2.3. Дробный квантовый эффект Холла Система уровней в первой зоне Ландау. Понятие Лафлиновской жидкости как нового состояния двумерного электронного газа. Возбуждения с дробным зарядом Открытие эффекта . Поперечная проводимость ρXY и магнетосопротивление ρXX в дробном квантовом эффекте Холла 2 Система уровней в первой зоне Ландау . Вследствие сильного кулоновского отталкивания электроны образуют несжимаемую квантовую жидкость жидкость Лафлина Рассмотрим электрон в сильном поперечном магнитном поле в двумерном случае Векторный потенциал: A A Z 0; A H / 2( y , x) H / 2 Гамильтониан: 2 Ĥ [1 / 2m*][( / i) / r (e / c)A] Общее решение: (, , z) R () exp[ik Z z im] 3 В цилиндрических координатах: 2 Ĥ [1 / 2m*][p (e / c) A] p̂ 2 e2 e 2 A [Ap̂ p̂A]; 2 2m * 2 m * c 2m * c Система уровней в первой зоне Ландау . Оператор импульса: 1 p ( i i iZ ); i z Далее, 2 2 1 1 2 e2H2 2 eH Ĥ [ 2 ( ) 2 2 ] . 2m * z 2m * ci 8m * c 2 Для радиальной части имеем следующее уравнение: 2 m2 [ ]R 1 / [ ]R 2 R 2R 2m R R; 2 2 eH / 2c 1 / 2lH2 ; 2m * E / 2 k 2Z . Проводим перенормировку радиальной переменной на магнитную длину: m2 [ ]R [ ]R R[ ]0, 4 4 2 / 4 m / 2. 2 4 2 Система уровней в первой зоне Ландау . Асимптоты решения: exp[ / 2]; ; R () ~ |m|/ 2 ; 0. Ищем решение в виде R () W() exp[ / 2]|m|/ 2 W [| m | 1 ]W [ (| m | 1) / 2]W 0 дифференциальное уравнение уравнение для вырожденной гипергеометрической функции, его решение Полученное W() F1 ([ | m | 1 ], | m | 1, ). 2 Спектр: E nm (k Z ) C (n | m | / 2 m / 2 1 / 2) 2k 2Z / 2m * 5 Система уровней в первой зоне Ландау . Полная волновая функция имеет вид: (, , z) R() exp[ik Zz im] exp[ik Zz im / 2]|m|/ 2 В плоской геометрии m (z) zm m 2 2 m! exp | z |2 / 4 Условия ограниченности решения на бесконечности приводят к выражению, определяющему спектр электрона: E nm (k Z ) C (n | m | / 2 m / 2 1 / 2) 2k 2Z / 2m * Таким образом, кроме обычного квантования по зонам Ландау имеет место квантование по угловому моменту m В каждой зоне Ландау с определенным n имеется бесконечный набор вырожденных энергетических уровней m с энергией, совпадающей с обычной энергией уровня Ландау: 6 E nm (k Z ) C (n 1 / 2) 2k 2Z / 2m* Снятие вырождения . Рассмотрим двумерный электронный газ в (x,y) плоскости, находящийся в поперечном магнитном поле. Гамильтониан системы: 1 e Ĥ j Aj c j 2m * i 2 e2 V(rj ) , jk | rj rk | Вариационная волновая функция: 1 N m m (z1 ,...z N ) (z j z k ) exp | z i |2 4 i1 jk Сконструируем аналог классического действия: | m |2 exp[ ]. 1 2m 2 ln | z j z k | m | z j |2 . 2 j j k Получили энергию классической однокомпонентной плазмы в 7 двумерном пространстве, где кулоновское описывается логарифмическим потенциалом 2 v (z j z k ) 2e ln | z j z k | взаимодействие Лафлиновская жидкость . Жидкость Лафлина оказалась новым квантовым состоянием двумерной взаимодействующей системы. Специфическая особенность состояния Лафлина элементарные возбуждения в ней могут иметь дробный заряд Построение возбужденного состояния: в какой-либо точке z0 плоскости вносится перпендикулярно ей бесконечный тонкий соленоид, и через него адиабатически медленно пропускается единичный квант магнитного потока Добавка в векторный потенциал: (z z 0 ) m exp[1 / 4 | z |2 ] (z z 0 ) m1 exp[1 / 4 | z |2 ] Вариационная волновая функция: m z0 1 N m A Z 0 m (z i z 0 ) (z j z k ) exp | z i |2 4 i1 j k i Эта волновая функция соответствует элементарному возбуждению, 8 которое называют “квазиэлектрон” Лафлиновская жидкость . Полученные элементарные возбуждения являются частицами с зарядом e*=e/m Сконструируем классическое дейстсвие: | m Тогда z0 |2 exp[ ]; 1 / m 2m ln | z z 0 | i Получившееся выражение описывает взаимодействие однокомпонентной плазмы заряженных частиц (с зарядом e*=m) с точечным зарядом, находящимся в точке z0. Плазма будет экранировать этот заряд, создавая равный по величине и противоположный по знаку заряд вокруг z0 Рассматриваемое возбуждение относительно реальных электронов будет иметь дробный заряд e*=e/m 9 Лафлиновская жидкость . Квазичастицы, “квазидырка” и “квазиэлектрон”, локализованы в области пространства размером порядка магнитной длины Пользуясь аналогией с плазмой, и исходя из энергии экранирования плазмой единичного заряда, можно оценить энергетическую щель в спектре: E(mz0 ) E(mz0 ) 2E(m ) Δ ~ e2/ε m2lH ~ 4-5 K при поле ~ 10 Тл; m=3,5; ε ~ 10 Основное 10 состояние жидкости Лафлина отделено от возбужденного состояния конечной энергетической щелью Конечная щель говорит о том, что эта жидкость несжимаема Если в целочисленном эффекте возрастание концентрации примесей в известных пределах уширяет плато на полевой зависимости холловского сопротивления, то в дробном эффекте увеличение концентрации примеси может уменьшить ширину плато