Тема: Дискретные случайные величины. Законы распределения вероятностей: биномиальный, геометрический.

Тема: Дискретные случайные величины.
Законы распределения вероятностей:
биномиальный, геометрический.
(повторение)
Случайной величиной называется величина, которая
в результате опыта может принять то или иное значение,
неизвестно заранее, какое именно.
Дискретной случайной величиной называется случайная
величина, принимающая отдельные, изолированные
значения с определенными (ненулевыми) вероятностями.
Каждому такому элементарному исходу ставится в
соответствие одно из счетного набора пар чисел: (xi, pi).
Например, «оценка на экзамене» случайная величина.
Кажется, что для задания дискретной
случайной величины достаточно
перечислить все её возможные значения.
В действительности это не так: случайные величины могут
иметь одинаковые перечни возможных значений, а их
вероятности могут оказаться различные.
Пример: оценки хорошего и «не очень хорошего» студента:
и тот и другой могут получить оценку 5, 4, 3, 2. Но вероятности
этих событий для разных студентов различны:
оценки
вероятность для 1-го
вероятность для 2-го
«5»
0,55
0,01
«4»
0,35
0,09
«3»
0,09
0,65
«2»
0,01
0,25
Итак, для задания дискретной случайной величины
недостаточно перечислить все её возможные значения,
нужно ещё указать соответствующие им вероятности.
Определение:
Законом распределения дискретной случайной величины Х
называют соответствие между возможными значениями Х и
их вероятностями.
Закон распределения можно задать
таблично,
графически,
аналитически.
При табличном задании закона распределения первая строка
таблицы содержит значения дискретной величины, а
вторая – соответствующие вероятности.
Напишем закон распределения дискретной случайной величины
«количество очков на одной грани игральной кости»:
Х
1
2
3
4
5
6
р
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
В одном испытании случайная величина (число выпавших
очков) примет одно и только одно возможное значение. В этом
случае мы говорим, что события X = x1, X = x2, . . . , X = xn,
образуют полную группу.
Следовательно, сумма вероятностей этих событий равна
единице:
p1 + p2 + . . . + pn = 1
контроль
Пример 1.
По мишени стреляют один раз.
Случайная величина Х – число попаданий.
Вероятность попадания по мишени равна p.
Написать закон распределения Х.
Какие значения может принимать Х ?
Очевидно, что только два значения:
х1 = 1 (попадание) и х2 = 0 (промах).
Чему равны вероятности этих событий?
Разумеется: р1 = р,
р2 = ?
Х
р
1
р
0
1-р
Х1
Х2
Пример 2.
В денежной лотерее выпущено 1000 билетов. Среди этих билетов
один билет с выигрышем в 50 тысяч рублей, и 100 билетов по
1 тысяче рублей.
Написать закон распределения случайной величины Х – «величина
возможного выигрыша для человека, купившего один лотерейный
билет».
Решение:
Запишем возможные значения Х: х1 = 50 т.р., х2 = 1 т.р.
х3 = 0.
Определим вероятности этих значений Х:
р1 = 0,001;
р2 = 0,1
р3 = ? Почему?
Х (тыс.руб)
р
Контроль: ?
50
1
0,001 0,1
0
0,899
Рассмотрим теперь сложные события.
Пример 3.
Мама студента работает на двух работах. Вероятность получить
зарплату
в срок на первой работе равна 0,9; а на второй – 0,2.
.
Составить закон распределения
случайной величины
Х: число полученных в срок зарплат.
Решение.
Обозначим А1 и А2 – события, заключающиеся в том, что на первой и
на второй работе зарплату выдали в срок. Очевидно, возможные
значения Х следующие: 0, 1, 2, причём вероятности этих сложных
событий (по правилу умножения вероятностей независимых
событий, правило «и») равны:
р(Х = 0) = р(А1 * А2) = р(А1) * р(А2) = 0,1 * 0,8 =
0,08
р(Х = 1) = р(А1 * А2 + А1*А2) = 0,9 * 0,8 + 0,1 * 0,2 =
0,74
р(Х = 2) = р(А1 * А2) = 0,9 * 0,2 =
0,18
Полученные результаты сведем в таблицу:
xi
0
1
2
pi
0.08
0.74
0.18
Контроль: ?
Придумайте свой аналогичный пример.
БИНОМИАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
вероятностей дискретной случайной величины (ДСВ)
Пусть производится n независимых испытаний, в каждом
из которых событие А может либо появиться, либо не появиться.
Условимся считать, что вероятность появления события во
всех испытаниях постоянна и равна р (следовательно вероятность
«непоявления» события А равна q = 1 – p).
Рассмотрим в качестве дискретной случайной величины
Х – число появлений события А в этих испытаниях.
Поставим задачу: найти закон распределения
вероятностей величины Х.
Очевидно, что событие А может появиться в n испытаниях
следующее число раз: 0 (т.е. не появится вообще), 1, 2, …, n раз.
Таким образом, возможные значения Х следующие: х1 = 0, х2 =
1, хk+1 = k, х n+1 = n.
Например, если речь идет о появлении события А 3 раза в 4-х
испытаниях, то возможны следующие сложные события:
AAAA, AAAA, AAAA, AAAA.
Запись: AAAA означает, что
в первом, втором и четвертом испытаниях
событие А наступило («орёл»), а в третьем –
не наступило («решка»).
Обозначим искомую вероятность появления события А
k раз в n испытаниях - Pn(k),
где n – число испытаний, k – число появлений события А.
Например, запись P4(3) означает вероятность того, что в 4-х
испытаниях событие появилось 3 раза. И, соответственно не
появилось ?… раз.
Вероятность сложного события вычисляем по теореме
умножения вероятностей независимых событий (правило «и»):
pk x q n-k
Таких сложных событий может быть столько, сколько можно
составить сочетаний из n элементов по k элементов, т.е.
C nk
Итак, вероятность появления события А k раз в n испытаниях:
Напишем закон распределения вероятностей для нашего случая
(появление события А k раз в n испытаниях) в виде таблицы:
X
p
n
pn
n-1
pn-1q
…
k…
Cnkpkqn-k…
0
qn
Вторая строка таблицы есть не что иное как общий член
разложения бинома Ньютона:
Поэтому данный закон распределения вероятностей и назван
биномиальным.
pn определяет вероятность наступления
рассматриваемого события n раз в n испытаниях; второй член
Первый член разложения
npn-1q определяет вероятность наступления рассматриваемого
события n-1 раз;… последний член qn определяет вероятность
того, что событие не появится ни разу.
Пример 1.
Монета брошена 2 раза. Написать в виде таблицы закон
распределения случайной величины
Х – число выпадений «герба».
Пример 2.
Сервер работает при условии исправности трех независимо
работающих блоков. Вероятность отказа каждого блока равна 0,1.
Составить закон распределения числа отказавших блоков.
ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
вероятностей дискретной случайной величины
Пусть производятся независимые испытания, в каждом из
которых вероятность появления события А равна р.
Следовательно, вероятность «непоявления» этого события равна
1-р. Испытания заканчиваются, как только появится событие А.
Если событие А появилось в k-м испытании, то в
предшествующих «k-1» испытаниях оно не появилось.
Обозначим через Х дискретную случайную величину – «число
испытаний, которые нужно провести до появления события А».
Итак, у нас имеется сложное событие: АААА (здесь k=4)
Вероятность сложного события вычисляем по теореме умножения
независимых событий (правило «и»):
P (X = k) = q k-1 * p
Подставив в эту P (X =
значения k = 1, 2, 3,…,
k) = q k-1 * p
формулу возможные
получим геометрическую прогрессию :
p, q p, q2p, …,
q k-1p
по этой причине данное распределение вероятностей называют
геометрическим.
Пример:
Две игральные кости одновременно бросают два раза.
Написать закон распределения случайной величины Х –
числа выпадений четного числа очков на двух игральных
костях. (биномиальное распределение)
Пример:
Вероятность того, что стрелок попадет в мишень при одном
выстреле равна 0,8. Стрелок берет патроны до тех пор, пока
не попадет по мишени.
Найти вероятность того,
что он возьмет всего 2 патрона.
(геометрическое распределение)
Графическое задание закона распределения.
Многоугольник распределения.
Закон распределения дискретной случайной величины
можно задать и графически – для наглядности. Для этого в
прямоугольной системе координат по оси абсцисс
откладывают значения ДСВ, а по оси ординат –
соответствующие вероятности. Полученные точки
соединяют отрезками прямых.
1
р
Х
Полученную геометрическую фигуру называют
многоугольник распределения.
Итоги занятия: закрепили предыдущие знания и научились
 вычислять вероятности по классической формуле и с
использованием правил комбинаторики;
 определять закон распределения случайной величины и
применять соответствующие формулы.
Задания для самостоятельной работы:
1. Игральная кость брошена 3 раза.
Написать закон распределения числа появлений «шестерки».
2. Зачет состоит из 3-х задач. Вероятность решения
каждой задачи составляет р=0,8.
Составить закон распределения числа решенных задач на
зачете.