Ю.В.Автономов НИУ ВШЭ, факультет экономики, 2015 Общее равновесие в экономике c неопределенностью: модель ЭрроуДебре Описание модели: допустимые состояния Индивидуальный и системный риск Субъективная и объективная Парето-оптимальность Равновесие, I и II теоремы экономики благосостояния для модели Эрроу-Дебре. Примеры задач. В модели экономики Эрроу-Дебре место обычных благ занимают контингентные блага – контракты на право получения определенного физического блага в определенном состоянии мира. В предположении, что производство физических благ отсутствует, эта модель является разновидностью экономики обмена, и многие результаты, справедливые для экономики обмена, справедливы и здесь. 2 Предпосылки модели Эрроу-Дебре (M x L x S) • L физических благ, i = 1, 2, …, L. • M потребителей: k = 1, 2, …, M. • S состояний мира: s = 1, 2, …, S. • первоначальный запас потребителя k: , ,..., ;...; , ,..., k k 11 k 21 k L1 k 1S • функция полезности потребителя k: k 2S k LS Uk ( xk ) • совокупный запас физ. блага i в состоянии s: M k is is k 1 3 Предпочтения и вероятность В модели Эрроу-Дебре предполагается, что у каждого потребителя есть субъективные представления о вероятностях реализации того или иного состояния мира (субъективные вероятности) Эти представления учтены в его функции полезности (не обязательно имеющей вид фон НейманаМоргенштерна) В общем случае, субъективные вероятности у разных потребителей могут различаться, и не обязаны совпадать с объективными вероятностями 4 Допустимые распределения будем называть допустимым распределением комбинацию потребительских наборов контингентных благ всех потребителей в экономике: 1 11 1 L1 1 12 x (x ,...,x ;x ,...,x 1 L2 M x M ;...;x1S ,...,x LS ) M такую, что x k is is , i 1...L, s 1...S k 1 5 «Индивидуальный» и «системный» риск • Будем говорить, что потребитель несет индивидуальный риск, если... • Будем говорить, что в экономике присутствует системный риск, если ... 6 «Субъективная» и «объективная» Парето-оптимальность • Пусть μk = (μ1k, …, μSk) – вектор субъективных вероятностей состояний мира 1...S у потребителя k, а π = (π1, …, πS) – вектор истинных (объективных) вероятностей этих состояний. • Обозначим полезность потребителя k как Uk(xk,μk), где xk – набор всех достающихся ему контингентных благ. • Теперь можно разграничить два подхода к оценке Паретооптимальности 7 Будем называть допустимое распределение x (x 1 ,...,x M ) субъективно Парето-оптимальным, если не существует другого допустимого распределения x̂ , такого, что: и 8 Будем называть распределение x (x 1 ,...,x M ) объективно Парето-оптимальным, если не существует другого допустимого распределения x̂ , такого, что: и 9 Субъективная Паретооптимальность Субъективная Парето-оптимальность предполагает, что благосостояние потребителей оценивается с позиции тех предпочтений, которыми они руководствуются, делая выбор. Тем же принципом мы руководствовались во всех моделях общего равновесия, рассматривавшихся до сих пор. Это значит, что все результаты, доказанные в рамках экономики обмена для Парето-оптимальных распределений, справедливы для (субъективно) Паретооптимальных распределений в экономике Эрроу-Дебре. 10 Равновесие Эрроу-Дебре M 1 Вектор цен p и распределение (x ,..., x ) составляют равновесие Эрроу-Дебре в экономике с неопределенностью, если: k (1) Набор контингентных благ x является решением задачи потребителя k: k k k max U (x , ) k x k k p px (2) Рынки контингентных благ уравновешены: M M i, s, xis k is k k 1 k 1 11 Теоремы экономики благосостояния в экономике Эрроу-Дебре Для субъективных Парето-оптимальных состояний, в экономике Эрроу-Дебре обе теоремы экономики благосостояния справедливы при предпосылках, аналогичных экономике обмена. Для объективных Парето-оптимальных состояний, они справедливы лишь если ... 12 Ящик Эджворта для экономики Эрроу-Дебре с M = 2, L = 1, S = 2 Для анализа экономики Эрроу-Дебре с двумя потребителями, одним физическим благом и двумя состояниями мира применима стандартная графическая модель ящика Эджворта: 13 Пример задачи - 1 *Рассмотрите экономику с риском, где есть только один физический товар, два потребителя (А и В), и два состояния мира. Первоначальные запасы контингентных благ составляют ωA = (ω, 0) и ωB = (0, ω). Предпочтения каждого агента представимы функцией ожидаемой полезности с возрастающими дифференцируемыми элементарными функциями полезности. Оба потребителя – рискофобы, но A считает первое состояние мира более вероятным, чем B. (а) Покажите, что во всех внутренних Парето-оптимальных распределениях уровень потребления каждого агента выше в том состоянии, которое он считает более вероятным. (б) Будет ли верен результат п. (А), если потребитель А нейтрален к риску? * Балакина et al, 2013, c. 475 14 Пример задачи – 2. Рассмотрите экономику c риском, в которой есть единственное физическое благо, три состояния мира и три потребителя (А, В и С). Пусть потребитель А владеет всем начальным запасом в первом состоянии, потребитель В – во втором, потребитель С – в третьем. Пусть, кроме того, совокупные начальные запасы одинаковы по всем состояниям мира и потребители оценивают вероятности состояний мира одинаково. Будем считать, что все потребители являются рискофобами с дифференцируемыми элементарными функциями полезности, не зависящими от состояния, но предпочтения их различны. (а) Покажите, что во всех внутренних Парето-оптимальных состояниях потребление участников не зависит от состояния мира. (б) Найдите внутреннее равновесие Эрроу-Дебре. 15 Пример задачи - 3 * Рассмотрите экономику с риском, где имеется одно физическое благо, три потребителя (A,B,C) и два состояния мира (1 и 2). Первоначальные запасы заданы векторами ωA = (ω/3, 0), ωB = (ω/3, 0), ωC = (ω/3, ω), ω > 0, а предпочтения потребителей представимы функциями ожидаемой полезности фон НейманаМоргенштерна с дифференцируемыми, строго вогнутыми элементарными функциями полезности. Известно, что, по мнению А, первое состояние мира наступит с вероятностью 1/3. Кроме того, известно, что во внутреннем равновесии все потребители не несут индивидуального риска, и цены всех контингентных благ положительны. Найдите недостающие параметры равновесия. * Балакина et al, 2013, c. 476 16