Уравнение Шрёдингера

Общее (временное) уравнение Шрёдингера.
В квантовой механике волновая функция полностью
определяет состояние физической системы, это означает,
что задание этой функции в некоторый момент времени
не только описывает все свойства системы в данный
момент времени, но и определят её поведении во все
последующие моменты.
Это утверждение
носит название принципа
причинности в квантовой механике. С точки зрения
математики, принцип означает, что производная по
времени от
определяться
функции.
волновой функции должна
значением самой волновой
Данная связь постулируется в виде:
^
^
 ( x, y, z, t )
 L ( x, y, z, t )
t
L - оператор Лагранжа (лагранжиан).
Оператор Лагранжа связан с оператором
Гамильтона следующим соотношением:
^
1 ^
L
H
i
^
H
- оператор
Гамильтона (гамильтониан)
Оператор Гамильтона постулируется:
^
H 
2
2m
2  U ( x, y, z, t )
Оператор Гамильтона в общем
случае не является оператором полной
энергии, так как функция U ( x, y, z, t ) в
общем
случае
не
является
потенциальной энергией.
Принцип причинности:

 ( x, y, z, t )
1  2 2
  
  U ( x, y, z, t )  ( x, y, z, t )
t
i  2m

Общее (временное) уравнение Шрёдингера:
i ( x, y, z, t )
 2
    ( x, y, z, t )  U ( x, y, z, t ) ( x, y, z, t )
t
2m
2
Уравнение Шредингера для
стационарных состояний.
Если система находится во внешнем
поле, то её гамильтониан не может
содержать время в явном виде. Это следует
из того, что при отсутствии внешнего
поля, или в постоянном внешнем поле, все
моменты
времени
равнозначны.
Стационарные
состояния
можно
определить, как состояния, в которых
система
обладает
определённым
значением энергии.
• В стационарных состояниях
гамильтониан совпадает с оператором
полной энергии. Этот факт позволяет
разделить координатную и временную
части волновой функции и получить
уравнение Шрёдингера для стационарных
состояний. Воспользуемся уравнением
Шредингера:
^
 ( x, y, z , t )
i
 H  ( x, y , z , t )
t
Для стационарных состояний гамильтониан
совпадает с оператором полной энергии

2

2
H 
  U ( x, y , z )
2m
Действие оператора полной энергии на собственные
волновые функции сводится к умножению
собственных значений энергии на собственную
волновую функцию.
^
H  n ( x, y, z, t )  En n ( x, y, z, t )
Тогда
 n ( x, y, z, t )
i
 En n ( x, y, z, t )
t
Производим разделение переменных:
 n ( x, y, z , t )
 n ( x, y , z , t )
En

t
i
 n ( x, y, z , t )
En
 i
t
 n ( x, y , z , t )

iE n
t  c ( x, y , z )
Интегрируем n n ( x, y, z , t )  
i
 n ( x, y, z, t )   n ( x,
En
i t
y, z )e 
Подставим волновую функцию в уравнение
Шредингера,
^
H  n ( x, y, z , t )  En n ( x, y, z , t )
предварительно развернув оператор Гамильтона
2
 2

  n ( x, y , z )e
2m
En  n
i
En
t

 U ( x, y , z ) n ( x, y , z )e
i
En
t


En
i t
( x, y , z )e  ;
2


 2 n ( x, y, z )  U ( x, y, z ) n ( x, y, z )  En n ( x, y, z )
2m
Уравнение Шрёдингера для стационарных
состояний:
2 2
2m
   ( E  U )  0