q (x,t)

ДИНАМИКА
СООРУЖЕНИЙ
ДИНАМИКА СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
С РАСПРЕДЕЛЁННЫМИ МАССАМИ
2
Динамическое растяжение/сжатие
прямолинейного стержня с распределённой массой
~ ( x)  m
~ ( x)  m
~ ( x)
m
u(x,t)
соб
пр
x
F(t)
~ ( x)
A(x)
 ρ ( x)  A ( x )  m
пр
интенсивность
сил инерции
aq
aF
N0 (t)
0
q(x,t)
N ( x, t )
N(x,t) qin(x,t) N ( x, t ) 
dx
x
qin(x,t) q(x,t)
dx
F(t)
q(x,t)
qf (x,t) – сопротивление
x 1. Статическая
вязкой среды
сторона задачи: Sx = 0
N ( x, t )
 q( x, t )  qin( x, t )  q f ( x, t ) ( 1)
dx
x
3. Физическая сторона задачи:
2. Геометрическая сторона задачи
(соотношение Коши):
N ( x, t )
–
закон
Гука:
( 3а )
ε
(
x,
t
)

u ( x, t ) ( 2 )
EA
(
x
)
ε ( x, t ) 
– закон
x
~

( 3б )
инерции:
x
N ( x, t )  EA ( x)
qf (x,t)
u ( x, t )
x
– модель
вязкого
трения:
qin ( x, t )  m ( x) u ( x, t )
q f ( x, t )  k f ( x) u ( x, t )( 3в )
Динамическое растяжение/сжатие
прямолинейного стержня с распределённой массой
~ ( x)  m
~ ( x)  m
~ ( x)
m
u(x,t)
соб
пр
x
F(t)
~ ( x)
A(x)
 ρ ( x)  A ( x )  m
пр
интенсивность
сил инерции
aq
aF
N0 (t)
0
q(x,t)
N ( x, t )
N(x,t) qin(x,t) N ( x, t ) 
dx
x
qin(x,t) q(x,t)
F(t)
dx
q(x,t)
qf (x,t) – сопротивление
x 1. Статическая
x
dx
N ( x, t )  EA ( x)
qf (x,t)
u ( x, t )
x
вязкой среды
сторона задачи: Sx = 0
N ( x, t )
 q( x, t )  qin( x, t )  q f ( x, t ) ( 1)
x
3. Физическая сторона задачи:
– закон
~ ( x) u
 ( x, t )
инерции: qin ( x, t )  m
– модель
 ( x, t )
вязкого q f ( x, t )  k f ( x) u
трения:
Динамическое растяжение/сжатие
прямолинейного стержня с распределённой массой
~ ( x)  m
~ ( x)  m
~ ( x)
m
u(x,t)
соб
пр
x
F(t)
~ ( x)
A(x)
 ρ ( x)  A ( x )  m
пр
интенсивность
сил инерции
aq
aF
N0 (t)
0
q(x,t)
N ( x, t )
N(x,t) qin(x,t) N ( x, t ) 
dx
x
qin(x,t) q(x,t)
F(t)
dx
q(x,t)
qf (x,t) – сопротивление
x 1. Статическая
x
dx
qf (x,t)
вязкой среды
сторона задачи: Sx = 0
N ( x, t )
 q( x, t )  qin( x, t )  q f ( x, t ) ( 1)
x
2

u
(
x
,
t
)

u ( x, t )
u ( x, t )
~


 EA ( x)
 m ( x)
 k f ( x)
 q ( x, t )
2


x 
x 
t
t
Динамическое растяжение/сжатие
прямолинейного стержня с распределённой массой
~ ( x)  m
~ ( x)  m
~ ( x)
m
u(x,t)
соб
пр
x
F(t)
~ ( x)
A(x)
 ρ ( x)  A ( x )  m
пр
интенсивность
сил инерции
aq
aF
N0 (t)
0
q(x,t)
qin(x,t) q(x,t)
N ( x, t )
N(x,t) qin(x,t) N ( x, t ) 
dx
x
F(t)
dx
q(x,t)
qf (x,t) – сопротивление
вязкой среды
x Частные случаи:
qf (x,t) 1. Дифференциальное уравнение
x
dx вынужденного движения растянутого/сжатого
прямолинейного стержня переменного сечения
с неравномерно распределённой массой
массой,
без(сопротивление
учёта демпфирования
– по модели
(сопротивления
Фойгта) )
2
2

u
(
x
,
t
)


u
(ux(,xt ), t )

u
(
x
,
t
)

~
~




 EA ( x)
 EA
m ((xx))
km
))
 q(qx,( x,
t)t)
f ((xx
2
2




x 
x x 
t t
tx 
– уравнение в частных производных с переменными коэффициентами
Динамическое растяжение/сжатие
прямолинейного стержня с распределённой массой
~ ( x)  m
~ ( x)  m
~ ( x)
m
u(x,t)
соб
пр
x
F(t)
~ ( x)
A(x)
 ρ ( x)  A ( x )  m
пр
интенсивность
сил инерции
aq
aF
N0 (t)
0
q(x,t)
qin(x,t) q(x,t)
N ( x, t )
N(x,t) qin(x,t) N ( x, t ) 
dx
x
F(t)
dx
q(x,t)
x Частные случаи:
x
2.
1. Дифференциальное уравнение
dx вынужденного движения растянутого/сжатого
прямолинейного стержня постоянного
переменного сечения
сечения
сснеравномерно
равномерно распределённой
распределённоймассой,
массой,
без учёта демпфирования (сопротивления )
2
2
2
~

u
(
x
,
t
)

u ( x, tq)( x, t )

u
(
x
,
t
)

u
(
x
,
t
)
~
Волновое


 EA ( x)
m
   m ( x)2 2  q ( x, t )
2

уравнение
x 
EA
t

x x EA
t
– уравнение в частных производных с переменными
постоянными коэффициентами
коэффициентами
Динамическое растяжение/сжатие
прямолинейного стержня с распределённой массой
~ ( x)  m
~ ( x)  m
~ ( x)
m
u(x,t)
соб
пр
x
F(t)
~ ( x)
A(x)
 ρ ( x)  A ( x )  m
пр
интенсивность
сил инерции
aq
aF
N0 (t)
0
q(x,t)
qin(x,t) q(x,t)
N ( x, t )
N(x,t) qin(x,t) N ( x, t ) 
dx
x
F(t)
dx
q(x,t)
x Частные случаи:
x
2. Дифференциальное уравнение
3.
dx гармонического
вынужденного движения
движениярастянутого/сжатого
растянутого/сжатого
Решение уравнения: прямолинейного стержня постоянного сечения
с равномерно распределённой массой,
u ( x, t ) u ( x, t )  u( x, t )
u ( x, t )   u j ( x)  sin( ω j t  0 j ) без учёта демпфирования (сопротивления )
~ ω22u ( x, t ) q(qx( x,
2 2
j 1
~
d
u
(
x
)
) t)
m

u
(
x
,
t
)
Волновое
F
полигармоническая
m


u
(
x
)




собственная
2 2 
2
уравнение
EA
EA
EA
EA
составляющая
xdx
t
– уравнение в частных производных
– уравнениес впостоянными
амплитудах перемещений
коэффициентами
Динамическое растяжение/сжатие
прямолинейного стержня с распределённой массой
~ ( x)  m
~ ( x)  m
~ ( x)
m
u(x,t)
соб
пр
x
F(t)
~ ( x)
A(x)
 ρ ( x)  A ( x )  m
u0(t)
пр
интенсивность
сил инерции
aq
aF
q(x,t)
qin(x,t) q(x,t)
N0 (t)
0
N ( x, t )
N(x,t) qin(x,t) N ( x, t ) 
dx
x
F(t)
dx
q(x,t)
x Частные случаи:
x
3. Дифференциальное уравнение
dx гармонического движения растянутого/сжатого
Решение уравнения: прямолинейного стержня постоянного сечения
При q(x) = const = q
с равномерно распределённой массой,
N
без учёта демпфирования (сопротивления )
u ( x)  u cos kx  0 sin kx 
0
kEA
  F sin k( x  aF ) 
kEA
q
 1  cos k( x  aq )
 2
k EA
~ ω2
d 2 u ( x) m
q( x)
F


u
(
x
)


EA
EA
dx 2
– уравнение в амплитудах перемещений
Динамическое растяжение/сжатие
прямолинейного стержня с распределённой массой
~ ( x)  m
~ ( x)  m
~ ( x)
m
u(x,t)
соб
пр
x
F(t)
~ ( x)
A(x)
 ρ ( x)  A ( x )  m
u0(t)
пр
Частные случаи:
aq
N0 (t)
0
3. Дифференциальное уравнение
4.
гармонического
движения
собственных
колебаний
растянутого/сжатого
F(t)
прямолинейного стержня
x постоянного сечения
с равномерно распределённой массой,
без учёта демпфирования (сопротивления )
dx
~ ω2
m
d 2u ( x
d)2u ( x2)
q
(
x
)
2
F
,
где
k


k

u
(
x
)



k

u
(
x
)

0
2
2
EA
EA
dx
dx
wtF t
* sin w
q(x,t)
aF
qin(x,t) q(x,t)
x
F(t) = F
q(x,t) = q(x)
u(x,t) = u(x)
qin (x,t) = qin (x)
– уравнение в амплитудах перемещений
u0(t) = u0
N0(t) = N0
Решение уравнения по МНП при q(x) = const
0: = q:
u ( x)  u0 cos kx 
q
N0
–
силаинерции
1  cos kточечной
( x  aq )
sin kx   F sin k ( x  aFF)) F(t)
 k 2массы
kEA
kEA
EA или реакция
упругой продольной связи
Динамическое кручение
прямолинейного стержня с распределённой массой
(x,t) – угол закручивания
x
~ ( x)  ρ ( x)  A ( x)
A(x)
m
M(t)
am
aM
m (x,t)
M0 (t) min(x,t)
0
x
min
M t ( x, t ) 
Mt (x,t)
M (t)
m(x,t)
интенсивность
инерционных
(x,t) моментов
dx
M t ( x, t )
dx
x
m (x,t)
Статическая
x 1.сторона
задачи: S mx = 0
Mt ( x, t )
 m ( x, t )  min( x, t ) ( 1 )
x
3. Физическая сторона задачи:
2. Геометрическая сторона задачи
(погонный угол закручивания):
M t ( x, t )
–
закон
Гука:
( 3а )
θ(
x,
t
)

 ( x, t )
GI
(
x
)
(2)
θ( x, t ) 
– закон
~ t
x
 ( x, t ) ( 3б )
инерции: min ( x, t )   I m ( x) 
dx
2


(
x,
t
)

 (I~x,(tx))  ρ I ( x)
 (x,t )

GIt ( x)
  I p ( x) 
 mp( x, t )
Mt ( x, t )  GIt ( x)
m
2
x 
x 
t
Динамическое кручение
прямолинейного стержня с распределённой массой
(x,t) – угол закручивания
x
~ ( x)  ρ ( x)  A ( x)
A(x)
m
M(t)
am
aM
M0 (t) min(x,t)
0
x
m (x,t)
min
интенсивность
инерционных
(x,t) моментов
M t ( x, t ) 
Mt (x,t)
M (t)
dx
M t ( x, t )
dx
x
m (x,t)
Статическая
x 1.сторона
задачи: S mx = 0
Mt ( x, t )
m(x,t)
 m ( x, t )  min( x, t ) ( 1 )

x
Дифференциальное уравнение
dx
вынужденного движения при кручении
прямолинейного стержня переменного сечения
с неравномерно распределённой массой,
без учёта демпфирования (сопротивления )
2


(
x,
t
)

   I ( x)   ( x, t )  m( x, t )
  GI ( x)
p
x  t
x 
t 2
Динамическое кручение
прямолинейного стержня с распределённой массой
(x,t) – угол закручивания
x
~ ( x)  ρ ( x)  A ( x)
A(x)
m
M(t)
am
aM
m (x,t)
M0 (t) min(x,t)
0
min
интенсивность
инерционных
(x,t) моментов
M t ( x, t ) 
Mt (x,t)
dx
M (t)
M t ( x, t )
dx
x
m (x,t)
x
x
m(x,t)
Частные случаи:
1. Дифференциальное уравнение
вынужденного движения при кручении
Решение уравнения:
прямолинейного стержня постоянного
переменного сечения
сечения
 ( x, t )   ( x, t )  ( x, t )
равномерно распределённой
сснеравномерно
распределённоймассой,
массой,
( x, t )    j ( x)  sin( ω j t  ф0 j ) без учёта демпфирования (сопротивления )
j 1
2
2
2
полигармоническая
Волновое

I


(
x,
t
)

) ( x, t )


(
x,
t
)


(
x,
t
) ( x, tm
p

  GI ( x)
собственная


I
(
x
)

 m( x, t )




t
p
составляющая
2
2
2
уравнение
x 
GIt
t
x x GIt
t
dx
Динамическое кручение
прямолинейного стержня с распределённой массой
(x,t) – угол закручивания
x
~ ( x)  ρ ( x)  A ( x)
A(x)
m
M(t)
am
aM
m (x,t)
M0 (t) min(x,t)
0
min
интенсивность
инерционных
(x,t) моментов
M t ( x, t ) 
Mt (x,t)
dx
M (t)
M t ( x, t )
dx
x
m (x,t)
x
x
m(x,t)
Частные случаи:
1.
2. Дифференциальное уравнение
вынужденного движения
приколебаний
кручении
гармонических
крутильных
Решение уравнения:
прямолинейного стержня постоянного сечения
 ( x, t )   ( x, t )  ( x, t )
с равномерно распределённой массой,
( x, t )    j ( x)  sin( ω j t  ф0 j ) без учёта демпфирования (сопротивления )
j 1
2
22
2
полигармоническая
Волновое

I

I
ω
d

(
x
)


(
x,
t
)


(
x,
t
)
m
(
x
)
m
(
x,
t
)
p
F
2 p
собственная
,
k


k


(
x
)






составляющая
уравнение
GIt
GIt GIt
dx
x22
t 2 GIt
dx
Динамическое кручение
прямолинейного стержня с распределённой массой
(x,t) – угол закручивания
x
0(t)
~ ( x)  ρ ( x)  A ( x)
A(x)
m
M(t)
am
aM
m (x,t)
M0 (t) min(x,t)
0
min
интенсивность
инерционных
(x,t) моментов
M t ( x, t ) 
Mt (x,t)
dx
M (t)
M t ( x, t )
dx
x
m (x,t)
x
x
m(x,t)
Частные случаи:
3.
2. Дифференциальное уравнение
собственных
гармоническихкрутильных
крутильныхколебаний
колебаний
Решение уравнения:
прямолинейного стержня постоянного сечения
При
( x, t )m(x)
 (=x, const
t )  (=x,mt )
с равномерно распределённой массой,
M0 


( x) 
 (x0 )cos
kx0 cos
 kx
sin kx  без учёта демпфирования (сопротивления )
kGIt
M
M0
22
2
sink( x  M
aM ) sin k ( x  a 2)
 
sin kx

I
ω
d

(
x
)
m
(
x
)
kGI
d

(
x
)
M
pp F
 kGIt
2
2
t
kGI
,
k


k


(
x
)



k


(
x
)

0
t
m
2
2
 1  cos k( x  am )
 2
GIt
GIt
dx
dx
k GIt
dx
Понятие о динамических расчётах стержневых систем
с распределёнными массами методом перемещений
при гармонических колебаниях
F(t) = F
q(x,t) = q(x)
M(t) = M
J1 (t) = J1
qin, y(x,t) qin, x(x,t)
ZnZ (t)
Zn+2 (t)
Z1 (t)
q(x,t)
~
M(t)
m (x)
Zi (t)
J1 (t)
Zn+1 (t) Ji (t)
Zk (t)
Jn (t) = Jn
qin, x(x,t) = qin, x (x)
qin, y(x,t) = qin, y (x)
Z1 (t) = Z1
F(t)
Jk (t)
Jn
(t)
Zn (t)
r
Zk   rii  mi ω  Zi 
r
Zk  RiΣ  0, i  n  1, nZ
k 1
nZ
k 1
ik
ik
2
F
bj
nZ
r
k  i 1
ik
Zk  RiΣ  0, i  1, n
Типовые задачи
для элементов ОСМП –
с учётом сил инерции q = 1 qin, y(x)
bj
распределённых масс:
ij = EIj /lj
4ij * y2(n4ij )j
sin wF t
Zn (t) = Zn
Канонические уравнения МП в амплитудах перемещений
i 1
*
r0  Z  R0,Σ  0
nZ – n
ej
r0  r0  ω2F  diag  m1 0 0 0  ;
r0  a т Ka ; R0,Σ  a т SΣ  c т Fu
2ij * y3(nj )
~ ω2 / EI
ν j  kj lj  lj m
j F
j
ψ3 (ν j ) 
ν j sh ν j  sin ν j

2 1  ch ν j  cos ν j
Усилия в типовых изгибаемых элементах плоских стержневых ОСМП
с распределёнными массами
от гармонических смещений концевых сечений с единичной амплитудой
От линейного смещения
Элемент 1-го типа
От углового смещения
6 ij
ψ (ν )
lj 5 j
bj EIj = const ej
qbj = 1
6 ij
ψ (ν )
lj 6 j
2ij * y3(nj )
М
4ij * y2(nj )
qin(x)
12 i j
ψ10 (ν j )
12 i
l j2
qin(x) 2 j ψ11 (ν j )
lj
bj
ej
6 ij
ψ (ν )
lj 5 j
Dj = 1
М
6 ij
ψ (ν )
lj 6 j
ν ( сh ν j sin ν j  sh ν j cos ν j )
ν ( sh ν j  sin ν j )
ν j  ch ν j sin ν j  sh ν j cos ν j 
ψ 3 (ν j )  j
ψ10 (ν j ) 
2 Ф1(ν j )
12 Ф1(ν j )
4 Ф1(ν j )
2
2
ν j ( ch ν j  cos ν j )
ν j sh ν j sin ν j
ν3j ( sh ν j  sin ν j )
ψ6 (ν j ) 
ψ5 (ν j ) 
ψ11 (ν j ) 
Ф1(ν j )  1  ch ν j cos ν j
6 Ф1(ν j )
6 Ф1(ν j )
12 Ф1(ν j )
3
j
ψ 2 (ν j ) 
3ij
ψ (ν )
lj 4 j
Элемент 2-го типа
lj
ej
bj
qbj = 1
qin(x)
3ij
ψ 8 (ν j )
l j2
qin(x)
3ij
ψ (ν )
lj 7 j
М
3ij * y1(nj )
bj
vbj = 1
3ij
ψ 9 (ν j )
l j2
bj
3ij
ψ9 (ν j )
l j2
ej
3 ij
ψ12 (ν j )
l j2
3i j
ψ (ν )
lj 4 j
М
3i j
ψ (ν )
lj 7 j М
2ν j sh ν j sin ν j
vej = 1
3Ф2(ν j )
qin(x)
ej
ν2j ( ch ν j sin ν j  sh ν j cos ν j )
2ν2j ( ch ν j cos ν j )
ν2j ( ch ν j  cos ν j )
ψ4 (ν j ) 
ψ9 (ν j ) 
ψ8 (ν j ) 
3Ф2(ν j )
3Ф2(ν j )
3Ф
(ν
)
2
j
2
ν2j ( sh ν j  sin ν j )
Ф2 (ν j )  3 (ch ν j sin ν j  sh ν j cos ν j )
ν ( 1  ch ν j cos ν j )
ψ7 (ν j ) 
ψ12 (ν j )  j
3Ф2(ν j )
3Ф (ν )
ψ1 (ν j ) 
ij = EIj /lj
~ ω2 / EI
ν j  kj lj  lj m
j F
j
2
j