Введение в математический анализ

Реклама
Глава 4. ВВЕДЕНИЕ В
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
АНАЛИЗ
Множества и операции
над ними
• Под «множеством» понимают семейство,
совокупность, набор конечного или
бесконечного числа объектов произвольной
природы:
1. множество всех натуральных чисел;
• 2. множество звёзд созвездия Большой
Медведицы;
• 3. множество всех векторов, ортогональных
данной плоскости;
• 4. множество картин Третьяковской галереи;
• 5. множество студентов в данной аудитории.
Объекты, из которых состоят
множества, называют их
элементами и обозначают
малыми латинскими буквами.
Сами множества обозначают
большими латинскими
буквами.
Способы задания
множеств
перечислением всех его элементов
как совокупность тех, и только тех элементов
некоторого множества Т, которые обладают
общим свойством α:
Основные операции над
множествами
Объединение множеств,
пересечение множеств,
разность множеств
Объединение множеств
Объединением множеств А и В называется
множество, состоящее из тех, и только тех
элементов, которые принадлежат хотя бы
одному из множеств А, В
Пересечение множеств
Пересечением множеств А и В называется
множество, состоящее из тех и только тех
элементов, которые принадлежат
и множеству А, и множеству В
Разность множеств
Разностью множеств В и А называется
множество всех элементов множества В,
которые не принадлежат множеству А
Примеры числовых
множеств
• Интервал
• Отрезок
a, b  A  x T a  x  b
Функция. Основные
определения, способы задания
и классификация
Пусть даны два множества Х и Y
• х - аргумент функции f, независимая
переменная
• множество Х - область определения функции
f D(f)
• у – зависимая переменная
• Y - область значений функции f E(f).
• Функция, соответствующая определению,
называется однозначной.
• Если же одному значению аргумента
соответствует не одно, а несколько
• значений функции, в этом случае функция
называется многозначной.
Способы задания
функции
Аналитический,
Табличный,
Графический
Алгоритмический
Аналитический
Табличный способ
Табличный способ заключается в том,
что зависимость между переменными
задают с помощью таблицы:
•таблицы логарифмов
• таблицы тригонометрических функций.
Графический
Графиком функции y = f(x) называется множество
всех точек (х, у) плоскости XOY, координаты
которых связаны соотношением
y = f(x).
Например: кардиограмма, суточный ход
температуры или атмосферного давления и т.п.
Алгоритмический
• Функция задается путем описания
некоторого правила (алгоритма)
типа:
• « …пойди туда, не знаю куда…»
• Функция не обязательно принимает
числовое значение
Определение 4.2. Пусть функция z = g(x)
определена на множестве Х, а функция y = f(z)
определена на множестве Z, причём область
значений функции g содержится в области
определения функции f.
Функция y = f(g(x)) называется сложной функцией,
или функцией от функции, или суперпозицией
функций z = g(x) и y = f(z).
Переменная х называется независимой
переменной функции у, а функция z = g(x) –
зависимой переменной, или промежуточным
аргументом функции y = f(x).
Основные элеменарные
функции
элеменарные функции
Элементарными функциями называются
функции, полученные из основных
элементарных функций и констант с
помощью четырёх арифметических
действий и операций формирования
функции от функции, применённых
конечное число раз.
Четные и нечетные
функции
Периодические
Числовые
последовательности
Скачать