Математическое моделирование физических процессов

Дополнительные главы
математической физики-3
Линейные уравнения
математической физики
Николай Николаевич Розанов
НИУ ИТМО, 2012
Линейные уравнения
математической физики
Уравнения или системы уравнений в частных
производных. Как минимум, два аргумента.
Искомая функция u(x,y)
u
u
 P( x, y ),
 Q ( x, y )
x
y
P(x,y) и Q(x,y) – заданные функции.
2

u
Можно ли задавать их произвольно?
 2u
P Q
(*)



xy yx
y x
Решение системы – в виде контурного (криволинейного) интеграла
( x, y )
u ( x, y ) 

( x0 , y0 )
[ P( x, y )dx  Q( x, y )dy ]
При условии (*) интеграл
не зависит от пути
интегрирования
(полностью определяется
начальной и конечной
точками)
Линейные уравнения с частными
производными второго порядка (примеры)
u
2
 a  nu  0
2
t
2
u
 a 2 nu  0
t
 nu  0
 nu  k u  0
2
- волновое уравнение (гиперболическое)
- уравнение теплопроводности (параболическое)
- уравнение Лапласа (эллиптическое)
- уравнение Гельмгольца
2
2
2
2
2
2
2
 n   2 , 1  2 ,  2  2  2 ,  3  2  2  2
x
x
y
x
y
z
m 1 xm
n
Двумерный оператор Лапласа
в полярных координатах-1
 2u  2u
 2u  2  2
x y
x   cos  ,
y   sin 
Замена переменных в дифференциальных выражениях
u u x u y u
u



cos   sin  ,
 x  y  x
y
u u x u y
u
u


   sin  
 cos 
 x  y 
x
y
u
u sin  u
u
u cos  u
 cos 

,
 sin 

x

  y

 
Двумерный оператор Лапласа
в полярных координатах-2
 u  u
 
u sin  u 

 cos 

 cos 

2
x
x x
 

  
sin   
u sin  u 


 cos 
,
  

  
2
 2u  u

 ...
2
y
y y
 2u 1 u 1  2u
 2u  2 
 2

    2
Трехмерный оператор Лапласа
В цилиндрических координатах
x   cos  ,
y   sin  , z  z
1   u  1  2u  2u
3u 
 2

 2
2
       z
В сферических координатах
x  r sin  cos  ,
y  r sin  sin  , z  r cos 
 2u 2 u
1
 2u 1  2u 1
u
3u  2 
 2 2
 2
 2 ctg 
2
2
r
r r r sin  
r 
r

Волновое уравнение (одномерное)
u
2  u
a
0
2
2
t
x
2
Начальные условия
Замена переменных
2
u t 0
u
  ( x ),
  ( x)
t t 0
  x  at ,   x  at
u u  u  u u




,...
x  x  x  
2
2
 2u

u

u
2
2
a
 4a
2
2
t
x

 2u
0

Решение Даламбера
u  1 ( x  at )  2 ( x  at )
Связь с начальными значениями
x  at
1
1
u( x, t )  [ ( x  at )   ( x  at )] 
 ( ) d

2
2a x at
Частный случай: Ψ = 0, начальное возмущение (при t = 0) ϕ
сосредоточено на интервале от α1 до α2
Характеристики
0
t
0
x  at  x0  at0 ,
0
x  at  x0  at0 .
Домашнее задание
Проанализировать частный случай: ϕ = 0, начальное
возмущение (при t = 0) Ψ сосредоточено на интервале
от α1 до α2
Импульс на границе раздела двух сред
2
 a1
 2u

u
2
a
 0, a  a( x)  
2
2
t
x
a2
x0
x0
u
Непрерывность на границе раздела х = 0 функции u и ее производной
x
Общее решение при x < 0:
u( x, t )  f ( x  a1t )  g ( x  a1t )
Смысл f и g: профили импульсов падающего (задан) и отраженного (ищется) излучения
Решение при x > 0 (?)
u ( x, t )  h( x  a2t )
f (a1t )  g (a1t )  h(a2t ),
f (a1t )  g (a1t )  h(a2t )
(только импульс преломленного
излучения, h – искомая функция)
Штрих означает производную
по аргументу функции.
Импульс на
границе -2
f (a1t )  g (a1t )  h(a2t ),
f (a1t )  g (a1t )  h(a2t )
Дифференцируем 1-е уравнение по t
a1 f (a1t )  a1 g (a1t )  a2 h(a2t ),
f (a1t )  g (a1t )  h(a2t )
Интегрируем по t
 dt h(a2t )  
2
h(a2t ) 
f ( a1t )
a2
1
a1
1
1

d
(

a
t
)
h
(

a
t
)


h(a2t )  const
2
2

a2
a2
2
h(a2t ) 
f (a1t )
a1
1
a2
const = ?
Формулы Френеля
Случаи a1  a2 ,
a1  a2 , a1  a2
a2  a1
g (a1t )  h(a2t )  f (a1t ) 
f (a1t )
a2  a1
Двумерное волновое уравнение
Цилиндрические волны
u
 u
2 u
a  2  2  0
2
t
 x y 
u
2

a
 2u  0
2
t
2
2
2
2
u
u t 0   ( x, y ),
  ( x, y )
t t 0
1
 ( ,  ) d d 
u ( x, y , t ) 


2
2
2
2
2 a C a t  (  x )  (   y )
1 
 ( ,  ) d d 

.

2 a t C a 2t 2  (  x )2  (   y )2
at
at
Cat - круг с центром в точке M(x,y) и радиусом at
Трехмерное волновое уравнение
u
2
 a  3u  0
2
t
2
u t 0
2
2
2

 2u

u

u

u
2
a  2  2  2  0
2
t
y
z 
 x
u
  ( x, y, z ),
  ( x, y , z )
t t 0
Формула Пуассона
t
u( x, y , z, t ) 
4
2 

0
 t
0  ( ,  ,  ) d  t  4
2 

0

0  ( ,  ,  ) d 
  x  at sin   cos  ,   y  at sin   sin  ,
  z  at cos  , d  sin  d d .
Сравнение одномерного, двумерного и трехмерного случаев
Уравнение теплопроводности (диффузии)
u
 a 2 nu  0
t
u t 0  f ( x, y, z) (n  3)
Одномерное уравнение теплопроводности
u
2  u
a
0
2
t
x
2
u t 0  f ( x )
В общем случае параметр а может быть не только вещественным,
но и комплексным (дифракция в квазиоптическом приближении).
Волновое уравнение: Уравнение Гельмгольца E ( x, z, t )  E ( x, z )e it
(знак Re опускается)
2E 2E 1 2E
 2  2 2 0
2
x
z
c t
2E 2E
2


k
E0
2
2
x
z
k

c
Параксиальное приближение
(приближение медленно
меняющихся амплитуд)
 E  E
2


k
E0
2
2
x
z
2
E ( x, z )  E ( x, z )eikz
2 E  2E
E
2 
2


2
ik

k
E

k
E0


2
2
x
z
 z

E  2 E
2ik
 2 0
z x
2
Уравнение теплопроводности –
общие свойства
Одномерное уравнение теплопроводности
Линейность и принцип суперпозиции
2
u1

u1
2
a
0
2
t
x
u
u
 2  0
t
x
2
  a2
2
u2

u2
2
a
0
2
t
x
u  c1u1  c2u2
Симметрия. Если есть решение
u  u1 ( x, t ),
то решением будет и u2  u1 (  x, t ).
Обращение времени?
Плосковолновые решения
u t 0  u0eikx
Решение
u
 2u
 2  0
t
x
  a2
k – вещественная пространственная частота
u( x, t )  u0eikx e t
Дисперсионное уравнение    k 2
Если   a  0 , то γ < 0 – экспоненциальное убывание
при t   и возрастание при t  
Быстрее всего меняются мелкие неоднородности.
2
Если же  - чисто мнимое (квазиоптическое уравнение), то
проблемы необратимости нет – симметрия к изменению знака
времени при одновременном комплексном сопряжении ур-ния.
Моменты (локализованные структуры)
u
 2u
 2  0
t
x
Момент нулевого порядка - «масса»
 u( x, t ) dx  M
0
 const
Доказательство ?

d
u
 2u
u
u( x, t ) dx   dx    2 dx 
0

dt
t
x
x 
Момент первого порядка
 xu( x, t ) dx  M
1
 const
Доказательство (используя интегрирование по частям)?
Моменты высших порядков уже не сохраняются. Например,
M 2 (t )   x u( x, t ) dx  M 2 (t0 )  2 M 0  (t  t0 )
2
Автомодельное решение
u
 2u
 2  0
t
x
Решение с сохранением формы при меняющихся со временем масштабах
Размерность [] = ?
[ x ]2
[ ] 
[t ]
 u( x, t ) dx  M
0
Безразмерная комбинация:
 const
x2
s
t
(Четное) автомодельное решение ищем в виде
2


x

u( x, t )  At f  
 t 
Используем сохранение момента нулевого порядка
 u( x, t ) dx  M
0
 const
Автомодельное решение-2
 u( x, t ) dx  M
0
x2
s
t
 const




0
0

u
(
x
,
t
)
dx

2
u
(
x
,
t
)
dx

2
At



1
 
2
u( x, t )  At

1
2
 x2 
f 
 t 

 x2 
ds

f   dx  At  t  f  s 
s
 t 
0
Подстановка к исходное уравнение
8sf ( s )  (2 s  4) f ( s)  f ( s)  0
 d
 d

 2 s  1  4  1 f ( s )  0
 ds   ds 
dh
2s
h 0
h?
ds
dx = ?
- ОДУ
 d

h   4  1 f ( s )
 ds 
C1
h
s
Автомодельное решение-3
 C1 s 1 s /4
  s /4
f ( s)   
e ds  C2  e
s
 4

C
4 f  f  1
s
f ( s)  e s /4
Четное решение
u( x, t )  At
1/2  x /(4 t )
e
2
u( x, 0)  2 A  ( x )
u
Решение уравнения
теплопроводности
u
2  u
a
0
2
t
x
2
u t 0  f ( x )
Существенно используется линейность задачи (принцип суперпозиции) и
постоянство коэффициентов уравнения.
Метод Фурье (разделение переменных). Частное решение ищем в виде
u ( x, t )  T (t ) X ( x )
T (t ) X ( x )  a 2T (t ) X ( x )
T (t )
X ( x )
2


const



a 2T (t ) X ( x )
Решение одномерного уравнения
теплопроводности
T (t )   2a 2T (t )  0,
T (t )  e
  2 a 2t

u ( x, t ) 
X ( x)   2 X ( x)  0
, X ( x)  A( )cos  x  B( )sin  x
e
  2 a 2t
[ A( ) cos  x  B( )sin  x] d 

Это общее решение уравнения теплопроводности, но еще не обеспечено
выполнение начального условия. Должно выполняться

u t 0  f ( x ) 
 [ A( ) cos  x  B( )sin  x] d 

Решение одномерного уравнения
теплопроводности-2
По свойствам преобразования Фурье
1
A( ) 
2



1
f ( ) cos  d , B( ) 
2
С учетом соотношения

e
 2 2



f ( )sin  d


cos  d  
e

окончательно получаем решение в виде
u ( x, t ) 
1
2a  t



f ( )e
(   x )2

4 a 2t
d , t  0
2
 2
4
Задача
Начальное распределение температуры
 f 0 , | x | l
f ( x)  
 0, | x | l
С какой скоростью распространяется возмущение температуры?
Задание
Начальное распределение температуры
f ( x )  f 0e
 ( x / w0 )2
Вычислить распределение температуры при t > 0.
Уравнение теплопроводности
в полярных координатах (1 + 2)
u
 a 2  2u  0
t
Метод Фурье (разделение переменных)
 u 1 u 1  u
 2u  2 
 2

    2
2
u ( x, y, t )  T (t ) R(  )( )


1
1
T R  a  RT   RT   2 TR 




1 T  R 1
1
2




R  2   const  
2
a T
R R
 
2
T (t )  e
  2 a 2t
2
продолжение
R 
1
2 2

 R        const  n 2
R R

2
n  0,1, 2,...
  n 2     1 cos(n )   2 sin(n )
2 2
2


 R   R  (   n ) R  0
R  Z n ( ) - цилиндрические функции n-го порядка
2
(в том числе функции Бесселя)
2
d 2 Z 1 dZ
n
2


(

 2 )Z  0
2
d
 d

Линейные обыкновенные дифференциальные
уравнения второго порядка
d 2u
du
 p( z )  q( z )u  0
2
dz
dz
(однородное уравнение)
p(z) и q(z) – аналитические в области S функции комплексного
аргумента z за исключением конечного числа полюсов.
Точки области S обыкновенные (в них p(z) и q(z) – аналитические)
и особые (полюса)
 1z

d 2v
u ( z )  v( z ) exp    p( ) d    2  J ( z )v  0
dz
 2

1 dp 1 2
J ( z )  q( z ) 
 p ( z)
2 dz 4
Асимптотика на бесконечности
d 2u
du
 p( z )  q( z )u  0
2
dz
dz
z  1/ z1
Характер решения диф. уравнения при больших |z|
отвечает таковому при малых | z1 |
Задача: выполнить в (*) замену переменной z  z1
d dz1 d
1 d
2 d

 2
  z1
dz dz dz1
z dz1
dz1
d2
d d 
2 d 
2 d 
     z1
  z1

2
dz
dz  dz 
dz1 
dz1 
2
1
d
u  3 2  1   du
4
z1 2   2 z1  z1 p   
 q u  0
dz1 
 z1   dz1
 z1 
Общее (фундаментальное) решение
Для уравнения второго порядка – два линейно независимых решения
u1 ( z ), u2 ( z )
Общее решение
u ( z )  C1u1 ( z )  C2u2 ( z ), C1,2  const
Условие линейной независимости:
(второе решение не сводится к первому,
домноженному на const)
Определитель Вронского
Формула Лиувилля
dW
?
dz
W 0
u1 u2
W
u1 u2
 z

W ( z )  W ( z0 ) exp    p( z )dz 
 z0

Доказать формулу Лиувилля
Определение 2-го решения по
известному 1-му
 z

u1 ( z ) u2 ( z )
W ( z) 
 u1u2  u1u2  W0 exp    p ( z )dz 
u1( z ) u2 ( z )
 z0

 z

du2 du1
u1

u2  W0 exp    p ( z )dz 
dz
dz
 z0

 z

dy du1
u1 
y  exp    p ( z )dz 
dz dz
 z0

y  u2 / W0
...
y  A( z ) B ( z ), u1 ( AB  AB)  u1 AB  exp(   pdz )
u1 A  u1 A  0
A  u1
z
z
1
dz1
2
u1 B  exp(  pdz ) B   2
exp(  p ( z2 )dz2 )
u1 ( z1 )
z
z
1
dz1
y ( z )  u1 ( z )  2
exp(  p ( z2 )dz2 )
u1 ( z1 )
Решение в виде степенных рядов
d 2u
du
 p( z )  q( z )u  0
2
dz
dz


n 0
n 0
(окрестность обыкновенной точки)
p( z )   pn z n , q( z )   qn z n
Ищем решение в виде u ( z ) 

 n(n  1)an z
n2
n2

  pn z
n 0

n
- аналитические в точке z = 0 функции
c радиусом сходимости R

n
a
z
 n
n 0
 nan z
n 1
(*)
n 1

  qn z
n 0

n
n
a
z
 n 0
(?)
n 0
z 0  2 1a2  p0 a1  q0 a0  0  a2  ... (?)
z1  3  2a3  2 p0 a2  p1a1  q1a0  0  a3  ...
z 2  4  3a4  3 p0 a3  2 p1a2  p2 a1  q0 a2  q1a1  q2 a0  0
...
z n  (n  2)(n  1)an  2  Q(a0 , a1 ,..., an 1 )  0  an  2  ...
В круге радиуса R
ряд (*) сходится
Q – однородный
полином 1-й степени
от своих аргументов
Правильные/неправильные точки
дифференциального уравнения
Точка z = c называется правильной, если в ней аналитичны функции
( z  c) p( z ), ( z  c)2 q( z )
2
d
u
du
2
( z  c)
 ( z  c) P( z  c)
 Q( z  c)u  0,
2
dz
dz
P( z  c)  p0  p1 ( z  c)  p2 ( z  c) 2  ...
Q( z  c)  q0  q1 ( z  c)  q2 ( z  c) 2  ...
Ряды сходятся в круге с центром в точке с и с таким радиусом,
что внутри круга имеется только одна особая точка уравнения
Формальное решение
(в окрестности правильной точки)



u ( z )  ( z  c) 1   an ( z  c) n 
-ищем решение в таком виде, искомые  и an
 n 1



 
( z  c)  (  1)   an (  n)(  n  1)( z  c) n  
n 1






( z  c) P( z  c)    an (  n)( z  c) n  
n 1


Обозначение :



( z  c) Q( z  c) 1   an ( z  c) n   0
F ( )   2  ( p0  1)  q0
 n 1


Определяющее уравнение : F ( )  0
Уравнения для определения an :
F (  1)a1   p1  q1  0,
F (  2)a2  a1[(  1) p1  q1 ]   p1  q1  0,
...
n 1
F (  n)an   an  m [(  n  m) pm  qm ]   pn  qn  0]
m 1
Показатели дифференциального
уравнения
Показатели диф. уравнения в точке с :   1 ,    2
F ( )   2  ( p0  1)  q0  0  квадратное уравнение.
Если F ( )  0 при n  1, 2,3,..., то коэффициенты an
находятся однозначно
( разность показателей 1   2  0, 1, 2,...)
Фундаментальная
система решений


1
n
u1 ( z )  ( z  c) 1   an ( z  c)  ,
 n 1




u2 ( z )  ( z  c) 2 1   an ( z  c) n 
 n 1

Задача
Найти показатели в точке 0 и первые члены рядов для решений уравнения
d 2u  1  4m2 1 

  u  0, m  целому числу
2
2
dz  4 z
4
Дома: найти все коэффициенты и радиусы сходимости рядов
Если разность показателей – целое число
(или 0)
Пусть
- показатель с большей вещественной частью, 1  2  s, s  0 или 1 или 2 или...
Тогда второе решение в виде ряда может потерять смысл или совпасть с первым.
В этом случае второе решение можно найти по известному первому (см. выше).
Ответ:

s  0 : u2 ( z )  C1u1 ( z )  C2 [u1 ( z ) ln( z  c)  ( z  c) 2  hn ( z  c) n ]
n 1
 1 
n
s  1, 2,...: u2 ( z )  ( z  c)     hn ( z  c) 
 s n 1

2
Уравнение Бесселя
z 2 y  zy  ( z 2  p 2 ) y  0
Особая точка: z = 0
Определяющее уравнение:
 2  p 2  0  1  p,  2   p, 1   2  2 p
Первое решение
y1  z

p
z p 1 : [( p  1) 2  p 2 ]a1  0

n p
a
z

a
z
 n  n
n
n 0
n 0
z p  2 : [( p  2) 2  p 2 ]a2  a0  0
...
z p  n : [( p  n) 2  p 2 ]an  an  2  0


z2
z4
z6
y1  z 1 


 ...
2
3
 2  2( p  1) 2  4  2 ( p  1)( p  2) 2  4  6  2 ( p  1)( p  2)( p  3)

p
Второе решение
y2  z
p
p  p


z2
z4
z6
1




...
 2  2( p  1) 2  4  22 ( p  1)( p  2) 2  4  6  23 ( p  1)( p  2)( p  3)



Линейная независимость при
p  0,1, 2,...
Например, при p = 0 …
Функции Бесселя с целым индексом
1
p  n, J n ( z )  n y1 ( z )
2 n!
Частные случаи:
(1) m  z 
J 0 ( z)  

2 
(
m
!)
2
 
m0

m
n2m
J  n ( z )  (1) n J n ( z ) - линейно зависимы
2m

2
 1
(1)
z
J n ( z)  
 
m  0 m !( n  m)!  2 

Радиус сходимости ?
4
1 z
1 z
1 z




  ...
2 
2 
2 
(1!)  2  (2!)  2  (3!)  2 
Второе решение уравнения Бесселя

K n ( z )  CJ n ( z ) ln z  z  n  cm z m
K n (0)  
m0
Общее решение уравнения Бесселя при p = n:
y( z )  C1 J n ( z )  C2 K n ( z )
J n (0)   n ,0
6
 n,0
1 (n  0)

0 (n  0)
- символ Кронекера
Степенной ряд для произвольных
индексов

z
J ( z )   
2
(1)
z

 
m  0 m ! (  m  1)  2 

m
2m
Г – гамма-функция (обобщение факториала)
(n)  (n  1)!
( z  1)  z( z )
1
( )  
2
1

(n  )  n (2n  1)!!
2
2
Рекуррентные формулы для функций Бесселя

z
J ( z )   
2
Из степенного ряда

J ( z )  1 
 

z
2

(1)
z

 
m
!

(


m

1)
2
m0

(1)
z

 
m  0 m ! (  m  1)  2 

m
d J ( z )  1 
(1)
z
  
 

dz z
 2  m 1 (m  1)!(  m  1)  2 
J 1 ( z )
1 d J ( z )
   1 ; ...

z dz z
z
1 d 
 z J ( z )   z 1 J 1 ( z )
z dz

m
m
2m
2m
2 m 1
J 1 ( z )

z
Рекуррентные формулы
 J ( z )
d
 dz J ( z )   J 1 ( z )  z

 d J ( z )  J ( z )   J ( z )
 1
 dz 
z
2 J ( z )

 J 1 ( z )  J 1 ( z ) 
z

 J ( z)  J ( z)  2 d J ( z)
 1

  1
dz
В частности
J 0 ( z )   J1 ( z )
Формулы справедливы для любых цилиндрических функций
Функции Бесселя с полуцелым индексом
2n  1
p
2
Полученные ранее решения линейно независимы:
2
4
6


z
z
z
y1  z p 1 



...

2
3
 2  2( p  1) 2  4  2 ( p  1)( p  2) 2  4  6  2 ( p  1)( p  2)( p  3)

y2  z
p
1
p
2


z2
z4
z6
1




...
 2  2( p  1) 2  4  22 ( p  1)( p  2) 2  4  6  23 ( p  1)( p  2)( p  3)





z2
z4
z6
y1  z 1 


 ... 
 2 3 2  4 35 2  4  6 357

 sin z
1 
z3 z5 z7

z




...



3! 5! 7!
z
z

1/2
2
2
J1/2 ( z ) 
y1 
sin z

z
J 1/2 ( z ) 
2

y2 
2
cos z
z
продолжение
Привлекаем рекуррентные соотношения …
J
J
n
1
2
 n
( z) 
1
2
(1) (2 z )
( z) 
n
n
1
2
d n  sin z 


(dz 2 ) n  z 

(1) n (2 z )

n
1
2
d n  cos z 


(dz 2 ) n  z 
- элементарные функции
Пары решений уравнения Бесселя
z y  zy  ( z  p ) y  0
2
2
2
z
J p ( z)   
2
p
(1)
z

 
m  0 m ! ( p  m  1)  2 

m
{J p , J  p }  функции Бесселя ( p  целому числу )
N p ( z) 
J p ( z ) cos p  J  p ( z )
sin p
 функции Неймана
{J p , N p }
H p(1) ( z )  J p ( z )  iN p ( z ), H p(2) ( z )  J p ( z )  iN p ( z )
функции Ханкеля
{H p(1) , H p(2) }
2m
При малых аргументах
zp
zn
J p ( z)  p
, J n ( z)  n
2 ( p  1)
2 n!
2n (n  1)!
2 z
Nn ( z)  
, N 0 ( z )  ln , ln   0.5772
n
z

2
При больших аргументах
J p ( z) 
2

2

 
 
cos  z  p   , N p ( z ) 
sin  z  p   ,
z
2
4
z
2
4


H p(1,2) ( z ) 
2
  
 
exp  i  z  p   
z
2
4 
 
2
1
p
z 2 y  zy  ( z 2  p 2 ) y  0  y  y  (1  2 ) y  0
z
z
z   y  y  0 y  A cos( z   )
Функции Бесселя с целым индексом
• Бесконечное число нулей (вещественных, неотрицательных и простых ,
за исключением x = 0 при n > 0)
• Чередование максимумов и нулей функций J n ( x) и J n1 ( x) . У этих функций
нет общих нулей. Наименьший положительный корень J n ( x) ближе к 0, чем у J n1 ( x)
Ортогональность функций Бесселя
Пусть
1 , 2
- корни уравнения
 J ( )   J ( )  0,   0,   0,   1
Тогда
1
2
2
xJ
(

x
)
J
(

x
)
dx

0
(



1
2)
  1  2
0
2

 2
1
1

2
2
0 xJ (1 x)dx  2 [ J ( 1 )]  2 1  12  J ( 1 )
1
Доказательство
d  dJ ( 1 x)   2  2 
x
  1 x   J ( 1 x)  0,


dx 
dx  
x 
 J ( 2 x)
d  dJ ( 2 x)   2  2 
x
  2 x   J ( 2 x)  0.


dx 
dx  
x 
 J ( 1 x)
Интегрируем по интервалу (0,1)
1
dJ ( 2 x)
dJ ( 1 x)  
d  
0 dx  x  J (1x) dx  J (2 x) dx   dx 
1
 ( 22  12 )  xJ ( 1 x) J ( 2 x) dx,
0
x  1 J ( 2 x) J ( 1 x)  2 J ( 1 x) J ( 2 x) 0 
1
1
 ( 22  12 )  xJ ( 1 x) J ( 2 x) dx.
0
Окончание
Из асимптотики при x  0 на нижнем пределе 0
1
1
0 xJ (1 x) J (2 x) dx  22  12  1J (2 ) J (1 )  2 J (1 ) J (2 ) (*)
По исходным условиям
 J ( 1 )  1 J ( 1 )  0,  J ( 2 )  2 J ( 2 )  0
Det  0  1 J ( 2 ) J ( 1 )  2 J ( 1 ) J ( 2 )  0
1
2
2
xJ
(

x
)
J
(

x
)
dx

0
(



1
2)
  1  2
0
Предел в (*)
2  1
1
2
xJ
  (1 x) dx  lim 2 1
0
1
 J ( 2 ) J ( 1 )  2 J ( 1 ) J ( 2 )  
2
2  1 
2  1
1
1
2

  J ( 1 )  
J ( 1 )[ J ( 1 )  1 J( 1 )]  ( ур  ние Бесселя) 
2
21
1
1 2  2
2
  J ( 1 )   1  2  J ( 1 ).
2
2  1 
Разложение функций в ряд

f ( z )   Am J n (km z ), J n (km R )  0
m 1
Из условий ортогональности
R
2
2
J
(
k
z
)
J
(
k
z
)
z
dz

0
(



1
2)
 n 1 n 2
0
R

0
R
f ( z ) J n (km z ) z dz  Am  J n2 (km z ) z dz
0
R
R
Am   f ( z ) J n (km z ) z dz /  J (km z ) z dz
2
n
0
0
R
1 2 2
0 J (km z ) z dz  2 R J n1 (km R)
2
n
(см. предыдущий слайд).
Можно доказать, что система базисных функций является полной.
Двумерное волновое уравнение
(полярные координаты)
2  u
Разделение переменных U ( x, y, t )  T (t ) R (  )( )
 2u  a

0
2
(метод Фурье)
t
2
T (t )   cos(t )   sin(t )
k  / a
- волновое число
n  0,1, 2,...
  1 cos(n )   2 sin(n )
R  Z n (k  )  C1 J n (k  )  C2 K n (k  )
Задача для внутренней области круга радиуса R:
Случай нулевого граничного условия:
J n (kR)  0
C2  0
U (   R,  , t )  0
- бесконечное число положительных корней
Частные решения:
km( n ) : k1( n ) , k2( n ) , k3( n ) ,...
(1)
(2)
U mn (  ,  , t )  [ mn
cos(mnt )   mn
sin(mnt )]cos(n ) J n (km( n )  ) 
(1)
(2)
 [  mn
cos(mnt )   mn
sin(mnt )]sin(n ) J n (km( n )  ),
n  0,1, 2,... m  1, 2,...
продолжение

Общее решение уравнения,
удовлетворяющее граничным условиям:

(1)
(2)
U (  ,  , t )   [ mn
cos(mnt )   mn
sin(mnt )]cos(n ) J n (k m( n )  ) 
n  0 m 1
(1)
(2)
 [  mn
cos(mnt )   mn
sin(mnt )]sin(n ) J n (km( n )  )
U
U t 0  f1 (  ,  ),
 f2 ( , )
t t 0
 
U
(1)
(2)
  mn [ mn
sin(mn t )   mn
cos(mn t )]cos( n ) J n ( km( n )  ) 
t n 0 m 1
Начальные условия
(1)
(2)
 [  mn
sin(mn t )   mn
cos(mn t )]sin( n ) J n ( km( n )  )


(1)
(1)
f1 (  ,  )   [ mn
cos(n )   mn
sin(n )]J n (km( n )  ),
n  0 m 1


(2)
(2)
f 2 (  ,  )   mn [ mn
cos(n )   mn
sin(n )]J n (km( n )  )
n  0 m 1
Продолжение. Разложение по 
F0(1)  (1)
f1 (  ,  ) 
  [Fn cos( n )  Gn(1) sin( n )],
2
n 1
Ряды Фурье
F0(2)  (2)
f2 ( , ) 
  [Fn cos( n )  Gn(2) sin( n )]
2
n 1

1
(1,2)
Fn (  )   f1,2 (  ,  ) cos( n ) d ,

(1,2)
n
G
( ) 
1



 f
1,2
(  ,  ) sin( n ) d
n  0,1, 2,...



m 1
m 1
(1)
F0(1)  2  m(1),0 J 0 (km(0)  ), Fn(1)    mn
J n (km( n )  ),

(1)
n
G
   J n (k  )
m 1
(1)
mn
(n)
m
Аналогично для (2)
Окончание. Разложение по 
1
2
2
xJ
(

x
)
J
(

x
)
dx

0
(



1
2)
  1  2
Используем ортогональность
функций Бесселя

l

(1)
m ,0
1

2
 F J 0 (k  )  d 
(1)
0
(0)
m
0
l



0
d  f1 (  ,  ) J 0 (km(0)  )  d 
2
(0)
J
(
k
 )d 
0
m

0


(1)
mn



l
0
2  J 02 (km(0)  )  d 
0
l
d  f1 (  ,  ) cos(n ) J n (km( n )  )  d 
0
l
  J n2 (km( n )  )  d 
0


(1)
mn



,
l
l
d  f1 (  ,  ) sin(n ) J n (km( n )  )  d 
0
l
  J n2 (km( n )  )  d 
0
,
(2)
(2)
 mn
,  mn
 аналогично
Задание
Аналогично решить задачу для двумерного уравнения
теплопроводности в полярных координатах
-функция (Дирака)
Обобщенная функция. Определение (область интегрирования включает точку а)
0 x  a
 ( x  a)  
 xa

Свойства
  ( x  a)dx  1
 ( x)   ( x),  ( x) 
Трехмерная -функция
1

 ( x),
Точечный источник
 f ( x) ( x  a)dx  f (a)
 (r  a)   ( x  ax ) ( y  a y ) ( z  az )
Производные от -функции

 ( x  a)
df (a)
f ( x)
dx  
,
x
da

f ( x) ( n ) ( x  a)dx  (1) n f ( n ) (a)
-функция (окончание)
 ( x)  lim 0

1
  x
2
2
,
 f ( x) ( x  a)dx  lim  f ( x) ( x  a,  )dx
0
1 sin kx
1
 ( x)  lim k 
,  ( x) 
 x
2
Родственные
функции

1
 ikx
  ( x) 
e
dk

2 0
V.P. – главное
значение
интеграла

ikx
e
 dk 

1

cos kx dk


0
1
i
1
  ( x)   ( x)  V .P.
2
2
x
  ( x)    ( x)   ( x)
a2

a1
f ( x)  ( x)dx 
a2
1
i
f ( x)
f (a) 
V .P. 
dx 
2
2
xa
a1
a2
 a  f ( x )
1
i
f ( x) 
 f (a) 
lim 0  
dx  
dx 
2
2
x  a 
 a1 x  a
a 
a1  a  a2 ,   0
Метод Фурье на конечном
интервале (1D)
u
2  u
a
2
2
t
x
u ( x  0, t )  0, u ( x  l , t )  0
2
2
u
u ( x, t  0)   ( x),
( x, t  0)  1 ( x)
t
Разделение переменных
u ( x, t )  T (t ) X ( x),
XT   a TX ,
2
T  X 
2


const


k
2
aT
X
2
2 2


X  k X  0, T  a k T  0
T (t )  A cos(akt )  B sin(akt ), X ( x)  C cos(kx)  D sin(kx)
u ( x, t )  [ A cos(akt )  B sin(akt )][C cos( kx)  D sin( kx)]
Граничные условия при x = 0, x = l:
C  0, sin(kl )  0  k  kn  n / l , n  1, 2,...
n at
n at
n x
un ( x, t )  [ An cos
 Bn sin
]sin
l
l
l

n at
n at 
n x

u ( x, t )    An cos
 Bn sin
 sin
l
l 
l
n 1 
Начальные условия
n at
n at
n x
un ( x, t )  [ An cos
 Bn sin
]sin
l
l
l


n x
n a
n x
 ( x)   An sin
, 1 ( x)  
Bn cos
l
l
l
n 1
n 1
2
n z
2
n z
An    ( z ) sin
dz, Bn 
1 ( z ) sin
dz

l 0
l
n a 0
l
l
l
Использовано выражение для коэффициентов разложения в ряд Фурье
Вынужденные колебания
2
 2u

u
2
a
 f ( x, t )
2
2
t
x
u ( x  0, t )  0, u ( x  l , t )  0
u ( x, t  0)   ( x),
u
( x, t  0)  1 ( x)
t
u vw
2
 2v
2  u
a
 f ( x, t )
2
2
t
x
v( x  0, t )  0, v( x  l , t )  0
v( x, t  0)  0,
v
( x, t  0)  0
t
2w 2 2w
a
0
2
2
t
x
w( x  0, t )  0, w( x  l , t )  0
w( x, t  0)   ( x),
w
( x, t  0)  1 ( x)
t
Разделение переменных
n x
v( x, t )   Tn (t ) sin
l
n 1
n a
n 
l

n x
2

f ( x, t )   [Tn (t )  n Tn (t )]sin
l
n 1


f ( x, t )  
n 1
n x
f n (t ) sin
,
l
2
n z
f n (t )   f ( z , t ) sin
dz
l 0
l
l
Tn(t )  n2Tn (t )  f n (t ) n  1, 2,... Tn (0)  0, Tn(0)  0
Tn (t ) 
1
n
t
f
n
( ) sin[n (t   )]d
0
n z
Tn (t ) 
d  dz f ( z , ) sin[n (t   )]sin

ln 0 0
l
2
t
l
Задачи