Введение в математический анализ
advertisement
Глава 4. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Множества и операции над ними • Под «множеством» понимают семейство, совокупность, набор конечного или бесконечного числа объектов произвольной природы: 1. множество всех натуральных чисел; • 2. множество звёзд созвездия Большой Медведицы; • 3. множество всех векторов, ортогональных данной плоскости; • 4. множество картин Третьяковской галереи; • 5. множество студентов в данной аудитории. Объекты, из которых состоят множества, называют их элементами и обозначают малыми латинскими буквами. Сами множества обозначают большими латинскими буквами. Способы задания множеств перечислением всех его элементов как совокупность тех, и только тех элементов некоторого множества Т, которые обладают общим свойством α: Основные операции над множествами Объединение множеств, пересечение множеств, разность множеств Объединение множеств Объединением множеств А и В называется множество, состоящее из тех, и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А, В Пересечение множеств Пересечением множеств А и В называется множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат и множеству А, и множеству В Разность множеств Разностью множеств В и А называется множество всех элементов множества В, которые не принадлежат множеству А Примеры числовых множеств • Интервал • Отрезок a, b A x T a x b Функция. Основные определения, способы задания и классификация Пусть даны два множества Х и Y • х - аргумент функции f, независимая переменная • множество Х - область определения функции f D(f) • у – зависимая переменная • Y - область значений функции f E(f). • Функция, соответствующая определению, называется однозначной. • Если же одному значению аргумента соответствует не одно, а несколько • значений функции, в этом случае функция называется многозначной. Способы задания функции Аналитический, Табличный, Графический Алгоритмический Аналитический Табличный способ Табличный способ заключается в том, что зависимость между переменными задают с помощью таблицы: •таблицы логарифмов • таблицы тригонометрических функций. Графический Графиком функции y = f(x) называется множество всех точек (х, у) плоскости XOY, координаты которых связаны соотношением y = f(x). Например: кардиограмма, суточный ход температуры или атмосферного давления и т.п. Алгоритмический • Функция задается путем описания некоторого правила (алгоритма) типа: • « …пойди туда, не знаю куда…» • Функция не обязательно принимает числовое значение Определение 4.2. Пусть функция z = g(x) определена на множестве Х, а функция y = f(z) определена на множестве Z, причём область значений функции g содержится в области определения функции f. Функция y = f(g(x)) называется сложной функцией, или функцией от функции, или суперпозицией функций z = g(x) и y = f(z). Переменная х называется независимой переменной функции у, а функция z = g(x) – зависимой переменной, или промежуточным аргументом функции y = f(x). Основные элеменарные функции элеменарные функции Элементарными функциями называются функции, полученные из основных элементарных функций и констант с помощью четырёх арифметических действий и операций формирования функции от функции, применённых конечное число раз. Четные и нечетные функции Периодические Числовые последовательности
