Лекция №11. Квантовый осциллятор.

Лекция № 11
Квазиклассический метод нахождения
стационарных состояний
Алексей Викторович
Гуденко

03/05/2013
План лекции
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Квантование момента импульса.
Квазиклассический метод нахождения стационарных
состояний.
Гармонический осциллятор.
Нулевые колебания и соотношение
неопределённостей.
Вращательные и колебательные уровни энергии
Электрон в кулоновском потенциале.
Операторы физических величин

Постулат квантовой теории:
Состояние, в котором физическая величина Q
имеет определённое значение, описывается ψфункцией, которое является решением уравнения:
Qψ = Qψ,
где Q – оператор физической величины Q
Пример:
pxψ = pxψ → -iћ∂ψ/∂x = pxψ → ψ = Ceikx (k = px/ћ) –
плоская волна де-Бройля свободной частицы
(координатная часть)
Момент импульса






Оператор проекции момента импульса Lz = -iћ∂/∂φ
Уравнение для нахождения собственных значений и
собственных функций:
Lzψ = Lzψ → -iћ∂ψ/∂φ = Lzψ
Решение:
ψ = ψ0exp(iLzφ/ћ)
Однозначность:
ψ(φ + 2π) = ψ(φ) → exp(2πLz/ћ) = 1 →
Lz = mћ, |m| = 0, 1, 2, …
Нормировка:
∫ψψ*dφ = 1 → ψ0 = 1/(2π)1/2 →
ψ = 1/(2π)1/2exp(imφ)
Lz = mћ; m – магнитное квантовое число
Момент импульса





<L2> = <Lx2>+ <Ly2 > + <Lz2>
Сферическая симметрия:
<Lx2> = <Ly2 > = <Lz2> →
L2 = 3<Lz2>
|Lz| ≤ L →
mmax = ℓ: m = -ℓ, -(ℓ - 1), …-2, -1, 0, 1, 2, …, ℓ - 1, ℓ
количество значений m равно (2ℓ + 1) штук.
<Lz2> = 1/(2ℓ + 1) Σ(ћm)2 = ћ2/(2ℓ + 1) Σm2 = 1/3 ћ2ℓ(ℓ + 1)
{Σm2 = 1/6 ℓ(ℓ + 1)(2ℓ + 1)}
L2 = ћ2ℓ(ℓ + 1); ℓ - азимутальное квантовое число
Момент импульса


Lz = mћ; |m| = 0, 1, 2, … ℓ – магнитное
квантовое число
L2 = ћ2ℓ(ℓ + 1); ℓ = 0, 1, 2, … - азимутальное
квантовое число
Квантовый ротатор


Er = L2/2I = ћ2ℓ(ℓ + 1)/2I – энергия
вращательного движения квантуется.
Квант вращательного движения:
ΔE = ћ2(ℓ + 1)/I
(Правило отбора Δℓ = -1, +1)
Молекула водорода – квантовый
ротатор


Вращение «размораживается» при температуре
kT ~ ΔE ~ ћ2/I → T ~ ΔE/k ~ ћ2/Ik
Момент инерции молекулы водорода:
I = 2mp(d/2)2 = mpd2/2 ;
d ~ 1 A – межъядерное расстояние;
mp = 1,67 10-24 г – масса протона.
T ~ ћ2/Ik = 2ћ2/ mpd2k =
2*(1,05*10-27)2/1,67*10-24 (10-8)2 1,38*10-16 ~ 100 K
Теплоёмкость водорода
(эксперимент)
Гармонический осциллятор

U = ½ mω2x2
Уравнение Шредингера для одномерного
гармонического осциллятора:
∂2ψ/∂x2 + 2m/ћ2(E – ½mω2x2)ψ = 0




En = ½ mω2Ln2 → Ln = (2En/mω2)1/2
λ = h/p = h/(2mEn)1/2
Ln = nλ/2 →
(2En/mω2)1/2 = nh/2(2mEn)1/2 →
En = (2π/4) ћωn = C ћωn
En = Cћωn – в квантовом осцилляторе уровни
эквидистантны!
Квантовый осциллятор
Квантовый осциллятор


Принцип соответствия:
В пределе больших квантовых чисел
«квантовая система»
превращается в «классическую».
Классический электрон излучает с частотой
движения → ωкл = ΔE/ћ
Δωкл = 1/ћ dE/dn = Cω → С = 1
Квантовый осциллятор
En = (n + ½) ћω

Энергия нулевых колебаний (n = 0):
при n = 0 E ≠ 0 – соотношение неопределённостей:
ΔpΔx ~ ћ
Δp ~ p
Δx ~ x → p ~ ћ/2x
U = ½ mω2x2; K = p2/2m = ћ2/8mx2
E = U + K → U = K → x2 = ћ/2ω2m → Emin = 2U = ½ћω

E0 = ½ ћω – энергия нулевых колебаний



Квантовый осциллятор:
En = (n + ½) ћω
Квантовый осциллятор
Квантовый осциллятор и
теплоёмкость водорода



Характерная энергия колебаний:
ωкол ~ ωэл(me/mp)1/2
Eкол ~ Eэл(me/mp)1/2 ~ 10 эВ/(2000)1/2 ≈ 0,2 эВ
Колебательные степени свободы
«размораживаются» при температуре:
T ~ Eкол/k = 0,2 1,6 10-12 /1,38 10-16 ~ 2000 K
Энергия колебаний атомов в
молекуле
Теплоёмкость водорода
(эксперимент)
Кулоновский потенциал




U = - e2/r
Уравнение Шредингера для электрона в кулоновском
поле:
Δψ + 2m/ћ2(E + e2/r)ψ = 0
Квазиклассика:
|En| = e2/Ln → Ln = e2/|En|
условие квантования:
Ln = nλ/2 → e2/|En| = nћ/2(2mEn)1/2 → En = Ce4m/n2ћ2
Принцип соответствия: ωкл = ω
ω = 1/ћ dE/dn = -2Ce4m/n3ћ3 = -2En/nћ
ωкл2 = e2/mr3 = -8En3/me4 → ωкл = ω →
En = - me4/2n2ћ2 – совпадает с точным решением
Кулоновский потенциал