h D

УДК
539.3
В. М. Флячок
ВЛИЯНИЕ НАЧАЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ НА ТЕРМОУПРУГИЕ ДВИЖЕНИЯ
ПОЛОГИХ ТРАНСВЕРСАЛЬНО-ИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК
Рассмотрим предварительно напряженную пологую оболочку двоякой кри­
визны толщиной 2h, находящуюся под воздействием нестационарного тем­
пературного поля, обусловленного внешним нагревом или деформацией са­
мой оболочки. Срединная поверхность , оболочки отнесена к ортогональным
гауссовым координатам ((,1' ((,2; k1 , k 2 главные кривизны по этим направле­
ниям. Начальное напряженное состояние оболочки, которое принимаем без­
моментным, характеризуется стационарными нормальными усилиями в срео
'
о
динной поверхности N\, N 2 • Основные взаимосвязанные уравнения термоупругих движении предварительно напряженных трансверсально-изотроп­
ных пологих оболочек в этом случае запишем в виде
(D/).I/).2
+ Pla~) F + /).kCP +
1
t
v Dat/).2T2
+ (1 -
[1--;-3!
8/).1)
R (N, Р)­
I+"
--h-8((,tR(N, Т 2 ) = О,
1 /)./).СР 2hE
(1 - 8/).1)
в (1 ~ ,,)
/).'\j) -
/). Т
з з-
/).k F
+~
т _
3h
2
1
+"- 8((,t/).kT 2 + ((,t/).T
+ -1h
(1
+а2сц\,о
1
=
О,
+ 8P2D-ta~) ф = О,
д Т _
т 1
(1 - ") Уо д/).='
2/1аЕ
,ср
1,
(1)
Здесь
h
Т, -
2i - 1
2hi
,-
Рl
=
А
_
Пl -
Sti-\dz',
А
Се (1
-h
2
2hp;
u -
ЕrчТо
1'0 =
Р2= тр
Р2 а •
-D"
2
-v)
=
h2
3k' (1 _ ,,2)
Е
G'
А
tl
2=
а
-1
a2i =
h3 ;
А
tl
_
8 P1
D
R (N, Р) = N?a~F
'2 -
8
а:·,
•
А
tlз
+ N~a~F;
=
')..
А.
----х;;- п,
D
=
2h
=
Се
---х;-;
д2
-2 ;
да ;
3E
3 (1 _ ,,2)
д~ = a2/a-r2 ;
{1,
функции, зависящие от с п особа подвода тепл а к поверхностям
Z = +h; ср - функция напряжения; -r - время; t - приращение темпера­
туры; р - плотность материала; Л, Аз - коэффициенты теплопроводности;
То - абсолютная температура; Се - теплоемкость при постоянном объеме;
", at - коэффициенты Пуассона и линейного расширения; Е, G' - модули
упругости на растяжение и сдвиг. Прогиб wоболочки и углы поворота нор­
мали 1'1' 1'2 выражаются через разрешающие функции согласно формулам
w = F-
8
,
(L1 1F
'
+ -1+"
h - CXtT2) ,
1'; = -д;Р
+ (_1)3-' дз-iф,
(2)
Отметим , что система уравнений (1) может быть применена к решению
задач о 'динамической термоустойчиво сти трансверсал ьно-изотропныхоб~
лочек.
Рассмотрим случайпренебрежения термоупругим рассеянием (1'0 = О).
Тогда для решения системы уравнении (1) при граничных условиях шарнир-
68
ного опирания оболочки по всему контуру, однородных начальных услови­
ЯХ и известном температурном поле применяем конечное синус-преобразо­
ванне Фурье по переменным а, и интеграл ьное преобразование Лапласа по
переменной 1:. В результате для функции прогиба в безразмерных величинах
находим
к=
3 (1
~зv) (Х/ ~ [~
'4;
+
.З десь
2
X rtт
3 (1
=
12
""n
метр инерции:
т lnт (v) }.
В2
SШ
-v);';'"
2
БВо'Х nm
(i) i
(1: - v) dV ] sш
. ~
. 1
l'O"а 1 sш ""та2'
+ ""т; ""n = лn о.,""т -- лm/ а2,о. В - безразмерны й п араa~, ag - безразмерные длина и ширина оболочки в плане;
12
1
/
al,
8=0 ,05
. ur"
------ ---
ОД
0,2
0,6
0,2
-0,2
CJ и с .
-О, б
N, NKp
0,6
0.2
Рис.
1
2
(i)i безра змерные собственные частоты; Тье« - изображения в преобра­
зовании Фурье интегр альных характеристик температуры Т" которые на­
ходим из решения системы уравнений теплопроводности.
Исследуем влияние предварительного нагружения на динамическое по­
ведение оболочки, к поверхности z = h которой подводится тепловой поток
плотности q, при теплоизолированной поверхности z = -h и постоянной
температуре на контуре. В начальный момент температура оболочки равна
нулю.
Н а основании полученных а н ал ити ческ и х р ешений проведены вычисле­
ния и построены соответствующие графики.
На рис . 1 показано изменение безразмерного максимального про гиба
= wлз /20qRhа t , вычисленного в центре цилиндрической оболочки в зависимости от отношений N~/N~p (где N~p - критическое сжимающее уси­
лие) при ag = 10h; 'v = 0,3; a~ = 2ag и различных зн ачен ия х ЕЮ'.
ш*
Кривые изменения коэффициента динамичности
мости от отношения N~/N~p и
1
различных
.
значений
h (2hpD)- приведсны на рис. 2. Вычисления
В = R1,г(;
4
Kg
= W /Wst В з а в и с и ­
параметра
инерции
ПРОВОДИЛИСЬ для ци-
ag
линдрической панели радиусом R с параметрами (Д = 3R;
= R; R/h =
= 16 для изотропного материала ЕЮ' = 2,6 (штриховые линии) и транс­
версально-и зотропного ЕЮ' = 40 (сплошные).
С увеличением сжимающей силы для всех значений В коэффициент K~
увеличивается и при стремлении N?/N~p к единице Kg стремится к двум.
Значит ,
изменяя параметры В, ЕЮ' , а также соответствующим образом
предварительн ое н агружение,
можно существенно
изменять
влияние дина­
мических эффе кто в на напряженно-деформированное состояние оболочек .
б~
1.
2.
3.
Амбарцумян С. А. Общая теор и я а н изотропн ы х оболочек.- М. : Наук а, 1974.- 446 с.
Пелех Б. Л. Теория оболочек с кон еч н о й сдви гсвой жесткостью.- Ки ев : Н аук . дум ка ,
1973.- 248 с.
Флячок В . М., Швец Р. Н. Некотор ые дина м и ч ески е задачи термо упр угости п олог их
ортотр о п н ы х оболоч е к.- В « П . : Тр . VII Всесоюз. конф, по тео рии оболочек и пл асти н.
Тби л иси : Мецниереба , 1975, с. 381-389.
Ин сти тут пр и кл адны х пр обл ем
м е х аники и матем атики А Н усср
УДК
Поступил а 13 редколл егию
08.01.80
539.3
В. И. Елейно
СТОХАСТИЧЕСКИЕ ТЕМПЕРАтУРНblЕ НАПРЯЖЕНИЯ БЕСКОНЕЧНОЙ
ПЛАСТИНКИ С БЛИЗКИМ К КРУГОВОМУ ОТВЕРСТИЕМ
Р а с смотрим неогран ич ен ную пл асти нку со свободным от напр яжений к р у ­
го вы м отверстием ,
конту р сечения Г
которого описыв а ется
= R + аН (ер) ,
р
ур а внением
(1)
где R - средн ее зн а чен ие ради уса отверстия ; а - малы й п арам етр ; Н ( ер) сл уч а йная ф ун кция с вероятн ост ью 1 непрерывно-диффер енцир уемыми реа­
лиз а ц и я м и . Ч ер ез повер хн ости г
= + h/2 пластинки
осуществл яется те п ло­
обмен с вн еш ней средой н улево й температуры . Между кра ем Г отве рст и я и
ок р у жа ющей ср едой пр оисходит теплообмен по закон у Ньютон а. Пл а стинка
на греваетсятакже источ н и ка ми тепл а. При этом температура о кр ужающей
среды Е)' и интенси вы остъ и сточнико в те п л а W' являютс я функциями коор­
динат и времени. Т емп ер атура пл астинки в начальный момент вр ем ени рав­
на нулю, а на бескон ечн ости ограничена.
При описанных выше условиях теплообмена нестационарное темпера­
турное поле пласти нки в б ез разме р н о й полярной системе ко ординат описы­
вается уравнением [3]
[д 2/д р 2
.при
начальном
и
+ (l /p) д/др + О/р 2) a2/arp2 кра евы х
с2
-
д/д.] Т
=W
(2)
у словиях :
Т=Т О
дТ/дn
при т
у (Т
-
lim Т
Е)) = О
-
(р, ер ; т)
0- '"
=0,
на Г ,
<
(3)
оо .
Здесь
Т =
а!
aR
.
у =л.-;
[i2'
1,/2
Т
Г,
Z -
1
=_
h
координаты ;
\.
,
W
= ~
- h/'!
1 -
1,/ 2
Щ,
T' dz;
W'dz;
Е) = .\ e'dz;
-h12
в рем я ; h -
-h/2
толщина пластинки; "л, а -
коэффици­
енты теплопроводности и темпе рат уропр оводности пластинки; с/"n' а - коэф­
фиц иенты тепло отдачи с п ове рх н осте й г = +/2 и края Г соответственно.
Р ешение краевой задач и теплопроводности (2) - (3) ищем в виде
Т = Т( О)
+ а":
(4)
для нахождения функ ци й ТО) (l = 0,1)
пол учаем, согласно работам {5, 6],
рекурр ентну ю си стем у
кр аевых
соответствую щи х
Пусть интен сивн о сть и сточников тепла
70
W
задач.
и температур а вн ешней ср е-
.