Сравнение бесконечно малых функций

Сравнение
бесконечно малых функций
Порядок малости
 (x)
относительно  ( x)  x при x  0 ?
3 x3
 ( x) 
1 x
m -порядок малости  (x)
 ( x)  x
относительно  ( x)  x  a, x  a
 ( x)
lim ( x  a)
Порядок малости
xa
3 x3
 ( x)

 lim
lim
 lim
m
m
m
x0
x  0 (1  x) x
x  0 ( x  0)
x
 ( x)
?
?
m
?A  0
 A0
m?
Вычисление предела
3/ 2
3 x
3x 3 / 2

m  3 1  0
lim
m  lim
x
x0 1  x
x  0 (1  x) x
3/ 2
x
lim 3  3 lim
m
x0
x0 1  x
x
Теорема 9
?
?
?
о пределе произведения
lim f ( x)  B
xa
lim g ( x)  C
x a
lim f ( x) g ( x)  B  C
x a
0, m  3 / 2
 1, m  3 / 2

 , m  3 / 2

?
m  3/ 2
1  cos x
 ( x) 
x
Порядок малости
 ( x)  x
m -порядок малости  (x)
относительно  ( x)  x  a, x  a
 ( x)
lim ( x  a)
1  cos x
 ( x)
lim

m 
m
x

0
xx
x
?A  0 m  ?
?
lim
x0
Вычисление предела
xa
1  cos x
2  sin ( x / 2) 
1
2 sin 2 ( x / 2)





lim

 lim 
lim
m
1 m  2

1 m
x

0
x0
x/2  x
x0 4 
x
xx
?
2
x0

?

Теорема 9
о пределе произведения
x/2
lim f ( x)  B
xa
lim g ( x)  C
x a
lim f ( x) g ( x)  B  C
x a
 A0
2
?


lim  sin ( x / 2)  
m
?
0, m  1
1

lim m 1   1, m  1
x0 x
 , m  1

?
1  cos x
 ( x) 
x
Порядок малости
lim
x0
 ( x)  x
1  cos x
 ( x)
lim

m 
m
x

0
xx
x
m -порядок малости  (x)
относительно  ( x)  x  a, x  a
 ( x)
lim ( x  a)
A0 m?
Вычисление предела
xa
1  cos x
2  sin ( x / 2) 
1
2 sin 2 ( x / 2)





lim

 lim 
lim
m
1 m  2

1 m
x

0
x0
x/2  x
x0 4 
x
xx
m
 A0
2
2
2

  sin ( x / 2) 
 
lim  sin ( x / 2)   lim
x0
x

0
x
/
2
x/2
?


 
Теорема 9
о пределе произведения
Т. 16 о переходе к пределу
под знаком непрерывной функции
?
?
0, m  1
1

lim m 1   1, m  1
x0 x
 , m  1

1  cos x
 ( x) 
x
Порядок малости
 ( x)  x
1  cos x
 ( x)
lim

m 
m
x

0
xx
x
lim
x0
m -порядок малости  (x)
относительно  ( x)  x  a, x  a
 ( x)
lim ( x  a)
A0 m?
Вычисление предела
xa
m
 A0
1  cos x
1
2  sin ( x / 2) 
1
2 sin 2 ( x / 2)





lim

0
 lim 
lim
m
x0
x0
x / 2  x1 m 2 2
x0 4 
x1 m
xx
2
0, m  1
2

  sin ( x / 2) 
1

  1
lim  sin ( x / 2)   lim

lim
 1, m  1
m 1
x0
x0
x/2
2
?


 
Теорема 9
о пределе произведения
x/2
Т. 16 о переходе к пределу
под знаком непрерывной функции
1-й замечательный предел
?
x0
x
 , m  1

m 1
 ( x)  x
 ( x)  3  1
x
Порядок малости
lim
x0
относительно  ( x)  x  a, x  a
 ( x)
lim ( x  a)
A? 0 m  ?
 ( x)
3 1


lim
m
m
x0
x
x
?
x
Вычисление предела
lim
m -порядок малости  (x)
3
x0
x
 1 lim 3
 x0
m
?
x
1

1
x
m1 / 2

xa
?
y  3 x 1 t  0 x  0
x  ln( y  1) / ln 3
?
?
Теорема 9
о пределе произведения
lim f ( x)  B lim g ( x)  C
x a
xa
lim f ( x) g ( x)  B  C
x a
 A0
Замена переменных
x
ln 3
y  ln 3
3 x 1

lim
 lim
lim

x0
y  0 ln( y  1)
y  0ln( y  1) / y
x
x
m
lim
x0
?
1
x
m1 / 2
0, m  1 / 2

  1, m  1 / 2
 , m  1 / 2

?
 ( x)  x
 ( x)  3  1
x
Порядок малости
lim
x0
m -порядок малости  (x)
относительно  ( x)  x  a, x  a
 ( x)
lim ( x  a)
A 0m ?
 ( x)
3 1


lim
m
m
x0
x
x
x
xa
m
 A0
Вычисление предела
lim
x0
3
x
 1 lim 3
 x0
m
x
1

1
x
m1 / 2
Замена переменных

y  3 x 1 t  0 x  0
x  ln( y  1) / ln 3
x
ln 3
y  ln 3
3 x 1

lim
 lim
lim

ln
x0
y  0 ln( y  1)
y  0ln( y  1) / y
x
x
?
Теорема 9
о пределе произведения
Теорема 9
о пределе частного
ln( x  1)
1
x 0
x
lim
lim
x0
1
x
m1 / 2
3
0, m  1 / 2

  1, m  1 / 2
 , m  1 / 2

m  1/ 2
 ( x)   ( x)
малости относительно
x
Доказать, что
имеет 2 порядок
при
x  0.
 ( x)  1  x
x
 ( x)  1 
2
m -порядок малости  (x)
относительно  ( x)  x  a, x  a
 ( x)
Порядок малости
x
1

x

(
1

)
 ( x)   ( x)
2 
lim
 lim
A
x0
x0
x2
x2
?
lim ( x  a)
xa
m
 A0
m2
0
Преобразуем функцию под знаком предела
1  x  (1  x / 2)

x2
?
1  x  (1  x / 2)

x2
Умножение на сопряжённое

1  x  (1  x / 2)

 x2 / 4
x 2 ( 1  x  (1  x / 2))
1  x  (1  x / 2)
1  x  (1  x / 2)
(1  x)  (1  x / 2) 2
x ( 1  x  (1  x / 2))
2



1
1

4 1  x  (1  x / 2)
?
x0
?
?
 ( x)  1  x
x
 ( x)  1 
2
m -порядок малости  (x)
относительно  ( x)  x  a, x  a
 ( x)
Порядок малости
x
1

x

(
1

)
 ( x)   ( x)
2 
lim
 lim
A
x0
x0
x2
x2
lim ( x  a)
xa
0
m
 A0
m2
Вычисление предела
x
1  x  (1  )
2   1 lim
lim
x0
4 x 0
x2
?
1
1  x  (1  x / 2)

1 1
1
?     0
4 2
8
?0
lim ( 1  x  (1  x / 2))  lim 1  x  lim (1  x / 2) 2
x0
?
x 0
Теорема 9
арифметические свойства пределов
x 0
 ( x)   ( x)
lim
 1 / 8  0
2
x0
x
Доказать, что f ( x) ~ 4 x , f ( x)  x  x , x  0  0
эквивалентность
f ( x)
lim
x 0 0
4
x
x x
 lim
?
x 0  0
4
x
1
Эквивалентность б.м.ф.
 ( x) ~  ( x), x  a
?
 ( x)
1
lim

(
x
)
x a
Преобразование под знаком предела
4
x x
4
x

x
x
?
4
x
4
2
x
x

4
x
2

?1 
x
x0
Доказать, что f ( x) ~ 4 x , f ( x)  x  x , x  0  0
эквивалентность
lim
x 0 0
f ( x)
4
x
 lim
x x
x 0  0
4
x
1
?
Вычисление предела предела
lim
x 0 0
x x
4
x
?
1 x 
 xlim
0  0
Эквивалентность б.м.ф.
 ( x) ~  ( x), x  a
 ( x)
1
lim

(
x
)
x a
1?
Теорема 16
о переходе к пределу под знаком
непрерывной функции
x  x ~ 4 x,
x 00
Доказать, что f ( x) ~ x , f ( x)  x  x , x  
Эквивалентность б.м.ф.
 ( x) ~  ( x), x  a
эквивалентность
lim
f ( x)
x  
x
 lim
?
x x
x 
x
1
 ( x)
1
lim

(
x
)
x a
?
Преобразование под знаком предела
x x
x
x

?
x
x
2
x

x
x
2

?
1
1
x
Доказать, что f ( x) ~ x , f ( x)  x  x , x  
Эквивалентность б.м.ф.
 ( x) ~  ( x), x  a
эквивалентность
lim
x  
f ( x)
x
 lim
x x
x 
x
1
?
1
?1
 ( x)
1
lim

(
x
)
x a
вычисление предела
lim
x  
x x
x
?
1
 xlim
 
x
Теорема 16
о переходе к пределу под знаком
непрерывной функции

x  x ~ x,
x  
Подобрать такие константы C и k, чтобы
 ( x) ~  ( x)
x  x0
 ( x)  C sin( x  9  3)
2
 ( x)  x k
x0  0
эквивалентность
Эквивалентность б.м.ф.
C sin( x 2  9  3)

k
x0
x
 ( x) ~  ( x),
lim
1
k ?
C ?
xa
 ( x)
1
lim
x a  ( x)
Преобразование функции под знаком предела
sin( x 2  9  3)
C sin( x  9  3) C 

xk
Умножение на f(x)/f(x)
2
?
f ( x)  x  9  3
2
Умножение на сопряжённое
x 9 3
2
x2  9  3
2
x
9 3

xk
x2  9  3
C
x 9 3
2
sin( x 2  9  3)
Cx
x 9 3
2
2 k

?
x2
x ( x  9  3)
k
sin( x 2  9  3)
x 9 3
2

2


?
1
x2  9  3
 ( x)  C sin( x  9  3)
2
 ( x)  x k
x0  0
эквивалентность
lim
x0
C sin( x 2  9  3)

k
x
1
C ?
Эквивалентность б.м.ф.
 ( x) ~  ( x),
 ( x)
k ?
lim  ( x)
xa
1
x a
Вычисление предела
2
1
C sin( x 2  9  3) lim C  x 2k sin( x  9  3) 

lim
 x0
2
2
k
x0
x
x 9 3
x 9 3
sin y
lim sin( x  9  3)  lim
?
1
?
x0
2
y 0
y
x2  9  3
Теорема 9
о пределе произведения
lim f ( x)  B lim g ( x)  A
xa
x a
Замена переменных
lim 2f ( x) g ( x)  B  A
y xax  9  3 y  0 x  0
1-й замечательный предел
lim
1

?1
C?1/ 6  1
k 2
x 9 3
k2
0

lim x 2k  ? 1 k  2
x0
 k 2

x0
2
 ( x)  C sin( x  9  3)
2
 ( x)  x k
x0  0
эквивалентность
lim
x0
C sin( x 2  9  3)

k
x
1
C ?
Эквивалентность б.м.ф.
 ( x) ~  ( x),
k ?
 ( x)
lim  ( x)
xa
1
x a
Вычисление предела
2
1
C sin( x 2  9  3) lim C  x 2k sin( x  9  3) 

lim
 x0
2
2
k
x0
x
x 9 3
x 9 3
Теорема 9
о пределе произведения
lim f ( x)  B lim g ( x)  A
x a
xa
lim f ( x) g ( x)  B  A
x a
C 1/ 6  1
C6 k 2
sin 2 x  2arctg 3x  3x 2
lim
x 0 ln( 1  3 x  sin 2 x)  xe x
Вычислить
Асимптотические формулы
sin 2 x ~ 2 x
?
sin 2 x  2 x  o(2 x)
arctg 3x ~ 3x
arctg 3x  3x  o(3x)
?
О-малое
f ( x)  o( ( x)), x  x0
f ( x)
0
x  x0  ( x )
lim
таблица эквивалентностей
x0
sin x ~ x arctg x ~ x
e x  1 ~ x ln( 1  x) ~ x
Теорема 25
 ( x) ~  ( x), x  a
 ( x)   ( x)  o(  ( x)) 
o( ( x))
xe x ~ x
xex  x? o(x)
ln( 1  3x  sin 2 x) ~ 3x  sin 2 x ~ 3x
ln( 1  3x  sin 2 x)  3x  o(3x)
?
sin 2 x  2arctg 3x  3x 2
Вычислить lim
x 0 ln( 1  3 x  sin 2 x)  xe x
Асимптотические формулы
Вычисление предела
lim sin 2 x  2arctg2 3x  3x x 
x0
ln( 1  3x  sin x)  xe
2
x0
sin 2 x  2 x  o(2 x) arctg 3x  3x  o(3x)
ln( 1  3x  sin 2 x)  3x  o(3x)
?
xe x  x  o(x)
2 x  o(2 x)  6 x  2  o(3x)  3x 2
 lim

x 0
3x  o(3x)  x  o( x)
o( x ) / x
8  o( x) / x 8  lim
8 x  o( x )
x(8  o( x) / x)
x 0


lim
 lim
 lim
x

0
x 0 4 x  o( x )
x 0 x ( 4  o ( x ) / x )
4  o( x) / x 4  lim o( x) / x
?
?
?
?
?2
x 0
Формулы для
о-малого
x0
o( f ( x))  o( ( x))  o( f ( x)   ( x))
o( f ( x))  o( f ( x))  o( f ( x))
sin 2 x  2arctg 3x  3x 2
lim
2
2
x
x 0 ln( 1  3 x  sin x)  xe
Вычислить lim [ x(ln( 1  x / 2)  ln x / 2)]
x 
Преобразование функции под знаком предела
ln( 1  x / 2)  ln x / 2 
?
ln
1 x / 2

x/2
асимптотическая формула при
ln( 1  2 / x)
x  
ln( 1  2 / x)  ?2 / x  o(2 / x)
ln( 1  2 / x) ~ 2 / x
?
Теорема 25
 ( x) ~  ( x), x  a
 ( x)   ( x)  o(  ( x)) 
o( ( x))
?
таблица эквивалентностей
x0
ln( 1  x) ~ x
Вычислить lim [ x(ln( 1  x / 2)  ln x / 2)]
x 
Вычисление предела
?
?
[ x  ln( 1  2 / x)] 
lim [ x(ln( 1  x / 2)  ln x / 2)]  xlim

x  
?2
 lim [ x(2 / x  o(2 / x))]  lim (2  0(1)) 
x 
?
x  
Асимптотическая формула
x0
ln( 1  2 / x)  2 / x  o(2 / x)
Формулы для о-малого
o( f ( x))  o( ( x))  o( f ( x)   ( x))
o( f ( x))  o( f ( x))  o( f ( x))
lim [ x(ln( 1  x / 2)  ln x / 2)]  2
x 
13. Вычислить
lim x(ln( 1  x / 2)  ln x / 2)
x 
1. Преобразуем выражение
ln( 1  x / 2)  ln x / 2  ln
1. Запишем эквивалентности при
ln( 1  2 / x) ~ 2 / x
1 x / 2
 ln( 1  2 / x)
x/2
x0
2. По асимптотическим формулам
ln( 1  x) ~ x
ln( 1  2 / x)  2 / x  o(2 / x)
3. Вычислим предел
lim x(ln( 1  x / 2)  ln x / 2)  lim x(2 / x  o(2 / x))  lim (2  0(1))  2
x 
x 
x 
o( f ( x))  o( ( x))  o( f ( x)   ( x))
f ( x)
0
x  x0  ( x)
f ( x)  o( ( x)), x  x0  lim
lim x(ln( 1  x / 2)  ln x / 2)
x 
13. Вычислить
sin 2 x  2arctg 3x  3x 2
lim
x 0 ln( 1  3 x  sin 2 x)  xe x
x0 x
arctg 3x ~ 3x xe ~ x
1. Запишем эквивалентности при
sin x ~ x
sin 2 x ~ 2 x
ln( 1  3x  sin 2 x) ~ 3x  sin 2 x ~ 3x
ex 1 ~ x
 ( x) ~  ( x)   ( x)  o( ( x)   ( x))
2. По асимптотическим формулам
sin 2 x  2 x  o(2 x)
arctg x ~ x x  0
ln( 1  x) ~ x
arctg 3x  3x  o(3x)
x  x0
x
ln( 1  3x  sin 2 x)  3x  o(3x) xe  x  o(x)
3. Вычислим предел отношения
sin 2 x  2arctg 3x  3x 2
2 x  o(2 x)  6 x  2  o(3x)  3x 2
lim
 lim

x 0 ln( 1  3 x  sin 2 x )  xe x
x 0
3x  o(3x)  x  o( x)
o( f ( x))  o( f ( x))  o( f ( x))
x  x0
8 x  o( x )
 lim
x 0 4 x  o( x )
3. Разделим числитель и знаменатель на
x
o( x ) / x
8 x  o( x )
8  o( x) / x 8  lim
x 0
lim
 lim

2
x 0 4 x  o( x )
x 0 4  o( x ) / x
4  lim o( x) / x
x 0
sin 2 x  2arctg 3x  3x
lim
2
x 0 ln( 1  3 x  sin 2 x)  xe x
2
f ( x)
0
x  x0  ( x)
f ( x)  o( ( x)), x  x0  lim
 ( x) ~  ( x), x  a
ln( 1  x) ~ x  1
?