II. Свойства собственных функций самосопряженных

Квантовая теория
Семестр I
Журавлев В.М.
Лекция IV
Свойства операторов и
принцип неопределенности
Гейзенберга
Собственной функцией Ψq,
соответствующей
собственному значению q
оператора Q, называется
функция, являющаяся
решением уравнения
Qˆ   q
q
q
Свойства операторов,
изображающих
динамические
переменные
Какие операторы допустимы для
изображения переменных?
I. Свойства операторов
I.1 Линейность операторов.
Любая динамическая переменная
изображается линейным
оператором Фредгольма
Q( x' , x' ) = q q ( x' , t ) q* ( x' , t )
qQ
Qˆ (a 1  b 2 ) = aQˆ  1  bQˆ  2 .
 1 , 2  Η и a, b  C
I. Свойства операторов
I.2 Самосопряженность операторов
Вещественная динамическая переменная
классической механики в квантовой
механике изображается
самосопряженным или эрмитовым
оператором!

ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
(Q ,  )  (, Q ) или Q  Q
I.2 Самосопряженность
операторов
*
Q( x' , x' ) = q q ( x' , t ) q ( x' , t )
qQ
Поскольку все значения q – вещественные
*
q=q , то ядро оператора - эрмитово:
Q ( x, x' ) = q ( x, t ) q ( x' , t ) =
*
*
q
qQ
 q q ( x, t ) ( x' , t ) = Q( x' , x)
qQ
*
q
II. Свойства собственных функций
самосопряженных операторов
II.1 Вещественность собственных
значений
Собственные значения эрмитовых
операторов вещественны.
q  q*
II.1 Вещественность собственных
значений
Qˆ q  qq



*
ˆ
ˆ
Qq , q   (Qq ) q dx  q * q , q   q*,



Qˆ  ,     , Qˆ  

* ˆ
ˆ
q , Qq   q Qq dx  q q , q   q,

q
q
q  q*
q
q
II. Свойства собственных функций
самосопряженных операторов
II.2 Ортогональность
Собственные функции эрмитовых
операторов ортогональны:
Qˆ q  qq

 ,       dx  
q
*
q
q'
q'
qq '
,


 ,       dx   (q  q' ).
q
*
q
q'

q'
II. Свойства собственных функций
самосопряженных операторов
II.2 Ортогональность
Qˆ q  qq , Qˆ q '  q ' q '
 , Qˆ    q'  ,  ,
Qˆ 
,  , 
q  ,
 0,, q  q '
q
q'
 , Qˆ    Qˆ  ,  
(q'q) ,     , Qˆ    Qˆ  ,    0
q
q'
q
q
q
q'
q'
q
q'
q'
q
q'
q
q'
q
q'
q
q'
II. Свойства собственных функций
самосопряженных операторов
II.3 Собственные функции
самосопряженных операторов –
представляют состояния с
фиксированным
значением соответствующей
динамической переменной
ˆ
Q  (q , Qq )  q
Принцип
неопределенности
Когда измерения совместны?
III. Принцип неопределенности
Пусть эрмитовы операторы Aˆ ,Bˆ , Cˆ
связаны соотношением:
[ Aˆ ,Bˆ ]  iCˆ
Тогда имеет место следующее соотношение:
2
C
( Aˆ  A ) ( Bˆ  B ) 
4
2
2
III. Принцип неопределенности
I ( )   | Aˆ   iBˆ  | dxdydz 
2
V
* ˆ
ˆ
ˆ
  ( A  iB ) ( A  iBˆ  )dxdydz 
V
* ˆ
2
* ˆ
ˆ
ˆ
  ( A ) Adxdydz    ( B ) Bdxdydz 
V

V

* ˆ
* ˆ
ˆ
ˆ
    i ( B ) A  i ( A ) B dxdydz 
V
       0
2
III. Принцип неопределенности
2
2
ˆ
    A dxdydz  A ,
*
V
2
2
ˆ
    B dxdydz  B
*
V


  i   [ Bˆ , Aˆ ] dxdydz 

V
*

    Cˆ  dxdydz  C
V
*
III. Принцип неопределенности
I ( )  2      0
 2  4  0
2
C
A B 
4
2
Поскольку:
2
[ Aˆ  A1̂,Bˆ  B1̂]  iCˆ
то:
2
C
( Aˆ  A ) ( Bˆ  B ) 
4
2
2
III. Принцип неопределенности
Пример
Операторы координаты и импульса

p̂  i
x
x̂  x 


[pˆ , xˆ ]  i x   ix   
x
x
 i
III. Принцип неопределенности
Пример
Операторы координаты и импульса
[pˆ , xˆ ]  i
2

( pˆ  p ) ( xˆ  x ) 
4
2
2
Свойства
коммутирующих
операторов
Что означает коммутативность?
Теорема 1.
Два произвольных эрмитовых оператора
A и B обладают полным набором общих
собственных функций тогда и только
тогда, когда их коммутатор равен нулю:
[ Aˆ , Bˆ ]  0
Теорема I. Доказательство
Прямое утверждение. Пусть операторы
Обладают полным набором общих
собственных функций:
Aˆ  k = ak k , Bˆ  k = bk k , k = 1,
Тогда:
( Aˆ Bˆ  Bˆ Aˆ ) k = (ak bk  bk ak ) k = 0
Теорема I. Доказательство
Поскольку это соотношение
выполняется для всех функций базиса ψk,
то отсюда следует, что коммутатор
равен нулю
( Aˆ Bˆ  Bˆ Aˆ ) = [ Aˆ , Bˆ ]  0
Теорема I. Доказательство
Обратное утверждение. Пусть операторы
коммутируют:
( Aˆ Bˆ  Bˆ Aˆ ) = [ Aˆ , Bˆ ]  0
Тогда пусть Ψk - собственные функции
оператора A:
Aˆ  k = ak k , k = 1,2
Теорема I. Доказательство
Имеем:
Bˆ Aˆ  k = ak Bˆ  k
Тогда функция Φk =BΨk удовлетворяет
уравнению:
Aˆ k = ak k , k = 1,2
Теорема I. Доказательство
Следовательно :
 k = k k
Отсюда:
Bˆ k = k k , k = 1,2
Следовательно собственные функции
оператора A являются собственными
функциями оператора B:
Теорема 2.
Два произвольных эрмитовых оператора
A и B обладают хотя бы одной общей
собственной функцией тогда и только
тогда, когда их коммутатор можно
представить в следующем виде:
[ Aˆ , Bˆ ]  Dˆ Bˆ
Теорема II. Доказательство
Прямое утверждение. Пусть операторы
обладают одной общей собственной
функцией Ψ0:
Aˆ  0 = a0 0 , Bˆ  0 = 0, k = 1,
Тогда:
( Aˆ Bˆ  Bˆ Aˆ ) 0 = 0
Теорема II. Доказательство
Поскольку любой оператор вида
Cˆ  Dˆ Bˆ
действует так, что
Cˆ  0  Dˆ Bˆ  0  0
То всегда найдется оператор D такой что
( Aˆ Bˆ  Bˆ Aˆ ) = [ Aˆ , Bˆ ]  Dˆ Bˆ
Теорема II. Доказательство
Обратное утверждение. Пусть операторы
удовлетворяют соотношению:
[ Aˆ , Bˆ ]  Dˆ Bˆ
1
Тогда пусть Ψ0 - собственная функция
оператора B:
Bˆ  0 = 0
2
Теорема II. Доказательство
Из (1) имеем:
Aˆ Bˆ = Bˆ Aˆ  Dˆ Bˆ
а из (2) получаем:
Aˆ Bˆ  0 = Bˆ Aˆ  0  Dˆ Bˆ  0  Bˆ Aˆ  0  0
Следовательно функция Φ0 =AΨ0 удовлетворяет
уравнению:
Bˆ 0 = 0
Теорема II. Доказательство
Следовательно :
 0 = k 0
Отсюда:
Aˆ 0 = a0 0 , k = 1,2
Следовательно собственная функция Ψ0
оператора B является собственной
функцией оператора A.
Теорема II. Следствие
Из (1) имеем:
Bˆ Aˆ =  Aˆ Bˆ  Dˆ Bˆ
Пусть
Aˆ  k = ak k , k = 1,2
Тогда:
Bˆ Aˆ  k =  Aˆ Bˆ  k  Dˆ Bˆ  k  ak Bˆ  k
Теорема II. Следствие
Тогда функции Φk =BΨk являются
собственными функциями оператора A1:
ˆ
ˆ
ˆ
A1  A  D
ˆD
ˆ ) = a  , k = 1,2
(A
k
k
k
ˆ =0
 k  B
k
Следующая лекция
Стационарное уравнение
Шредингера
Следующая лекция:
1. Стационарное уравнение
Шредингера
2. Граничные условия для
стационарного уравнения
Шредингера
3. Одномерное движение