Алгебра и Геометрия

Обязательный минимум
Четверть
1
Предмет
алгебра
Класс
9
I. Основные числовые множества
I. Множество всех натуральных чисел N. Натуральные числа – это числа, используемые при
счете предметов. 2. Множество всех целых чисел Z. Натуральные числа, ноль и числа,
противоположные натуральным. 3. Множество всех рациональных чисел Q. Целые числа и
𝑚
числа, которые можно записать в виде 𝑛 ( m 𝜖 𝑍; n ∈ 𝑁) (обыкновенные дроби, конечные и
бесконечные периодические десятичные дроби). 4. Множество всех действительных чисел R.
Рациональные числа и иррациональные числа (числа, которые нельзя записать в виде
обыкновенных дробей – бесконечные непериодические десятичные дроби)
II. Степени
Определения
1) 𝑎𝑛 = 𝑎 ∙ 𝑎 ∙ … ∙ 𝑎 n раз
2) 𝑎−𝑛 =
𝑚
1
𝑎𝑛
𝑛
3) 𝑎 𝑛 = √𝑎𝑚
( n ∈ 𝑁)
( n ∈ 𝑁)
( m 𝜖 𝑍; n ∈ 𝑁)
III. Формулы сокращенного умножения
1) Разность квадратов 𝒂𝟐 − 𝒃𝟐 = (𝒂 − 𝒃)(𝒂 + 𝒃)
2) Разность кубов 𝒂𝟑 − 𝒃𝟑 = (𝒂 − 𝒃)(𝒂𝟐 + 𝒂𝒃 + 𝒃𝟐 )
3) Сумма кубов 𝒂𝟑 + 𝒃𝟑 = (𝒂 + 𝒃)(𝒂𝟐 − 𝒂𝒃 + 𝒃𝟐 )
4) Квадрат суммы (𝒂 + 𝒃)𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝟐𝒂𝒃 + 𝒃𝟐
5) Квадрат разности (𝒂 − 𝒃)𝟐 = 𝒂𝟐 − 𝟐𝒂𝒃 + 𝒃𝟐
6) Куб суммы (𝒂 + 𝒃)𝟑 = 𝒂𝟑 + 𝟑𝒂𝟐 𝒃 + 𝟑𝒂𝒃𝟐 + 𝒃𝟑
7) Куб разности (𝒂 − 𝒃)𝟑 = 𝒂𝟑 − 𝟑𝒂𝟐 𝒃 + 𝟑𝒂𝒃𝟐 − 𝒃𝟑
Свойства
1) 𝑎𝑚 ∙ 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚+𝑛 ;
3) 𝑎𝑚 𝑏 𝑚 = (𝑎𝑏)𝑚 ;
2)
𝑎𝑚
𝑎𝑛
𝑎𝑚
= 𝑎𝑚−𝑛
𝑎
4) 𝑏𝑚 = (𝑏)𝑚
5)( 𝑎𝑚 )𝑛 = 𝑎𝑚∙𝑛
IV. Решение квадратного неравенства методом интервалов
𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 ≥ 𝟎
𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 ≤ 𝟎
1) Найти корни квадратного трехчлена 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄
2) Отметить их на числовой прямой; выделить числовые промежутки
3) Определить знак квадр.трехчлена 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 на каждом промежутке
4) Записать решения неравенства в виде промежутков,
отмеченных знаком «+»
отмеченных знаком «-»
5) Записать ответ
Обязательный минимум
Четверть
1
Предмет
геометрия
Класс
9
I. Биссектриса угла.
Признак
Множество точек, равноудаленных от сторон
неразвернутого угла, лежит на его биссектрисе.
II. Серединный перпендикуляр к отрезку
Свойство
Каждая точка биссектрисы неразвернутого угла
равноудалена от его сторон.
Признак
Множество точек, равноудаленных от концов
отрезка, лежит на серединном перпендикуляре
к нему.
Свойство
Каждая точка серединного перпендикуляра к
отрезку равноудалена от его концов.
III. Описанная окружность
Окружность называется описанной около
треугольника, если все его вершины лежат на
ней.
Центр окружности, описанной около
треугольника, – это точка пересечения
серединных перпендикуляров к сторонам
треугольника.
Около выпуклого четырехугольника можно
описать окружность тогда и только тогда, когда
суммы его противоположных углов равны 180̊.
IV. Вписанная окружность
Окружность называется вписанной в
треугольник, если она касается всех его сторон
Центр вписанной в треугольник окружности –
это точка пересечения биссектрис
треугольника.
В выпуклый четырехугольник можно вписать
окружность тогда и только тогда, когда суммы
его противоположных сторон равны.
V. Свойство точки пересечения медиан треугольника.
Точка пересечения медиан треугольника делит каждую его медиану в отношении 2:1, считая от
вершины.
А
2
1
3
3
АО : ОМ = 2 : 1; АО = АМ; ОМ = АМ
О
В
М
С