ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ СВЯЗАННЫХ С КОЭФФИЦИЕНТАМИ

ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ
СВЯЗАННЫХ С КОЭФФИЦИЕНТАМИ РЕГРЕССИИ
Модель:
Y = b1 + b2X + u
Нулевая гипотеза:
H0 : b2  b
0
2
Альтернативная гипотеза:
H0 : b2  b
0
2
Проверка нулевой гипотезы, что b2 = b20 или альтернативной
гипотезы.
ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ
СВЯЗАННЫХ С КОЭФФИЦИЕНТАМИ РЕГРЕССИИ
Модель:
Y = b1 + b2X + u
Нулевая гипотеза:
H0 : b2  b
Альтернативная гипотеза:
Пример модели:
0
2
H0 : b2  b
0
2
p = b 1 + b 2w + u
H 0 : b 2  1.0
Альтернативная гипотеза: H 0 : b 2  1.0
Нулевая гипотеза:
Пример: Темпы общей инфляции в зависимости от темпов
роста заработной платы.
4
ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ
Плотность
вероятности b2
Распределение b2 для истинной нулевой
гипотезы H0: b2 =1.0 (стандартное
отклонение 0.1 )
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
1.1
1.2
1.3
1.4
b2
Если нулевая гипотеза истинна, то предположим, что регрессионный
коэффициент b2 будет иметь распределение симметричное относительно
1.0 со стандартным отклонением 0.1.
6
ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ
Плотность
вероятности b2
Распределение b2 для истинной нулевой
гипотезы H0: b2 =1.0 (стандартное
отклонение 0.1 )
b20-4sd b20-3sd b20-2sd b20-sd
b20
b20+sd b20+2sd b20+3sd b20+4sd
b2
Предположим, что стандартное отклонение (sd) известно.
6
ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ
Плотность
вероятности b2
Распределение b2 для истинной нулевой
гипотезы H0: b2 =1.0 (стандартное
отклонение 0.1 )
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
1.1
1.2
1.3
1.4
b2
Предположим, что оценка коэффициент уравнения инфляции b2, равна 0.9.
Противоречит ли это нулевой гипотезе b2 = 1.0? По-видимому нет, т.к. 0,9
близка к 1.0 и находится в пределах 1 стандартного отклонения.
Вероятность появления оценки в пределах 1 с.о. 68,3% (вне 31,7%).
9
ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ
Плотность
вероятности b2
Распределение b2 для истинной нулевой
гипотезы H0: b2 =1.0 (стандартное
отклонение 0.1 )
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
1.1
1.2
1.3
1.4
b2
Предположим, что оценка равна 1.4. Противоречит ли это нулевой
гипотезе?. Эта оценка находится в пределах 4 с.о., вероятность подобного
равна 0.006%.
14
ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ
Плотность
вероятности b2
Распределение b2 для истинной нулевой
гипотезы H0: b2 =1.0 (стандартное
отклонение 0.1 )
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
1.1
1.2
1.3
1.4
b2
Пусть оценка равна 0.77. Противоречит ли это нулевой гипотезе?. Эта
оценка находится в пределах 2-3 с.о. Есть две возможности: первая –
нулевая гипотеза верна, и вторая – нет и рост инфляции не определяется
ростом зарплаты.
14
ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ
Плотность
вероятности b2
Распределение b2 для истинной нулевой
гипотезы H0: b2 =1.0 (стандартное
отклонение 0.1 )
b20-4sd b20-3sd b20-2sd b20-sd
b20
b20+sd b20+2sd b20+3sd b20+4sd
b2
Обычная процедура принятия решений: гипотеза
отбрасывается, если вероятность ее меньше порогового
значения (5% или 1%). Вычисление НОРМРАСП и НОРМОБР.
6
ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ
Плотность
вероятности b2
Распределение
b2 для истинной нулевой
0
гипотезы H0: b2 =1.0 (стандартное
отклонение 0.1 )
2.5%
b20-4sd b20-3sd b20-2sd b20-sd
2.5%
b20
b20+sd b20+2sd b20+3sd b20+4sd
b2
Например, можно предположить, что гипотеза отбрасывается при пороге
вероятности меньшим чем 0.05 (5%). 2.5% хвосты – это 1,96 стандартного
отклонения.
21
ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ
Плотность
вероятности b2
2.5%
0.6
0.7
По этому правилу первая оценка
2.5%
0.8
0.9
1.0
1.1
1.2
1.3
1.4
b2
b2 равная 0,9 не противоречит нулевой гипотезе.
23
ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ
Плотность
вероятности b2
2.5%
0.6
Вторая оценка
0.7
2.5%
0.8
0.9
1.0
1.1
1.2
1.3
1.4
b2
b2 равная 1.4 противоречит нулевой гипотезе.
23
ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ
Плотность
вероятности b2
2.5%
0.6
Третья оценка
0.7
2.5%
0.8
0.9
1.0
1.1
1.2
1.3
1.4
b2
b2 равная 0,77 так же противоречит нулевой гипотезе.
23
ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ
Плотность
вероятности b2
b2  b 20
z
s.d.
Правило (5% уровень):
отклонить H0 : b 2  b 20
(1) если b2  b 20  1.96 s.d. (2) если b2  b 20  1.96 s.d.
(1) если b2  b 20  1.96 s.d. (2) если b2  b 20  1.96 s.d.
(1) если (b2  b 20 ) / s.d.  1.96 (2) если (b2  b 20 ) / s.d.  1.96
(1) если z > 1.96
(2) если z < -1.96
2.5%
b20-1.96sd b20-sd
2.5%
b20
b20+sd b20+1.96sd
b2
H0 отклоняется если значение оценки больше 1.96 (положительное или
отрицательное).
29
ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ
Плотность
вероятности b2
Правило (5% уровень):
отклонить H0 : b 2  b 20
(1) если z > 1.96
(2) если z < -1.96
Область принятия b2:
b2  b 20
z
s.d.
b 20  1.96 s.d.  b2  b 20  1.96 s.d.
 1.96  z  1.96
2.5%
b20-1.96sd b20-sd
2.5%
b20
b20+sd b20+1.96sd
b2
Область принятия гипотезы H0 .
29
ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ
Правило 5%:
отвергнуть H0 : b2  1.0
(1) если b2  b 20  1.96 s.d. (2) если b2  b 20  1.96 s.d.
(1) если b2  1.0  1.96  0.1(2) если b2  1.0  1.96  0.1
(1) если b2  1.196
(2) если b2  0.804
Р( b2)
Допустимая область b2:
0.804  b2  1.196
2.5%
0.6
0.7
2.5%
0.8
0.9
1.0
1.1
1.2
1.3
1.4
b2
Область принятия гипотезы для b2 в интервале от 0.804 до 1.196.
36
ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ
Ошибки I вида: отбрасывание H0 когда она верна.
плотность b2
отбрасывание
Область принятия для b2
H0 : b 2  b 20
отбрасывание
H0 : b 2  b 20
2.5%
b20-1.96sd b20-sd
2.5%
b20
b20+sd b20+1.96sd
b2
Уровень значимости 2,5%. Вероятность отбросить верную гипотезу
меньше 5%.
37
ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ
Плотность
вероятности b2
отказ H0 : b 2  b 20
принятие b2
2.5%
b20-1.96sd b20-sd
отказ H0 : b 2  b 20
2.5%
b20
b20+sd b20+1.96sd
b2
Область принятия при хвостах меньших 0.5%. Вероятность
отбросить верную гипотезу H0 меньше 1%. Порог 2,58 sd.
Область принятия от 0.742 до 1.258
42
ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ
Сравнение 5% и 1% области принятия
5%: b 20  1.96 s.d.  b2  b 20  1.96 s.d. -1.96 < z < 1.96
Плотность
вероятности b2
z
b2  b
s.d.
1%: b 20  2.58 s.d.  b2  b 20  2.58 s.d. -2.58 < z < 2.58
1% level
0
2
5% level
0.5%
b20-4sd b20-3sd b20-2sd b20-sd
0.5%
b20
b20+sd b20+2sd b20+3sd b20+4sd
b2
Если гипотеза H0 отвергается на 1% уровне, то необходимо отбросить ее и
на 5%. Если гипотеза H0 принимается на 5%, то она принимается и
на 1% уровне.
47
ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ
Общий случай
b  2.58 s.d.
b  1.96 s.d.
0
2
0
2
b 20
b 20  1.96 s.d.
b  2.58 s.d.
0
2
Решение
Отказ H0 на 1% уровне (и на 5% ур-не)
Отказ H0 на 5% ур-не но не на 1% ур.
Принятие H0 на 5% ур. (или на 1% ур.)
Отказ H0 на 5% ур. Но не на 1% ур.
Инфляция/
зарплата
1.258
1.196
1.000
0.804
0.742
Отказ H0 на1% ур. (и на 5% уровне)
Принятие решений на 5% и 1% уровне.
49
ОШИБКИ I и II ТИПА
Гипотетическое распределение
H 0 : b 2  b 20
Принятие b2
5% уровень
2.5%
2.5%
b20-1.96sd b20-sd
b20
b20+sd b20+1.96sd
b2
Ошибка I типа – отказ от H0, когда она истинна.
Ошибка II типа – отказ от H1, когда она истинна.
На графике риск ошибки I типа меньше 5%.
2
ОШИБКИ I и II ТИПА
Гипотетическое
распределение для H0 : b 2 
b 20
Область принятия b2
1% level
5% level
0.5%
b20-2.58sd
0.5%
b20-sd
b20
b20+sd
b20+2.58sd
b2
Используя 1% тест, вместо 5% теста, можно уменьшить ошибку I типа до
1%, если гипотеза H0 верна. Если гипотеза H0 ложна, то чем шире область
принятия, тем больше вероятность ошибки II рода.
Диаграмма распределения b2 в действительности не известна.
5
ОШИБКИ I и II ТИПА
Гипотетическое
распределение для
H0 : b 2  b 20
Область принятия для b2
1% уровень
Действительное
распределение
для
5% уровень
0.5%
H1 : b 2  b 21
0.5%
b20
b21-2sd b21-sd
b21
b21+sd b21+2sd
b2
Предположим, что H1: b2 = b21 истинна и распределение b2 соответствует правой
кривой.
8
ОШИБКИ I и II ТИПА
Гипотетическое
распределение для
H0 : b 2  b 20
Область принятия для b2
1% уровень
Действительное
распределение
для
5% уровень
0.5%
H1 : b 2  b 21
0.5%
b20
b21-2sd b21-sd
b21
b21+sd b21+2sd
b2
Для приведенного значения b2 следует отвергнуть гипотезу H0, т. К. она не
соответствует ни 5%, ни 1% тесту.
8
ОШИБКИ I и II ТИПА
Гипотетическое
распределение для
H0 : b 2  b 20
Область принятия для b2
1% уровень
Действительное
распределение
для
5% уровень
0.5%
H1 : b 2  b 21
0.5%
b20
b21-2sd b21-sd
b21
b21+sd b21+2sd
b2
В этом случае можно совершить ошибку II рода, приняв гипотезу H0, не
соответствующую истине при любых порогах значимости.
8
ОШИБКИ I и II ТИПА
Гипотетическое
распределение для
H0 : b 2  b 20
Область принятия для b2
1% уровень
Действительное
распределение
для
5% уровень
0.5%
H1 : b 2  b 21
0.5%
b20
b21-2sd b21-sd
b21
b21+sd b21+2sd
b2
В случае этой оценки можно принять правильное решение при 5% пороге, но
совершить ошибку II рода при 1 % пороге.
8
ОШИБКИ I и II ТИПА
Гипотетическое
распределение для
H0 : b 2  b 20
Область принятия для b2
1% уровень
Действительное
распределение
для
5% уровень
0.5%
H1 : b 2  b 21
0.5%
b20
b21-2sd b21-sd
b21
b21+sd b21+2sd
b2
Области совершения ошибки II рода при принятии гипотезы H0 при 5% пороге и 1 %
пороге. 1% тест увеличивает вероятность ошибки II рода.
Проблема в том, что априори неизвестно истинна H0 или нет. Какой тест предпочесть в
таких условиях? В случае уверенности на основании априорной информации в
истинности H0 следует использовать 1% тест, в случае уверенности в истинности H1
использовать 5% тест.
8