Кузенков О.А, Новоженин А.В. Необходимые условия

НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ ДЛЯ
ЛИНЕЙНЫХ УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ В БАНАХОВОМ
ПРОСТРАНСТВЕ
О.А.Кузенков, А.В.Новоженин
Факультет вычислительной математики и кибернетики
Под линейными управляемыми системами в банаховом пространстве понимается
объект, поведение которого описывается системой дифференциальных уравнений
(1)
x  Ax  Bu  f ,
1
где x  x(t ) − функция, зависящая от времени, переводящая пространство R в банахово
пространство B1; x − элемент пространства B1, причем
dx
x ( t  t )  x ( t )
x 
 lim
;
t
dt t  0
u  u(t ) − функция управления, зависящая от времени, значения которой в каждый
момент времени принадлежат некоторой области управления U в банаховом
пространстве B2; A − линейный непрерывный оператор, действующий из пространства
B 1 в пространство B1; B − линейный непрерывный оператор, из B2 в B1; f  f (t ) −
непрерывная функция, зависящая от времени, со значениями из B1.
Пусть задано начальное состояние объекта x (t 0 )  x0  B1 , тогда уравнение (1)
однозначно определяет фазовую траекторию x() как решение задачи Коши. Время
управления T будем предполагать фиксированным. Пусть задан аддитивно-разделенный
функционал смешанного типа
T
J 0   ( F1 ( x (t ), t )  F2 (u(t ), t )) dt  ( x (T )),
0
F1

где F1(x,t), F2(u,t), (x ),
( x, t ),
( x ) непрерывные функционалы по совокупности
x
x
F1 
своих переменных;
− производные по Гато. Обозначим через D[u] множество
,
x
x
функций на отрезке [0,T], принимающих значения из множества U  B2 . Среди
управлений из D[u] требуется найти управление u (), доставляющее минимум
функционала J0, то есть
J0[ u () ]  inf  J 0 u ()  .
u ( )D[u ]
Система
   A 
F1
( x (t ), t ),
x
(2)

где А − сопряженный оператор к оператору А, x () − траектория, соответствующая
оптимальному управлению u (), называется сопряженной системой в задаче (1), а
условия

(3)
( x (T ))
x
условиями трансверсальности. Функция  (), являющаяся решением задачи Коши (2),
(3), называется сопряженной функцией.
Функция переменного u при фиксированном t
(4)
H t u    Bu  F 2(u , t )
 (T ) 
называется функцией Гамильтона для первой оптимизационной задачи, где  −
сопряженная функция для этой задачи.
Для поставленной оптимизационной задачи доказан принцип минимума: пусть в первой
оптимизационной задаче критерий качества является аддитивно-разделенным

F1
функционалом смешанного типа, функционалы F1(x,t), F2(u,t), Φ(x),
,
x
x
непрерывны по совокупности своих аргументов, существует кусочно-непрерывное
оптимальное управление u , тогда функция Гамильтона (4) в области управления
U  B2 достигает своего минимума в точке u (t ) при каждом фиксированном t  [0, T ] ,
за исключением быть может конечного числа точек.
H t u (t )  min H t u  .
uU  B2