лекция 5( тм Введение)

Введение в теорию
множеств
Георг Кантор
(03.03.1845 - 06.01.1918)
немецкий математик.
Понятие множества
• Под «множеством» мы понимаем соединение в некое
целое M определённых хорошо различимых
предметов m нашего созерцания или нашего
мышления (которые будут называться «элементами»
множества M).
(Г. Кантор).
• Множество есть совокупность различных
элементов, мыслимая как единое целое.
(Б. Расселл)
• Каждый сам знает, что он понимает под множеством.
(Э. Борель)
Введение в теорию множеств
1. Основные определения, терминология
Под
множеством А мы понимаем совокупность объектов
произвольной природы, объединенных общим свойством Р(х).
Обозначение
1)
Указанием определяющего свойства
A  x P x 
2)
Перечислением элементов
A  x , x ,..., x 

1

Пример 1
2

n

B  x x2  2x  3  0
B  3;1
Иногда второе обозначение распространяется и на некоторые
бесконечные множества. Так,
N={1,2,3,...,n,...}
Z={...,-n,...,-2,-1,0,1,2,...,n,...}.
Определение 1
Множество А называется подмножеством В, если для любого
х ( x  A  x B )
Обозначение:
A  B
Другими словами, символ " A  B " есть сокращение для
высказывания  x  A  x  B
Теорема 2
Для любых множеств А, В, С верно следующее:
а) A  A ;
б) A  B и B  C  A  C .
Доказательство
Для доказательства а) надо убедиться в истинности
высказывания  x  A  x  A , но оно очевидным образом
истинно, так как представляет собой импликацию, в которой
посылка и заключение совпадают.
Для доказательства б) надо убедится в истинности
высказывания
 x  A  x  B    x  B  x  C    x  A  x C
Обозначим: " x  A " через U, " x  B " через V , "x  C " через
Z . Тогда надо убедиться в истинности высказывания .
F  U  V   V  Z   U  Z  
 (U  V )(V  Z )  U  Z   U  V V  Z   U  Z 
 UV  V Z  U  Z  V  U  V  Z  1
Определение 3
Множества А и В называются равными, если они состоят из
одних и тех же элементов (A=В). Другими словами,
обозначение А=В служит сокращением для высказывания
.
 x  A  x  B
Пример
Указать равные множества
A={0;1;2}, B = {1;0;2}, C={0;1;2;0}, D={{1;2};0},
E={1;2}, F={x:x3-3x2+2x=0}.
Теорема 4
Для любых множеств А и В А=В тогда и только тогда, когда
A B
и B A
Доказательство
Доказательство этого факта основано на том, что
эквивалентность X  Y равносильна конъюнкции двух
импликаций  X  Y Y  X 
Таким образом, для того, чтобы доказать равенство множеств
А и В, надо доказать два включения: A  B и B  A , что часто
используется для доказательства теоретико-множественных
равенств.
Определение 5
A  B тогда и только тогда, когда A  B и A  B .
Теорема 6
Для любых множеств А, В, С, если A  B и B  C, то A  C
Доказательство
Доказать самостоятельно (5 баллов).
Определение 7
Множество называется пустым, если оно не содержит ни
одного элемента, то есть х не принадлежит этому множеству
(для любого х). Обозначение:  .
2. Операции над множествами
Определение 1
Объединением двух множеств А и В называется
множество A  B  x x  A  x  B
x  A  B  x  A  x B
A
B
A B
Пусть
Пример
А={1,2,3,4},
B={2,4,6,8},
A  B = {1,2,3,4,6,8}.
тогда
Объединение множеств
Теорема 2
Пусть А, В, С – произвольные множества. Тогда:
а) A  A  A – идемпотентность объединения;
б) A  B  B  A – коммутативность объединения;
в)  A  B  C  A  B  C 
– ассоциативность
объединения;
г) A    A ;
д) A  B    A  B  
Доказательство
а) Возьмем
x A A  x A x A  x A
б) Возьмем
x A B  x A x B  x B 
 x A  xB A
в) Возьмем
x  A  B  C  x  A  B  x C 
 x  A  x  B   x  C  x  A  x  B  x  C  
 x  A  B  C 
г)Возьмем
x  A   x  A  x   x  A
так как высказывание x   тождественно ложно.
Следовательно A   A .
д) Пусть A  B   то есть, x  A  B  x  
.
Значит, высказывание x  A  B  x  A  x  B
является
тождественно
ложным,
, а дизъюнкция двух высказываний ложна тогда и
только тогда, когда ложны оба эти высказывания.
Следовательно, x  A  x   и x  B  x  
, а значит
A B .
Пересечение множеств
Определение 4
Пересечением множеств А и В называется множество
A  B  x x  A  x  B
B
A
A B
Пример
Пусть A={1,2,4,7,8,9}, B={1,3,5,7,8,10}, тогда
A  B = 1,7,8
Пересечение множеств
Теорема 5
Пусть А, В, С – произвольные множества, тогда:
а) A  A  A - идемпотентность пересечения;
б) A  B  B  A - коммутативность пересечения;
в)  A  B  C  A   B  C
- ассоциативность
пересечения;
г) A    
Объединение и пересечение множеств
Теорема 6
1)
A B  A
2)
A  A B
3)
A   B  C   A  B   A  C
4) A  B  C    A  B   A  C 
Разность множеств, дополнение, симметрическая
разность
Определение 1
Разностью множеств A и B называется множество
A \ B  x | x  A и x  B .
B
A
A\ B
Пример
Пусть А={1,3,4,7,8,9,10}, B={2,3,4,5,6,7}, тогда A\B={1,8,9,10},
B\A={2,5,6}.
Разность множеств
Теорема 2
Пусть А, В, С – произвольные множества, тогда:
1) A \ A  
2) A \ B    A  B
3) A \ B  C    A \ B \ C
4)  A  B \ C   A \ C   B \ C
Теорема 3 (законы Моргана)
а) A \ B  C    A \ B   A \ С 
б) A \ B  C    A \ B   A \ С 
Множество U назовем "универсальным", если оно
содержит все элементы и все множества являются
его подмножествами. Понятие "универсального
множества" у нас будет зависеть от круга задач,
которые мы рассматриваем. Довольно часто под
универсальным множеством понимают множество
R –– множество вещественных чисел или
множество С – комплексных чисел. Возможны и
другие примеры. Всегда в контексте необходимо
оговорить, что мы понимаем под универсальным
множеством U.
Дополнение множеств
Определение 4
Пусть U – универсальное множество. Дополнением А в U
(или просто дополнением А) называется множество .
A  {x | x  A}
A
A
Пример
Если U – множество вещественных чисел и А – множество рациональных
чисел, то – множество A иррациональных чисел
Дополнение множеств
Теорема 5
1) A  A
2) U  
3)   U
Теорема 6(законы Моргана для дополнений)
а)
б)
A B  A B ;
A B  A B .
Симметрическая разность
• Определение 7
• Симметрической разностью множеств A и B
называют множество
A  B   A  B \  A  B
A
B
A  B
• Задача (3 балла).
• Доказать, что A  B  ( A \ B)  ( B \ A)
Парадокс Расселла
• Пусть K — множество всех множеств,
которые не содержат себя в качестве
своего элемента. Содержит ли K само
себя в качестве элемента?
Другие формулировки парадокса
Расселла
• Парадокс Брадобрея:
– Одному деревенскому брадобрею приказали «брить
всякого, кто сам не бреется, и не брить того, кто сам
бреется», как он должен поступить с собой?
• Парадокс Мэра:
– В одной стране вышел указ: «Мэры всех городов должны
жить не в своем городе, а в специальном Городе мэров»,
где должен жить мэр Города мэров?
• Парадокс библиотеки:
– Некая библиотека решила составить библиографический
каталог, в который входили бы все те и только те
библиографические каталоги, которые не содержат ссылок
на самих себя. Должен ли такой каталог включать ссылку на
себя?