Методы решения уравнений.

Методы решения
уравнений.
Сведение к однородному.
Над проектом работал Шантыр
Антон.
Применение метода сведения к
однородному в решении
уравнений.
•
•
Воспользовавшись тригонометрическим тождеством уравнение вида
R(sinx+cosx,sinxcosx)=0, где, R-рациональная функция может быть сведено к уравнению
относительно неизвестного
t=sinx+cosx.
2
t 1
(sin x  cos x) 2  sin 2 x  2 sin x cos x  cos 2  1  sin 2 x.
2
•
(cos 2 x  sin 2 x)  1
(cos x  sin 2 x)  1
2
•
•
•
•
•
1t 2t 21
R(t 2,
)0
t  12
R(t ,
)
2
Из которого следует,что sinxcosx=
t 2 t21 1
R
(
R
t
,
(
t , )илиR
) (sin x  cos x, sin x cos x)  0
Учитывая это, уравнение можно привести к виду
2 2
Аналогично можно преобразовать уравнение вида 1  t 2
R(t , 1  t 2 )  0
Заменой sinx-cosx=t сводится к уравнению
R(t , 2 )  0
2
(sin x  cos x) 2  sin 2 x  2 sin x cos x  cos 2  1  sin 2 x.
•
Решение задач на этот метод.
Номер 501 (а).
t2
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Решая эти, уравнения у меня возникли трудности. Эти уравнение можно решить
только моим методом. Sin2x+2sinx=2-2cosx; 2sinx+2cosx+sin2x-2=0;
Пусть sinx+cosx=t; sinxcosx= t  1
2
Sin2x=2sinxcosx; Значит, 2t+ t -1-2=0; t +2t-3=0; D=4+12=16;
t =1;
t =-3;
-3 условию задачи не корректно.
Значит, sinx+cosx=1;
Возведем обе части уравнения в квадрат: (sin x  cos x)  1  sin 2 x
1+sin2x=1;
Sin2x=0; 2x=пк;
пк
X= 2
Ответ: пк
2
2
1
2
2
2
2
Другие методы решения
тригонометрических уравнений.
•
•
•
•
•
•
•
•
•
1. Решение уравнений разложением на множители.
Решить уравнение: sin4x=3cos2x; Решение: воспользуемся формулой двойного угла и запишем уравнение в виде:
2sin2xcos2x=3cos2x; Перенесем все члены уравнения влево и
разложим левую часть на множители: 2sin2xcos2x-3cos2x=0;
(2sin2x-3) cos2x=0; Решим два уравнения по отдельрости:
2sin2x-3=0; 2sin2x=3; sin2x=1,5; нет решений.
Cos2x=0;
п
2x= 2  пк
X= п  пк
4
2
• Ответ:
п пк

4 2
Преобразование суммы или
разности в произведение.
 Решить уравнение: cos3x+sin2x-sin4x=0;










Решение: Преобразуем разность синусов в
произведение:cos3x+(-2sinxcos3x)=0;
Cos3x(1-2sinx)=0; Полученное уравнение является совокупностью двух уравнений:
cos3x=0; sinx=0,5;
п
п пк
 пк
Cos3x=0; 3x= 2
x= 6  3
п
( 1)  пк
sinx=0,5; x=
6
п пк
Объединив корни получим ответ: 6  3
Ответ: п6  пк3
к
Преобразование произведения в
сумму.
• Решить уравнение:sin5xcos3x=sin6xcos2x;
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Решение:Применим к обеим частям уравнения формулу преобразования произведения
в сумму. Получим: 0,5(sin8x+sin2x)=0,5(sin8x+
sin4x), которое можно привести к виду: sin2xsin4x=0; Преобразуем разность в произведение: -2sinxcos3x=0;
sinx=0; x=пк;
п пк
Cos3x=0; 3x= п2  пк
x= 6  3
Ответ: x=пк; x= п6  пк3.
Сведение к рациональным
уравнениям.
2
• Решить уравнение: 3sinx- 2 cos x =0; Решение:
Применим основное тригонометри2
• ческое тождество: 3sinx-2( 1  sin x) =0;
• Это уравнение перепишем как квадратное от• носительно sinx: 2 sin 2 x  3 sin x  2  0;
• Сделаем замену t=sinx и придем к квадратно• му уравнению: 2t 2  3t  2  0;
• Корни этого уравнения -2 и 0,5. -2 не корректно
• условию. Значит, sinx=0,5.
к п
(

1
)
 пк
• X=
6
• Ответ: (1) к п  пк
6
Однородные тригорометрические
уравнения.
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Однородными уравнениями первой степени относительно sinx называются уравнения вида asinx+bcosx
=0; где a и b – некоторые числа. Решить уравнение:
sinx-cos=0; Решение. Решением этого уравнения деление обеих частей уравнения на sinx или на cosx.
Разделим обе части на cosx. Это может привести к потере одного
из значений x. Но значение cosx=0; не
дает решения данного уравнения. Значит, с легкос –
тью можно делить на cosx. Выполнив деление,полу –
п
чим tgx=1. x= 4  пк
п
Ответ:  пк
4
Решение задач на мой метод.
Номер 501(б).
• Решить: 4sin2x+8sinx-8cosx-7=0; Пусть sinx-cosx=t;
• sinxcosx=
; sin2x=2sincosx; 4sin2x=8sinxcosx;
2
• Получим, 4  4t  8t  7  0;
•
•
•
•
•
•
4t 2  8t  3  0;
D=64-48=16; t=0,5; t=1,5;
T=1,5 не корректно условию. Значит, t=0,5.
sinx-cosx=0,5; Возведем обе части в квадрат,
1-sin2x=0,25; sin2x=0,75;
к
3 пк
3
к
2X= ( 1) arcsin 4  пк x= (1) arcsin 
8 2
3 пк
к
(

1
)
arcsin

Ответ:
8 2