Занятие 15-16

Занятие 15-16.
23.01.2010
28.01.2010
Тема 8. Теория выбора в условиях неопределенности
Поведение потребителя в условиях неопределенности. Модель принятия решений в
условиях неопределенности. Отношение к риску. Денежный эквивалент и премия за риск.
Графическое представление выбора потребителя в пространстве контингентных товаров.
Задача выбора оптимального инвестиционного портфеля (для случая одного рискового и
одного безрискового активов). Задача выбора оптимальной страховки.
Задача 1.
Рассмотрите
сложную
лотерею
1
2
L1  L2 ,
3
3
где
1 1 

L1   ( x a , xb , xc ), ( , ,0)  и
2 2 

1 1 

L2   ( x a , xb , xc ), ( ,0, )  .
2 2 

1) Найдите эквивалентную сложной лотерее простую лотерею.
2) Приведите примеры сложных лотерей, которые можно свести к такой простой лотерее,
полученной в п.1.
Задача 2.
Рассмотрите индивида, который следующим образом упорядочил денежные лотереи:
$600 f $400 f 0,9$600  0,1$0 f 0,2$600  0,8$0 f 0,25$400  0,75$0 f $0 .
Совместимы ли эти предпочтения с функцией ожидаемой полезности?
Задача 3.
У индивида элементарная функция полезности (функция Бернулли) u ( x)  x . Его
богатство w составляет $4. У него есть лотерейный билет, по которому индивид может
1
выиграть $12 с вероятностью или ничего не выиграть.
2
1) За какую самую низкую цену индивид согласится продать этот билет?
2) Если у индивида нет такого лотерейного билета, за какую максимальную цену он
согласится его купить?
Задача 4.
У индивида элементарная функция полезности u ( x)  ax  b, a  0 . Его богатство
составляет w . У него есть возможность сыграть в лотерею, в которой индивид может
выиграть m с вероятностью p или выиграть k с вероятностью (1- p).
1) Записать функцию ожидаемой полезности.
2) Найти полезность от ожидаемого выигрыша.
Задача 5.
Госпожа Ф. планирует кругосветное путешествие, на которое она планирует тратить
$9000. Её элементарная функция полезности u (x) =ln x.
1) Если c 20% вероятностью, что госпожа Ф. потеряет $6000 из ее наличных, найти
ожидаемую полезность от путешествия?
2) Предположим, что госпожа Ф. может застраховаться от потери $6000, причем страховой
взнос – за каждый $ необходимо заплатить $0,25. Считается ли предложенная страховка
актуарно справедливой?
3) Страхование на сумму, превышающую потери запрещено. На какую сумму будет
страховаться госпожа Ф. ?
4) Если госпоже Ф. предложили застраховаться на других условиях: заплатить 0,2$ за каждый
$ страховой премии, будет ли она приобретать страховку?
Задача 6.
У индивида элементарная функция полезности u ( x)  2 x . Его богатство составляет
$10000, включая автомобиль, стоимостью $5000. Вероятность угона составляет 10%.
Страховая компания предлагает ему приобрести страховку по цене $0,2 за каждый $
страховой премии.
1) Считается ли такой полис актуарно справедливым?
2) Записать функцию ожидаемой полезности.
3) Приобретёт ли индивид такую страховку?
4) Определить состояние природы и контингентные блага.
5) Вывести бюджетное ограничение в терминах контингентных благ.
6) Изобразить графически.
Задача 7.
У индивида элементарная функция полезности u ( x)  x . Его богатство w составляет
$10. У него есть возможность вложить свои деньги в безрисковый актив, по которому на
каждый вложенный доллар он получит $2. Кроме этого ему предлагается вложить деньги в
1
актив, по которому индивид на каждый вложенный доллар получит $5 с вероятностью
ис
3
2
вероятностью он вернет только вложенные деньги.
3
1) Записать функцию ожидаемой полезности.
2) Сколько индивид вложит в рисковый актив.
3) Не решая задачу, определите сколько индивид вложит в рисковый актив, по которому
1
2
индивид на каждый вложенный доллар получит $4 с вероятностью
и с вероятностью
он
3
3
вернет только вложенные деньги.
4) Как изменится ответ на вопрос 2), если индивид рискофил с функцией полезности
u ( x)  x 2 .
Задача 8.
Фермер на своих полях площадью 100 акров может выращивать зерно или картошку или
и то и другое. В случае хорошей погоды один акр земли с зерновыми приносит прибыль в $8,
а один акр с картофелем приносит $5. В случае плохой погоды один акр с зерновыми
приносит прибыль в $2, а один акр с картофелем приносит $5 прибыли. Вероятности
наступления хорошей и плохой погоды равны. У фермера элементарная функция полезности
u ( x)  2 x 2 .
1) Определить состояние природы и контингентные блага.
2) Вывести бюджетное ограничение в терминах контингентных благ.
3) Изобразить графически.
4) Сколько земли фермер отдаст под картофель?