Лекция 2 «Теория оболочек

Теория оболочек
Основные
соотношения теории
анизотропных оболочек
 Геометрические соотношения теории
оболочек: модель Тимошенко, модель
Кирхгоффа-Лява
Основные соотношения теории анизотропных оболочек
Для построения геометрических соотношений примем кинематическую
модель С.П.Тимошенко, тогда смещение произвольной точки оболочки
определится в виде:
(1)
где
u,v - тангенциальные перемещения точек координатной поверхности,
w- нормальное перемещение точки координатной поверхности (прогиб),
γ1 и γ2 - углы поворота нормали в плоскостях αz и βz соответственно.
Основные соотношения теории анизотропных оболочек
Рис.1.Элемент оболочки
Пусть Нα, Нβ - параметры Ламе, а R1,R2 - радиусы кривизн координатной
поверхности. Рассмотрим эквизистантную поверхность, удаленную на
расстояние z от координатной. Определим параметры Ламе H z , H z и

радиусы кривизн R1,R2
Основные соотношения теории анизотропных оболочек
(2)
для параметров Ламе
(3)
(4)
Геометрические соотношения теории оболочек: модель
Тимошенко, модель Кирхгоффа-Лява
Кинематические соотношения имеют вид:
(5)
Запишем эти соотношения для некоторой эквидистантной величины
поверхности z = const:
(6)
И учтём, что |z| ≤ h, где толщина оболочки h << R1 и R2 , тогда
(7)
И следовательно, H z = Нα , H z = Нβ ;
Геометрические соотношения теории оболочек:
модель Тимошенко, модель Кирхгоффа-Лява
(8)
z
И H  = 1, так как ось γ = z прямолинейная. Таким образом,
(9)
(10)
(11)
для сдвиговых деформаций
(12)
(13)
(14)
Геометрические соотношения теории оболочек: модель
Тимошенко, модель Кирхгоффа-Лява
Подставим в соотношения (9) - (14) выражения кинематической модели
С.П.Тимошенко
(15)
(16)
Геометрические соотношения теории оболочек: модель
Тимошенко, модель Кирхгоффа-Лява
(17)
(18)
Геометрические соотношения теории оболочек: модель
Тимошенко, модель Кирхгоффа-Лява
аналогично получаем
(19)


Величины εα,εβ, εαβ, εαz, εβz характеризуют равномерную по толщине оболочки
деформацию и называются тангенциальными деформациями.
Величины кα, кβ,кαβ характеризуют линейно изменяющуюся по толщине
деформацию оболочки, связанную с изгибом и скручиванием оболочки, и
называются компонентами изгибной деформации.
Для построения геометрических соотношений использована модель
С.П.Тимошенко; если использовать классическую теорию тонких оболочек
Кирхгофа - Лява, следует положить
εαz = εβz = 0
(20)
тогда
(21)
Геометрические соотношения теории оболочек: модель
Тимошенко, модель Кирхгоффа-Лява
при этом компоненты тангенциальной деформации оболочки εα,εβ, εαβ
останутся без изменений, изгибные деформации примут вид:
(22)
(23)
и т.д. для кβ,кαβ .