Уравнения Преподаватель математики «Профессионального училища №28» Макарова Любовь Валентиновна План урока ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Определение: Уравнение, содержащее переменную под знаком корня, называется иррациональным. Методика решения уравнения Решение иррационального уравнения основано на преобразовании его к рациональному уравнению, что достигается возведением обе их частей в одну и ту же степень (иногда несколько раз) При возведении обеих частей иррационального уравнения в четную степень получается уравнение, являющиеся следствием исходного. Уравнению-следствию удовлетворяют все корни исходного уравнения, но могут появится и корни, которые являются корнями исходного уравнения («посторонние» корни). Чтобы выявить «посторонние» корни, все найденные корни уравнения-следствия проверяют подстановкой в исходное уравнение и посторонние корни отбрасывают. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ Исходное иррациональное уравнение равносильно смешанной системе, состоящей из уравнения-следствия и ограничений, определяемых областью допустимых значений переменных. В этом случае «посторонние» корни не будут входить в область допустимых значений и проверять их подстановкой в исходное уравнение не требуется. При возведении обеих частей иррационального уравнения в нечетную степень получается уравнение, равносильное исходному. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ Пример 3х-4=2 Решение Возведем оби части уравнения в третью степень (3х-4)3=23 Х-4=8 Х=8+4 Х=12 ОДЗ Х-4>0 X>4 x€(4;∞) Ответ Методика решения уравнения Пример х-3=х-9 Решение Возведем оби части уравнения в квадрат (х-3)2=(х-9)2 Х-3=х2-18х+81 Х2-18х+81-х+3=0 Х2-19х+84=0 Д=361+336=25 Х1=(19+5)/2=12 Х2=(19-5)/2=7 ОДЗ Ответ Х-9>0 X>9 x€(9;∞) Х=12 ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Определение: Уравнение, содержащее переменную в показателе степени, называется показательным. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ Решение показательных уравнений часто сводится к решению уравнения вида ах=ах, где а>0, а=1,х – неизвестное. Это уравнение решается с помощью свойств степени: степени с одинаковыми показателями а>0, а=1 равны только тогда, когда равны их показатели. ПРИМЕР ПРИМЕРЫ 3*27х=1 РЕШЕНИЕ ОТВЕТ Запишем уравнение в виде 3*(33)х=1 3*33х=30 31+3х=30 1+3х=0 3х=-1 Х=-1/3 Х=-1/3 ПРИМЕР ПРИМЕР (5/2)х = (4/25)2 РЕШЕНИЕ Приведем правую часть уравнения к основанию 5/2 (5/2)х = ((2/5)2)2 (5/2)х = (2/5)4 (5/2)х = ((5/2)-1)4 (5/2)х = (5/2)-4 Х=-4 ОТВЕТ Х=-4 ПРИМЕР Пример Решение 4х+2х+1-8=0 Приведем 4х к основанию 2, а 2х+1 распишем по свойству степени 22х+2х * 2 – 8=0 Введем новую переменную 2х=t, t>0 t2+2t-8=0 D= 4 + 32 = 36 t1 = (-2+6)/2=2 t2 = (-2-6)/2=-4( посторонний корень) 2х=2 Х=1 Ответ Х=1 ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ Определение: Уравнение содержащее переменную под знаком логарифма, называется логарифмическим. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ Решением логарифмического уравнения вида log аf(x)=logad(x) равносильно каждой из систем: f(x)>0 или d(x)>0 f(x)=d(x) f(x)=d(x) Заметим, что переход от уравнения logаf(x)= logаd(x) к уравнению f(x)=d(x) может привести к появлению «посторонних» корней. Эти корни можно выявить либо с помощью подстановки их в исходное уравнение, либо с помощью нахождения области определения исходного уравнения, которое задается системой неравенств f(x)>o d(x)>o. ПРИМЕР Пример Решение ОДЗ Log2(5-x)=3 Прологарифмируем показатель степени 3 по основанию 2 log2(5-x) = log28 5–x=8 -x = 8 – 5 X=-3 5–x>0 -X > -5 X< 5 X € (∞ ;5) Ответ Х=-3 ПРИМЕР Пример Решение ОДЗ log5(x+1)+log5(x-1)=3log52 Представим левую X + 1> 0 X > -1 X - 1 >0 X>1 х€(1;+∞) часть уравнения в виде логарифма произведения, а правую сведем к логарифму степени log5((x+1)*(x-1)) =log523 Log5(x2 -1)=log58 X2 - 1 = 8 X2 = 8 + 1 X2 = 9 x1 =3 X2 =-3 Ответ Х=3 МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ Пример log2(2х+1)-log2x=log464 Решение Представим разность логарифмов в левой части уравнения в виде логарифма частного, а правую часть упростим по определению логарифма. log2(2x+1)/x=3 (2x+1)/x=23 (2x+1)/x=8 2x+1=8x 2x-8x=-1 -6x=-1 X=1/6 ОДЗ Ответ X>0 2x+1>0 2x>-1 X>-1/2 x€(o;∞) Х=1/6