решается
геометрическим методом, или наоборот.
Во втором случае происходит слияние
алгебраического и геометрического методов в один
метод.
Проиллюстрируем интеграцию алгебраического и
геометрического методов на примерах по теме
«Решение уравнений с модулями».
Основное содержание.
I.
Подготовительный этап – актуализация
базовых знаний и умений, объяснение и
мотивация эстетическими соображениями
цели предстоящей работы.
Методические рекомендации:
Чтобы научиться решать такие уравнения
надо твёрдо знать и помнить определение
модуля числа
Выполните устно:
1)Решите уравнение:
12х-1=3х+7; -3=-6x+15; -15x+3=-(15x-3)
(х-5)(х+19)=0; 8x=9+8x;
x2+x-6=0; x2-5x+6=0;
2)Назовите число ,противоположное
данному : 7;2,5;-49;х;5х-7;11+3х;-20х-6
Определение модуля чиcла X: модулем
действительного числа X называется само
число X, если оно положительно; и
противоположному ему числу, если X
отрицательное.
x

x , x 0
 x , x 0

Функциональный смысл: y  x - есть кусочнолинейная функция.
2
x

x
Алгебраический смысл:
, где символом t
арифметический квадратный корень из числа
t.
Геометрический смысл: x есть расстояние от
начала координат до точки с координатой x
Свойства модуля для
любого
действительного
числа x:
x  0,
x   x,
x  x2 ,
2
xy  x  y ,
x x
 ,
y y
x  y  x  y.
БЛОК1. Уравнения с модулем вида
If(x)I=b , f(x)-некоторая функция,
b>0
Задание 1. Решите уравнение:
а) x  5
б) x  6  3
в) 3x  2  4
2
г) x  6  15
Для сравнения: х+1 + х+2 =2
Решение уравнения
x6  3
1 способ: Исходя из геометрического
смысла модуля, следует найти на
координатной прямой точки, расстояние
от которых до точки с координатой 6
равно 3.
Получим x=9 или x=3
2 способ: По определению модуля x-6=3
или x-6=-3
Получим x=9 или x=3
Ответ: 3;9.
БЛОК2. Уравнения с модулем
вида If(x)I=g(x), где некоторые
функции f x, g x
Задание1. Решите уравнение x-4 =4x+1;
2x-5 =x-1 Ответ: 4;2.
БЛОК3. Уравнения вида
If(x)I=Ig(x)I
Задание1. Решите уравнение 2 x  5  x  1
БЛОК4. Уравнения содержащие
несколько модулей.
Задание1. Решите уравнение:
а) x  7  9  x  18
б) x  5  6  x  11
Решение уравнения
x  7  9  x  18
Решение:
Находим нули выражений стоящих под знаком модуля:
x-7=0, x=7; 9+x=0, x=-9.
Числа -9 и 7 разбивают координатную прямую на три промежутка: x≤-9; -9<x<7; x≥7.
Решим исходное уравнение на каждом из промежутков
x9,
x9,
1) x9,



7  x 9 x 18, 2 x 20, x 109 .
Решением системы является число -10
2) 9 x7 ,
9 x7 , 9 x7,
7  x 9 x 2, 0 x 2,
x.



Система не имеет решений.
x 7 ,
x 7 ,
3) x7,
x 7 9 x 18, 2 x 16, x 87 .



Решением системы является число 8.
Ответ: -10; 8.
БЛОК5. Сложный модуль.
Задание1. Решите уравнение
а) x  1  4
б) x  1  2  3
Решение уравнения
x 1  2  3
Решение можно начать с раскрытия «внутреннего»
модуля.
1)Если x  1  0, òî x -1  x  1  x  1  2  3, x - 3
Решением уравнения являются числа
x1  0 1 ложно
x2  6 1
Если
x 1  0,  x 1  1  x,  x 1  2
Решением уравнения являются числа
x1  2 1 ложно
x2  4 1
Ответ: -4; 6.
3
 3,  x 1  3
Решить самостоятельно
I вариант
1) Решите уравнение:
II вариант
1) Решите уравнение:
2x  5  9
4x 1  2
x  x2  2
x2  4 x 3
Графики простейших функций,
содержащих знак абсолютной
величины
Под простейшими функциями понимают алгебраическую сумму
модулей линейных выражений. Сформулируем
утверждение, позволяющее строить графики таких функций,
не раскрывая модули. (Что особенно важно, когда модулей
достаточно много.):»Алгебраическая сумма модулей nлинейных выражений представляет собой кусочно-линейную
функцию, график которой состоит из n+1-прямолинейного
отрезка. Тогда график может быть построен по n+2 точкам, n
из которых представляют собой корни внутримодульных
выражений, ещё одна – произвольная точка с абсциссой,
меньшей меньшего из этих корней и последняя – с
абсциссой, большей большего из корней.
Например:
Графики простейших
функций,содержащих знак
абсолютной величины
F(x)=|x-1|
F(x)=|x-1|+ |x-2|+ |x-3|
F(x)=|x-1|+ |x-2|
F(x)=|x-1|- |x-2|
Источники:
«Математические олимпиады»
Авторы:Р.И.Довбыш, Л.Л.Потемкина,
изд.«Феникс», Ростов-на-Дону,2006
Учебно-математический журнал
«Математика в школе» №4,2007
Учебно-методическая газета
«Математика» Изд.«Первое сентября»
№17,2007
«Элементарная математика и начала
анализа» Автор:
В.Г.Агаков,Изд.ЧГУ,Чебоксары,2001