Винник, Гребенщикова

Методы решения
тригонометрических
уравнений
Выполнили: Винник Эдгар,
Гребенщикова Каролина.
Руководитель: Щепеткова Н.В.
2010 год
Простейшие тригонометрические уравнения - это уравнения вида:
sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a. .
Каждое из таких уравнений решается по формулам, которые следует
знать. Вот эти формулы:
1.
(sin x = a) x = arcsin a +2πn или x = π-arcsin a +2πn, nεZ.
2.
(cos x = a) x = arccos a +2πn или x = -arccos a +2πn, nεZ.
3.
(tg x = a) x = arctg a +πn
4.
(ctg x = a) x = arcctg a +πn, nεZ.
Способы решения тригонометрических уравнений:
решение линейных и квадратных уравнений относительно
тригонометрических функций, уравнивание одноименных
функций, приведение тригонометрических уравнений к
уравнению относительно одной функции одного и того же
аргумента, графическое решение линейного уравнения
относительно синуса и косинуса и с решение уравнений вида
f(x)g(x)=0.
Вы умеете решить любое линейное и квадратное уравнение. И
научились решать простейшие тригонометрические
уравнения. Это значит, что вы сможете решить любое
линейное или квадратное уравнение относительно sin x=a, cos
x=a, tg x=a или
ctg x=a.
3sin x+2=0 - линейное уравнение относительно выражения
sin x ; из него получаем простейшее тригонометрическое
уравнение sin x=-2/3 . По известной формуле,
x=arsin(-2/3)+πn.
Ответ: {arsin(-2/3)+2πn; π-arsin(-2/3)+2πn, nεZ}
Второй метод состоит в том, что приравниваются друг к другу
два синуса, либо два косинуса, либо два тангенса, либо два
котангенса. То есть уравнение сводится к виду sin y=sin z,
либо cos y=cos z, либо tg y=tg z, либо ctg y=ctg z, где y и z выражения от неизвестного х.
Из этого следует, что (sin y=sin z) (y=z+2πn или y=π-z+2πn),
(cos y=cos z) (y=± z+2πn),
(tg y=tg z) (y=z+π),
(ctg y=ctg z) (y=z+2πn или y=π-z+2πn),
Частные случаи:
a = -1
a=0
a=1
sinx = –1
sin x = 0
sin x = 1
x = –π/2 + 2πk, kεZ
x =πk, kεZ
x=π/2+2πk,kεZ
y
y
y
π/2
x
–π/2
π
0
x
x
a = –1
a=0
a=1
cos x = –1
cos x = 0
cos x = 1
x = π+2πk, kεZ
x =π/2+πk, kεZ
x = 2πk, kεZ
π/2
π
x
x
0
x
Бывает и так, что вы не можете применить ни один из
двух рассмотренных методов: не получается ни
линейных, ни квадратных уравнений и не
приравниваются ни синусы, ни косинусы, ни
тангенсы, ни котангенсы. В таком случае попробуйте
преобразовать имеющиеся выражения, стараясь
сделать одинаковыми выражения, стоящие под
знаком синуса, косинуса, тангенса и котангенса;
выразить все имеющиеся синусы, косинусы,
тангенсы и котангенсы через один из них.