Лекция 11: Квазиклассика

Лекция № 11
Квантование момента импульса. Квазиклассический
метод нахождения стационарных состояний.
Алексей Викторович
Гуденко

08/05/2015
План лекции
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Квантование момента импульса.
Вращательные и колебательные уровни энергии.
Частица в глубокой прямоугольной яме.
Квазиклассический метод нахождения стационарных
состояний.
Гармонический осциллятор.
Электрон в кулоновском потенциале - спектр атома
водорода.
Демонстрации

Опыт Франка и Герца
Опыт Франка и Герца (1913 г.)



Разница уровней энергии
основного состояния и
ближайшего возбуждённого:
E2 – E1 = 4,9 эВ
Пары ртути излучают
ультрафиолет с λ = 253,7 нм.
Проверим:
E(эВ) = 1,24/λ(мкм) = 4,89 эВ (!)
Операторы физических величин

Постулат квантовой теории:
Состояние, в котором физическая величина Q
имеет определённое значение, описывается ψфункцией, которое является решением уравнения:
Qψ = Qψ,
где Q – оператор физической величины Q
Пример:
pxψ = pxψ → -iћ∂ψ/∂x = pxψ → ψ = Ceikx (k = px/ћ) –
плоская волна де-Бройля свободной частицы
(координатная часть)
Момент импульса:
оператор Lz = -iћ∂/∂φ





Уравнение для нахождения собственных значений и
собственных функций:
Lzψ = Lzψ → -iћ∂ψ/∂φ = Lzψ
Решение:
ψ = ψ0exp(iLzφ/ћ)
Однозначность:
ψ(φ + 2π) = ψ(φ) → exp(2πLz/ћ) = 1 →
Lz = mћ, |m| = 0, 1, 2, …
Нормировка:
∫ψψ*dφ = 1 → ψ0 = 1/(2π)1/2 →
ψ = 1/(2π)1/2exp(imφ)
Lz = mћ; m – магнитное квантовое число
Момент импульса





<L2> = <Lx2>+ <Ly2 > + <Lz2>
Сферическая симметрия:
<Lx2> = <Ly2 > = <Lz2> →
L2 = 3<Lz2>
|Lz| ≤ L →
mmax = ℓ: m = -ℓ, -(ℓ - 1), …-2, -1, 0, 1, 2, …, ℓ - 1, ℓ
количество значений m равно (2ℓ + 1) штук.
<Lz2> = Σ(ћm)2/(2ℓ + 1) = ћ2 Σm2/(2ℓ + 1) = 1/3 ћ2ℓ(ℓ + 1)
{Σm2 = 1/6 ℓ(ℓ + 1)(2ℓ + 1)}
L2 = ћ2ℓ(ℓ + 1); ℓ - азимутальное квантовое число
Момент импульса


Lz = mћ; |m| = 0, 1, 2, … ℓ – магнитное
квантовое число
L2 = ћ2ℓ(ℓ + 1); ℓ = 0, 1, 2, … - азимутальное
квантовое число
Квантовый ротатор


Er = L2/2I = ћ2ℓ(ℓ + 1)/2I – энергия
вращательного движения квантуется.
Квант вращательного движения:
ΔE = ћ2(ℓ + 1)/I
(Правило отбора Δℓ = -1, +1)
Молекула водорода – квантовый
ротатор


Вращение «размораживается» при температуре
kT ~ ΔE ~ ћ2/I → T ~ ΔE/k ~ ћ2/Ik
Момент инерции молекулы водорода:
I = 2mp(d/2)2 = mpd2/2 ;
d ~ 1 A – межъядерное расстояние;
mp = 1,67 10-24 г – масса протона.
T ~ ћ2/Ik = 2ћ2/ mpd2k =
2*(1,05*10-27)2/1,67*10-24 (10-8)2 1,38*10-16 ~ 100 K
Теплоёмкость водорода
(эксперимент)
Частица в прямоугольной яме:
En = ћ2π2n2/2mℓ2







(∂2Ψ/∂x2) + k2Ψ = 0,
где k2 = 2mE/ћ2
Ψ = Asinkx + Bcoskx
Ψ(0) = 0 → B = 0
Ψ(ℓ) = 0 → knℓ = πn (n = 1,2,3…)
En = ћ2π2n2/2mℓ2 – энергия квантуется
Нормировка ∫|Ψ|2dx = 1 → A = (2/ℓ)1/2
Ψn(x)= (2/ℓ)1/2sinπnx/ℓ
λn = 2π/kn = 2ℓ/n
(ℓ = n λn/2 – в яме укладывается целое
число полуволн)
картинки
Численные оценки





Молекула в сосуде: m ~ 10-23г ℓ ~ 10 см
En ~ ћ2π2n2/2mℓ2 ~ 10-32n2 эрг
ΔEn = ћ2π2 (2n+1)/2mℓ2 ≈ ћ2π2 n/mℓ2 ≈ 10-32n эрг
E ~ kT ~ 10-14 эрг ~
n ~ 109
ΔEn/E ~ 10-9
Гармонический осциллятор
U = ½ mω2x2 (квазиклассика)




Уравнение Шредингера для одномерного
гармонического осциллятора:
∂2ψ/∂x2 + 2m/ћ2(E – ½mω2x2)ψ = 0
Квазиклассика:
En = ½ mω2Ln2 → Ln = (2En/mω2)1/2
λ = h/p = h/(2mEn)1/2
Ln = nλ/2 →
(2En/mω2)1/2 = nh/2(2mEn)1/2 →
En = (π/2) ћωn = C ћωn
En = Cћωn – в квантовом осцилляторе уровни
эквидистантны!
Квантовый осциллятор
Квантовый осциллятор


Принцип соответствия:
В пределе больших квантовых чисел
«квантовая система»
превращается в «классическую».
Классический электрон излучает с частотой
движения → ωкл = ΔE/ћ
Δωкл = 1/ћ dE/dn = Cω → С = 1
Уровни энергии квантового
осциллятора: En = (n + ½) ћω

Энергия нулевых колебаний (n = 0):
при n = 0 E ≠ 0 – соотношение неопределённостей:
ΔpΔx ~ ћ
Δp ~ p
Δx ~ x → p ~ ћ/2x
U = ½ mω2x2; K = p2/2m = ћ2/8mx2
E = U + K → U = K → x2 = ћ/2ω2m → Emin = 2U = ½ћω

E0 = ½ ћω – энергия нулевых колебаний



Квантовый осциллятор:
En = (n + ½) ћω
Квантовый осциллятор
Квантовый осциллятор:
нулевая энергия Е0 = ½ ћω
(точное решение)



ћ2/2m (∂2Ψ/∂x2) + (E – U)Ψ = 0 →
(ћ2/2m) ∂2Ψ/∂x2 + EΨ - ½æx2Ψ = 0
замена: ζ = 2E/ћω; ξ = x(æ/ћω)1/2 →
- (∂2Ψ/∂ξ2) + ξ2Ψ = ζΨ
Одно из решений Ψ = exp(αξ2) → для любого ξ
должно быть: (1 - 4α2)ξ2 - 2α = ζ → 1 - 4α2 = 0 →
α = - ½ (+ не годится) → Ψ = exp(-ξ2/2); ζ = 1
Это решение не имеет узлов → значит
основное состояние (n = 1) →
E0 = ½ ћω
Квантовый осциллятор и
теплоёмкость водорода



Характерная энергия колебаний:
ωкол ~ ωэл(me/mp)1/2
Eкол ~ Eэл(me/mp)1/2 ~ 10 эВ/(2000)1/2 ≈ 0,2 эВ
Колебательные степени свободы
«размораживаются» при температуре:
T ~ Eкол/k = 0,2 1,6 10-12 /1,38 10-16 ~ 2000 K
Теплоёмкость водорода
(эксперимент)
Кулоновский потенциал и спектр
атома водорода (квазиклассика)




U = - e2/r
Уравнение Шредингера для электрона в кулоновском
поле:
Δψ + 2m/ћ2(E + e2/r)ψ = 0
Квазиклассика:
|En| = e2/Ln → Ln = e2/|En|
условие квантования:
Ln = nλ/2 → e2/|En| = nћ/2(2mEn)1/2 → En = Ce4m/n2ћ2
Принцип соответствия: ωкл = ω
ω = 1/ћ dE/dn = -2Ce4m/n3ћ3 = -2En/nћ
ωкл2 = e2/mr3 = - 8En3/me4 → ωкл = ω →
En = - me4/2n2ћ2 – совпадает с точным решением
Кулоновский потенциал
Время жизни классического атома
водорода τ ~ 10-11 c




Скорость электрона v = e2/ћ = 2,2 108 м/с << c
(pr ~ ћ)
K = mv2/2 = e2/2r → E = mv2/2 - e2/r = - e2/2r
Ускоряющийся заряд излучает ~ a2:
dE/dt = - 2e2a2/3c3 →
e2/2r2 dr/dt = - 2e2a2/3c3 →
τ = m2c3r03/4e4 =
(0,9 10-27)2(3 1010)3(0,53 10-8)3/4(4,8 10-10)4 =
1,3*10-11 c
Спектр излучения атома водорода



Спектр излучения – линейчатый
Бальмер (1885 г.) (видимая серия):
ω = R(1/22 – 1/n2), n = 3,4,5,…
R = 2,07 1016 c-1 – постоянная Ридберга.
(λ23 = 2πc/R(5/36) = 565 нм
λ2∞ = 2πc/R/4 = 365 нм
Обобщенная формула Бальмера:
ω = R(1/m2 – 1/n2), m < n – целые числа.
Спектр водорода