Линейные уравнения 2-го порядка с постоянными

Линейные уравнения 2-го
порядка с постоянными
коэффициентами
Лекция 6
Вывод формул общего
решения ЛОУ 2-го порядка
Корни характеристического уравнения
k1, 2
p
 
2
p2
q
4
p2
Случай 1. Если
, то
q 0
4
характеристическое уравнение имеет два
различных действительных корня k1  k 2  R
В этом случае общее решение имеет вид
k1 x
k2 x
y  C1e  C 2 e .
Продолжение
p2
q 0
4
Случай 2. Если
, то
характеристическое уравнение имеет
одинаковые корни k1  k 2  k
.
Частные решения ЛОУ выбираем так,
чтобы они были линейно независимыми:
kx
kx
y1 e
y 2  xe .
и
Общее решение ЛОУ 2-го порядка будет
kx
y

e
(C1  xC2 ) .
иметь вид
Продолжение
2
p
q 0
Случай 3. Если
4
, то
характеристическое уравнение имеет два
комплексно-сопряженных корня
p
k1    i и k 2    i , где   
2
2
p
и   q
.
4
Общее решение ЛОУ 2-го порядка в
действительной форме можно записать
в виде y  ex (C cos x  C sin x)
1
2
Общее решение ЛОУ 2-го порядка в
зависимости от корней
характеристического уравнения
1. Если k1  k 2  R, то y  C1e k1x  C 2 e k2 x
x
y

e
(C1  xC2 )
2. Если k1  k 2  k , то
3. Если k1 , 2    i , то
x
y  e (C1 cos x  C2 sin x)
4. Если k1 , 2  i , то
y  C1 cos x  C2 sin x
Пример
Найти общее решение уравнения
y   y   12 y  0.
Составим характеристическое
уравнение y   y   12 y  0. Его корни
действительны и различны:k1  4, k2  3 .
Поэтому общее решение
4 x
3x
y  c1e  c2 e
Пример
Решить уравнение y+4y+4y =0.
Характеристическое уравнение
k 2  4k  4  0
имеет два кратных корня k1, 2  2 ,
поэтому искомое общее решение
2 x
y  e ( c1  c2 x ) .
Пример
Решить уравнение y+4y+13y =0.
Составим характеристическое
уравнение k 2  4k  13  0 . Корни
этого уравнения k1,2  2  4  13  2  3i
комплексно-сопряженные. Общее
решение исходного уравнения:
2 x
.
y  e ( c1 cos 3x  c2 sin 3x )
Теорема о структуре общего решения
линейного дифференциального уравнения
2-го порядка
Общее решение уравнения
y+py+qy = f(x),
где p и q постоянные, а f(x)0 ,
равно сумме общего решения
однородного уравнения y+py+qy =0
и какого-нибудь частного решения
неоднородного уравнения, т. е.
~
y  y0  y .
Подбор частного решения ЛНОУ по
виду правой части методом
неопределенных коэффициентов
1. Пусть f ( x)  ae . Тогда частное
решение ищут в виде:
mx
~
а)если k1  m, k2  m , то y  Ae
mx
~
б)если k1  m, k2  m , то y  xAe
2
mx
~
y

x
Ae
в)если k1  m, k2  m , то
mx
Продолжение
2. Пусть f ( x )  Pn ( x )  e , где Pn ( x ) заданный многочлен . Тогда частное
решение уравнения ищут в виде:
а)если k1  m, k 2  m , то ~
y  Qn ( x )  e mx
mx
~
k

m
,
k

m
y

xQ
(
x
)

e
б)если 1
, то
2
n
2
mx
~
k

k

m
в)если
, то y  x Qn( x )  e ,
1
2
где Qn ( x ) = A0 x n  A1 x n 1  ...  An 1 x  An
-многочлен с неопределенными
коэффициентами.
mx
В правой части уравнениямногочлен
1.Пусть f ( x )  Pn ( x ) , где Pn ( x ) заданный многочлен. Это частный
случай f ( x )  Pn ( x )  e mx при m =0. Тогда
y  Qn ( x );
а)если k1  0, k2  0 , то ~
~
б)если k1  0, k2  0 , то y  xQn ( x );
2
~
в)если k1  k 2  0 , то y  x Qn ( x ).
В правой части уравнениятригонометрический полином
x
f
(
x
)

e
( Pn ( x) cos x  Qm ( x) sin x)
5. Пусть
где степени многочленов Pn (x) и Qm (x)
вообще говоря различны. Тогда
а)если k1 , 2    i , то частное
решение ищут в виде
x
~
y  e (Tl ( x) cos x  Rl ( x) sin x)
где степени многочленов Tl (x) и Rl (x)
равны l  max( n, m).
Продолжение
б)если k1 , 2    i, то частное решение
ищут в виде:
~
y  xex (Tl ( x) cos x  Rl ( x) sin x)
Пример: указать вид частного решения
уравнения y   2 y   5 y  xe x sin 2 x .
Характеристическое уравнение
2
k  2k  5  0 имеет:Д=-16 и корни
 2  4i
k1, 2 
 1  2i , а решение имеет вид
2
~
y  xe x (( Ax  B) cos 2 x  (Cx  D) sin 2 x)
Решить уравнение y   3 y   2 y  3e .
2
k  3k  2  0 . Корни этого уравнения
k1  1, k2  2 действительны и
различны, поэтому общее решение
соответствующего однородного
x
2 x
уравнения имеет вид y 0  c1e  c2 e .
Составим частное решение
неоднородного уравнения
по
виду
2x
правой части: f ( x )  3e .
2x
Продолжение
Среди корней характеристического
уравнения нет равных числу m =2.
2x
~
~
Поэтому ищем y в виде: y  Ae , где
А – неопределенный коэффициент .
2x
2x
2
~
~

y  Ae 2, y   Ae  2 . Подставим
~
~
~
y , y , y  в уравнение. Имеем
2x
2x
2x
2x
4 Ae  3 A  2e  2 Ae  3e . Далее
имеем 12А=3 и А= ¼.
1 2x
1 2x
~
x
2 x
y  e , y  c1e  c2 e  e
4
4