Вычеты. Основная теорема о вычетах Математический анализ Раздел: ФКП

Математический анализ
Раздел: ФКП
Тема: Вычеты. Основная теорема
о вычетах
(основная теорема о вычетах,
применение вычетов )
Лектор Пахомова Е.Г.
2010 г.
3. Основная теорема о вычетах
ТЕОРЕМА 9 (основная теорема о вычетах).
Пусть а) функция f(z) аналитична в ограниченной односвязной области D за исключением конечного числа
изолированных особых точек z1 , z2 , … zn ;
б) C – замкнутый контур в D , внутри которого содержатся точки z1 , z2 , … zn .
n
Тогда
 f ( z)dz  2i  k1 zres
z
C
f ( z)
k
СЛЕДСТВИЕ 10.
Пусть функция f(z) аналитична в ограниченной односвязной
области D за исключением конечного числа изолированных
особых точек z1 , z2 , … zn . Тогда сумма всех вычетов
функции f(z) относительно ее особых точек, включая вычет
n
относительно ∞ , равна нулю, т.е.
res f ( z )   res f ( z )  0
z 
k 1
z  zk
4. Применение вычетов при вычислении
интегралов
а) Вычисление контурных интегралов
sin 4 zdz
ПРИМЕР 1. Найти 
2
(
z

2
)
( z  3)( z  6)
z 5
ПРИМЕР 2. Найти
z15 dz
 z8  2
z 3
a  2
б) Вычисление интегралов типа
 R(cos x, sin x)dx
a
e ix  e ix
Имеем: cos x 
,
2
e ix  e ix
sin x 
2i
Замена: z = eix
a  2
Получим:
i  z 2  1 z 2  1 
 R(cos x, sin x)dx    z  R 2 z , 2 zi dz
a
z 1

ПРИМЕР 3. Найти
dx
 5  3 sin x


в) Вычисление интегралов типа
Pn ( x)
 Pm ( x) dx

(где m  n + 2 , Pm(x)  0 , xℝ ).
ТЕОРЕМА 11.
Pn ( x)
Пусть f ( x) 
,
Pm ( x)
где Pn(x), Pm(x) – многочлены степени n и m
соответственно, причем m  n + 2 , Pm(x)  0 , xℝ

m
Pn ( x)
v. p. 
dx  2 i res f ( z ) ,
Тогда
z  zk
P ( x)
k 1
 m
где z1 , z2 , … , zm – особые точки f(z) , лежащие в
верхней полуплоскости (т.е. Imzk > 0)

ПРИМЕР 4. Найти
x2
 ( x 2  1)( x 2  9) dx

г) Вычисление интегралов типа




 f ( x) cos xdx ,  f ( x) sin xdx
ЛЕММА 12 (Жордана).
Пусть имеется семейство дуг полуокружностей
CR : | z | = R , Imz  0 (где R  + )
Обозначим
M ( R )  max | f ( z ) | .
zC R
Если f(z) аналитическая в верхней полуплоскости за исключением конечного числа особых точек и
lim M ( R )  0 ,
R  
то
lim
R  
где ℝ ,  > 0.
iz
e
 f ( z)dz  0 ,
CR
ТЕОРЕМА 13.
Пусть 1) f(z) аналитична на вещественной оси
2) f(z) аналитична в верхней полуплоскости за исключением особых точекz1 , z2 ,…, zm ;
3) f(z) удовлетворяет условиям леммы Жордана.
Тогда для любого  > 0 интеграл

J  v. p.  e i x  f ( x)dx
– сходится

m
и
J  2 i res e i z  f ( z ) ,
k 1
z  zk
где z1 , z2 , … , zm – особые точки f(z) , лежащие в верхней
полуплоскости (т.е. Imzk > 0) .
СЛЕДСТВИЕ 14.
Пусть f(z) удовлетворяет условиям теоремы 13.

Тогда
m


i

z
v. p.  f ( x) cos xdx  Re 2 i res e  f ( z )  ,
 k 1 z  zk





m


i

z
v. p.  f ( x) sin xdx  Im 2 i res e  f ( z )  ,
 k 1 z  zk




где z1 , z2 , … , zm – особые точки f(z) , лежащие в верхней
полуплоскости (т.е. Imzk > 0) .

ПРИМЕР 5. Найти
sin xdx
 x 2  2 x  10
