x < L

реклама
Теория выбора в условиях
неопределенности - 2
Модель спроса на страховку как приложение
теории ожидаемой полезности
Частный случай: спрос рискофоба на актуарно
справедливую страховку
Контингентные блага
Модель спроса на страховку в терминах
контингентных благ
Функция ожидаемой полезности в пространстве
контингентных благ: иллюстрация отношения к риску
Примеры использования
теории ожидаемой полезности:
модель спроса на страховку
- индивид-рискофоб, предпочтения описываются функцией
ожидаемой полезности
- первоначальное богатство составляет w
- с вероятностью p  (0; 1) происходит несчастный случай
- если он происходит, индивид несет потери L  (0; w)
- Страховая компания предлагает индивиду застраховать
ущерб:
- стоимость страховки: γ за каждую единицу покрытия (то есть,
заплатив γx долларов, индивид, в случае наступления ущерба,
получит возмещение x долларов).
На какую сумму индивид застрахует свой ущерб?
Индивид стремится выбрать размер покрытия x так, чтобы
максимизировать свою ожидаемую полезность:
max pv( w  L  x   x )  (1  p )v ( w   x )
L  x 0
Поскольку индивид – рискофоб, v(.) – строго вогнутая функция. Функция
ожидаемой полезности, таким образом, тоже оказывается строго вогнутой.
Условия первого порядка, необходимые и достаточные для ее максимизации:
pv '( w  L  x   x )(1   )  (1  p )v '( w   x )  0, L  x  0
pv '( w  L  x   x )(1   )  (1  p )v '( w   x )  0, x  0
pv '( w  L  x   x )(1   )  (1  p )v '( w   x )  0, x  L
(1)
(2)
(3)
Несколько непривычный вид F.O.C. связан с тем, что на рынке страховых
услуг запрещено страховаться на сумму, превышающую стоимость ущерба это считается мошенничеством!
Так на какую же сумму индивид застрахует ущерб?
Чтобы ответить, нам нужны какие-то предположения о p, γ и v(.)!
Давайте рассмотрим один из наиболее важных случаев: случай актуарно
справедливой страховки.
Актуарно справедливой называется схема страховки, при которой
цена единицы страхового покрытия равна вероятности наступления
страхового случая: γ = p. В этом случае страховая компания, не
имеющая иных издержек, кроме страховых выплат, имела бы
нулевую прибыль при любом объеме продаваемой страховки:
(γx – px = 0).
Перепишем выведенные ранее условия первого порядка, заменив γ на p.
Начнем с условия (1):
pv '( w  L  x  px )(1  p )  (1  p )v '( w  px ) p  0, L  x  0
 p(1  p )  v '( w  L  x  px )  v '( w  px )   0
 v '( w  L  x  px )  v '( w  px )
Последнее равенство может выполняться только при x = L, т.к. v(.) –
монотонно возрастающая функция. Но L &gt; x &gt;0  этот случай не
является решением задачи!
Теперь рассмотрим случай (2):
pv '( w  L)(1  p )  (1  p )v '( w) p  0, x  0
 p(1  p )  v '( w  L)  v '( w)   0
 v '( w  L)  v '( w)  0
Это условие не может выполняться, т.к. по нашим предположениям,
индивид является рискофобом:
 v”(.) &lt; 0
 v’(.) - монотонно убывающая функция, ее
значения могут быть одинаковы только тогда, когда одинаковы
аргументы!
Наконец, рассмотрим условие (3):
pv '( w  L  x  px )(1  p )  (1  p )v '( w  px ) p  0, x  L
 p(1  p )  v '( w  pL)  v '( w  pL)   0
 v '( w  pL)  v '( w  pL)
Именно оно и характеризует решение задачи этого индивида.
Мы приходим к важному выводу:
при актуарно справедливой страховке, рискофоб всегда
страхуется на полную стоимость ущерба!
Контингентные блага
Для описания выбора в условиях неопределенности иногда бывает
удобно переопределить понятие блага:
- Пусть S – мн-во состояний мира
- ps – объективная вероятность состояния мира s  S
Будем называть контингентным благом xis право на получение
x единиц i-того физического блага в состоянии мира s.
Реальный пример контингентного блага – фьючерсный контракт.
Эта конструкция оказывается очень полезной при формулировке,
например, моделей общего равновесия в экономике с неопределенностью.
Но помимо этого, она также позволяет создавать красивые и
удобные иллюстрации для более простых моделей – например,
модели спроса на страховку 
Модель спроса на страховку в терминах
контингентных благ
Вернемся к модели спроса на страховку.
В ней фигурирует только одно физическое благо – деньги или
богатство, и имеется два состояния мира:
L: страховой случай наступает (вероятность: p)
NL: страховой случай не наступает (вероятность: 1 – p)
Таким образом, можно задать два контингентных блага:
xL: богатство в состоянии мира L
xNL: богатство в состоянии мира NL
Предположительно, вначале агент не имеет никакой страховки,
поэтому его богатство составляет w – L рублей, если страховой случай
наступает, и w, если он не наступает. Таким образом, его
первоначальный запас контингентных благ:
(w – L, w)
Выведем уравнение бюджетной линии в терминах
контингентных благ:
Как и прежде, обозначим объем приобретаемой индивидом страховки
за x. Тогда богатство индивида в состояниях мира L и NL описывается
следующей системой уравнений:
XL  w  L  x  x

 X NL  w   x
0  x  L

Эта система задает уравнение бюджетной линии параметрически;
XL, и XNL выражены через переменную x. Чтобы получить собственно
уравнение бюджетной линии в терминах контингентных благ,
выразим x, например, из
1
1
второго уравнения системы
XL 
X NL  w  L 
и подставим в первое.


После некоторых преобразований,
мы получим:
w  L  X L  w   L;
w   L  X NL  w;
w;
А вот графическая иллюстрация бюджетного ограничения в модели
спроса на страховку в терминах контингентных благ.
1) Пунктирная 45&ordm; линия – это т.н. &laquo;безрисковая линия&raquo;. В любом наборе,
принадлежащем ей, индивид обладает одинаковым богатством в каждом
состоянии мира.
2) Зеленый отрезок – это бюджетная линия. Он ограничен двумя точками:
XNL
Точка ω (первоначальный набор
контингентных благ, (w – L, w))
соответствует минимальному
(x = 0) объему страхового
покрытия.
бюджетная линия
ω
w
Точка на безрисковой линии
(w – γL, w – γL) соответствует
максимально возможному (x = L)
объему страхового покрытия.
w –γL
&laquo;безрисковая линия&raquo;
0
w–L
w – γL
XL
Между двумя этими точками
расположены те наборы
контингентных благ, которые
достигаются при 0 &lt; x &lt; L.
Теперь давайте перейдем к иллюстрации предпочтений в
пространстве контингентных благ.
NB! В наших иллюстрациях мы будем опираться на т.н. обобщенную
функцию ожидаемой полезности, в которой элементарная ф-ция
полезности v(.) может зависеть от состояния мира.
Вначале, рассмотрим несколько простых, но довольно радикальных
примеров:
Пример 1: Индивид заботится
XNL
только о своем богатстве
в состоянии мира L. Такая
предпосылка реалистична
для тех, кто склонен сильно
переоценивать вероятность несчастных
случаев.
Этим людям неважно, каким будет
их богатство, если несчастного
случая не будет – ведь они уверены,
что беда обязательно случится!
0
XL
Пример 2: Индивид заботится только о своем богатстве в состоянии
мира NL. Эта предпосылка характеризовала бы чрезвычайно
беспечных людей, сильно недооценивающих вероятность несчастных
случаев.
Этим людям неважно, каким будет их богатство, если несчастный
случай все-таки произойдет: каждый из них уверен, что &laquo;уж со мнойто такого точно не случится!&raquo;
XNL
0
XL
Пример 3: Герой этого примера – индивид, нейтральный к риску. Его
обобщенная функция ожидаемой полезности имеет вид:
U(.) = pLvL(xL) + (1 – pL)vNL(xNL)
где vL(xL) = aL + bLxL и vNL(xNL) = aNL + bNLxNL
Предельная норма замещения блага контингентного блага xL
контингентным благом xNL для такого агента постоянна и
отрицательна:
MRSxL x NL
pLbL

(1  pL )bNL
XNL
Кривые безразличия функции
ожидаемой полезности
этих людей представляют собой
прямые линии.
0
XL
Пример 4: Рассмотрим радикальную форму рискофобии, когда
индивид заботится только о той сумме, которую он получит
гарантированно (независимо от состояния мира), а в возможность
случайно выиграть что-то сверх нее он просто не верит.
Кривые безразличия для функции ожидаемой полезности такого
агента были бы сходны с таковыми для Леонтьевской функции:
XNL
0
безрисковая линия
XL
Пример 5: Рассмотрим классического рискофоба, чья элементарная
функция полезности строго вогнута и не зависит от состояния мира.
Его функция ожидаемой полезности имеет вид:
U(.) = pLv(xL) + (1 – pL)v(xNL)
где v’(.) &gt; 0, v”(.) &lt; 0
Модуль предельной нормы замещения контингентного блага xL
контингентным благом xNL
непрерывно убывает
XNL
по xL (и непрерывно
возрастает по xN):
MRSxL xNL 
pL v '( xL )
(1  pL )v '( xNL )
Кривые безразличия функции
ожидаемой полезности
для него строго выпуклы.
0
XL
Пример 6: Рассмотрим классического рискофила, чья элементарная
функция полезности строго выпукла и не зависит от состояния мира.
Рассуждая аналогично предыдущему случаю, можно показать, что
кривые безразличия его функции ожидаемой полезности строго
вогнуты:
XNL
0
XL
Вернемся к нашей модели, и проиллюстрируем рассмотренный ранее
пример со спросом рискофоба на актуарно справедливую страховку:
XNL
XL = XNL, “certainty line”
U  pv( X L )  (1  p)v( X NL )
w
w
tg  

1 
w – γL
XL 
0
w–L
w – γL
α
1 

X NL  w  L 
1 

w
XL
Графическая иллюстрация решения задачи страхователя является очень
удобным инструментом для быстрого ответа на качественные вопросы,
касающиеся сравнительной статики, например: как меняется спрос на
страховку с изменением вероятности несчастного случая? с изменением цены
страховки? с изменением отношения к риску, и т.д.
Но при необходимости (если ответ не очевиден сразу, или решение
внутреннее и нам необходим точный ответ) мы могли бы сформулировать и
решить задачу страхователя в терминах контингентных благ аналитически:
 max pv ( X L )  (1  p )v( X NL )
 X L , X NL
1
1

XL 
X NL  w  L 
w;




 w  L  X L  w   L;
 w   L  X NL  w;
Решать ее &laquo;в лоб&raquo; довольно тяжело: к счастью, при монотонных
предпочтениях и некоторых предпосылках о v(.) для каждого из трех типов
страхователей (рискофоб, рискофил, риск-нейтрал) есть лишь три типа
решений:
Для рискофоба существует всего три возможных типа
решений:
Тип 1: Ущерб не страхуется.
Это решение имеет место, если тангенс угла наклона бюджетной линии
превышает тангенс угла наклона кривой безразличия в точке (w – L, w):

X *  w  L
 L
 X NL *  w
 
pv '( w  L)


1   (1  p )v '( w)
XNL
w
w –γL
0
w–L
w – γL
XL
Тип 2: Ущерб страхуется частично (внутреннее решение).
Это решение находится из уравнения бюджетной линии и условия касания
кривой безразличия и бюджетной линии. При этом нужно иметь в виду, что
решение должно лежать правее точки первоначального запаса, и левее
точки полной застрахованности:
pv '( X L )
 
1    (1  p )v '( X )
NL

1
1

 X L   X NL  w  L   w

w  L  X L  w   L

 w   L  X NL  w
XNL
w
w –γL
0
w–L
w – γL
XL
Тип 3: Ущерб страхуется полностью.
Это решение имеет место, если тангенс угла наклона бюджетной линии
меньше тангенса угла наклона кривой безразличия в точке полной
застрахованности, (w – γL, w – γL):

X  w  L
 L
 X NL  w   L
 p



 1  p 1  
XNL
w
w –γL
0
w–L
w – γL
XL
А каковы возможные типы решения задачи страхователя-рискофила? Рискнейтрала?
Отношение к риску: CE(L) и RP(L) в пространстве
контингентных благ
Набор контингентных
благ, соответствующий
лотерее L
XA
X’A
1) Лотерея L в состоянии мира А
приносит Х’A рублей, в
состоянии мира B – Х’B рублей.
2) Розовые линии – кривые
безразличия для функции
ожидаемой полезности
&laquo;Безрисковый&raquo; набор,
эквивалентный E(L)
E(L)
&laquo;Безрисковый&raquo; набор,
эквивалентный
лотерее L
RP(L)
CE(L)
0
X’B
XB
3) Синяя линия –
множество
лотерей с таким
же ожидаемым
выигрышем, как
у L. Она же –
кривая
безразличия
риск-нейтрала.
Скачать