Lekciya6

Лекция 6
Зависимость средних от времени. Интегралы движения. Законы сохранения и симметрии.
Сохранение четности
Эволюция квантовой системы во времени определяется временным уравнением Шредингера
i

= Hˆ 
t
(1)
Поскольку это уравнение является уравнением первого порядка по времени, для однозначного
нахождения решения необходимо задать волновую функцию системы в начальный момент времени  (q, t  0).
Как было показано на предыдущей лекции, в случае, когда гамильтониан не зависит явно
от времени, общее решение уравнения (1) может быть найдено в квадратурах
(q, t )   Cn f n (q)e
i
En
t
(2)
n
где f n (q) - собственные функции оператора Гамильтона, En - соответствующие собственные
значения, Cn - произвольные постоянные. Таким образом, для нахождения всех возможных решений временного уравнения Шредингера необходимо знать все решения уравнения на собственные значения и собственные функции оператора Гамильтона
ˆ ( q)  E f ( q)
Hf
n
n n
(3)
По этой причине уравнение (3) играет для квантовой механики столь же фундаментальное значение, что и уравнение Шредингера, и потому (?) также называется уравнением Шредингера.
Чтобы не путать эти два (совершенно разных) уравнения первое принято называть временным
уравнением Шредингера, второе – стационарным уравнением Шредингера.
Чтобы исследовать зависимость средних от времени найдем оператор производной физической величины по времени.
Пусть есть некоторая физическая величина f и ей соответсвует оператор fˆ . Найдем, каˆ
кой оператор будет соответствовать величине f , то есть найдем вид оператора f .
По определению в любом состоянии должно быть выполнено следующее равенство:
f =
d
f
dt
1
(4)
Далее воспользуемся квантовомеханической формулой для средних и временным уравнением
Шредингера. В результате получим следующее.
В правой части формулы (4):
ˆ
f  dq * (q, t ) f  (q, t )
(5)
ˆ
где f - искомый оператор производной величины f по времени.
В левой части (4):
 fˆ
d
d
 * ˆ
 
f  dq * fˆ  = dq   *  
f    * fˆ
=
dt
dt
t
t
t 

 fˆ
 fˆ i
Hˆ * * ˆ
Hˆ 
ˆ ˆ )  
ˆ ˆ  fH
= dq   *  
 f    * fˆ   = dq *   ( Hf
t
i
i


 t

(6)
Сравнивая (5), (6) и учитывая, что равенство (4) должно быть справедливо в состоянии с произвольной волновой функцией  (q, t ) , заключаем:
ˆ fˆ i ˆ ˆ
f =
 [ Hf ]
t
(7)
Из формулы (7) следует, что если оператор некоторой физической величины не зависит явно от
времени и коммутирует с оператором Гамильтона, то среднее значение данной физической величины не зависит от времени в любом состоянии, поскольку производная от среднего значения
равна нулю.
Здесь можно провести определенную аналогию с классической механикой. В классической
механике для производной функции f ( q, p, t ) динамических переменных – координат и импульсов – по времени справедливо соотношение:
df f
=
 {Hf }
dt t
где H ( q, p ) - функция Гамильтона, {Hf } - скобка Пуассона функции Гамильтона H ( q, p ) и
функции f ( q, p, t ) . Из этой формулы следует, что при переходе от квантовой механики к классической коммутатор операторов переходит в их классическую скобку Пуассона
ˆ ˆ   {Hf }
i  Hf
 
В квантовой механике интегралами движения называют такие физические величины,
средние значения которых в любых состояниях не зависят от времени. Из формулы (4) следует,
что для того чтобы физическая величина была интегралом движения оператор этой величины не
2
должен не зависеть явно от времени и должен коммутировать с оператором Гамильтона.
Поскольку факт коммутации ряда операторов физических величин с оператором Гамильтона следует из свойств симметрии пространства-времени, поэтому в квантовой механике (так
же, как и в классической механике) существование ряда интегралов движения связано с симметриями пространства-времени.
Однородность времени и закон сохранения энергии.
Опыт показывает, что в инерциальных системах отсчета время однородно, т.е. законы
движения не зависят от выбора начала отсчета времени. А это значит, что время явно в законы
движения не входит. Из однородности времени следует, что гамильтониан не зависит явно от
времени. А так как гамильтониан сам с собой коммутирует, то энергия является интегралом
движения. (Отметим, что этот результат в точности согласуется с классическим: энергия классической механической системы сохраняется, если ее функция Гамильтона не зависит от времени).
Однородность пространства и закон сохранения импульса.
Как показывает опыт, пространство в инерциальных системах отсчета однородно (все точки эквивалентны). Значит, законы движения инвариантны относительно преобразований параллельного переноса. Любой конечный перенос является композицией бесконечно малых переносов, поэтому рассмотрим бесконечно малую трансляцию:
(r1 , r2 ,
, t ) =  (r1   r1 , r2 ,
И функция (r1 , r2 ,
, t)

i

ˆ
 = 1   rP   ( r1 , r2 ,


, t ) , и функция (r1 , r2 ,
, t)
(8)
, t ) удовлетворяют временному уравнению
Шредингера, поэтому
i
i


ˆ  
ˆ
i 1   rP 
= Hˆ 1   rP  

 t



i
ˆ
 rPi
 i
ˆ ˆ
=  rHP
t
(9)
Отсюда следует, что
ˆ
ˆ ˆ
PHˆ  = HP

 HP
ˆ ˆ = 0
 
и, следовательно, суммарный импульс системы есть интеграл движения.
Закон сохранения четности.
Назовем преобразованием инверсии (или четности) оператор, который следующим образом действует на произвольную функцию:
3
Iˆ (r ) =  (r )
(10)
Очевидно, оператор четности имеет два собственных значения - это +1 и –1. Действительно, подействуем на уравнение на собственные значения и собственные функции оператора инверсии
Ifˆ p (r ) = pf p (r )
(11)
оператором инверсии (здесь p - собственное значение оператора инверсии, f p ( r ) - отвечающая
ему собственная функция)
Iˆ2 f p (r ) = pIfˆ p (r )  p 2 f p (r )
(12)
В результате с учетом того, что Iˆ 2  (r ) = Iˆ (r )   (r ) , имеем
p2  1

p  1 и
p  1
(13)
Очевидно, собственные функции, отвечающие собственному значению p  1 - любые четные
функции, отвечающие собственному значению p  1 - любые нечетные. Среднее значение
оператора четности в любом состоянии  ( r )
p   * (r ) Iˆ (r )dr =   * (r ) (r )dr
(14)
показывает, насколько волновая функция этого состояния близка к четной или нечетной функции. Действительно, если волновая функция четная из (14) и условия нормировки получаем, что
p  1 . Если волновая функция нечетная - p  1 .
Рассмотрим частицу, движущуюся в некотором потенциале U (r ) . Если потенциальная
энергия не меняется при преобразовании инверсии, то оператор инверсии коммутирует с га-
ˆ ˆ  = 0 . В этом случае четность является интегралом движения. В частности,
мильтонианом  IH

если потенциальная энергия четная функция, а волновая функция частицы в начальный момент
времени имеет определенную четность (является либо четной, либо нечетной функцией координат), то она останется таковой и любой последующий момент времени.
В заключение этой лекции подчеркнем, что для сохранения физической величины в квантовой механики нужна независимость от времени ее среднего значения, результаты же отдельных измерений могут быть различными. Для иллюстрации этого утверждения рассмотрим состояние
t
1
 ( q, t ) =
f1 (q )e
2
E
i 1
4
t
1

f 2 ( q )e
2
E
i 2
(15)
где E1 и E2 - собственные значения не зависящего от времени оператора Гамильтона, f1 (q) и
f 2 (q) - отвечающие им нормированные собственные функции. Согласно основным принципам
квантовой механики энергия в состоянии (15) определенного значения не имеет, и при измерениях могут быть получены два значения E1 и E2 с одинаковыми вероятностями. Это значит, что
мы не можем утверждать, что результаты любых измерений энергии будут одинаковыми. Можно утверждать, что если выполнить много измерений над ансамблем тождественных квантовых
систем с волновой функцией (12) в некоторый момент времени и усреднить эти результаты, то
это среднее значение не будет зависеть от времени. Для рассматривае6мого состояния согласно
основным принципам квантовой механики имеем
E
1
1
E  E2
E1  E2  1
2
2
2
5
(16)