Презентация Правильные многогранники

Правильные
многогранники
Цель и задачи:
Закрепление изученного
материала;
 Увеличение интереса к геометрии;
 Развитие логического мышления.

История
Правильные многогранники названы по
имени Платона, который в сочинении
«Тимей» (IV век до н. э.) придавал им
мистический смысл, но были известны и
до Платона.
 Кеплер пытался построить модель
Солнечной системы вписывая и
описывая правильные многогранники в
сферы. Это не удалось, но послужило
толчком к разработке Законов Кеплера.


Правильный многогранник, или
Платоново тело — это выпуклый
многогранник с максимально возможной
симметрией.

Многогранник называется правильным, если:

он выпуклый
все его грани являются равными
правильными многоугольниками
в каждой его вершине сходится одинаковое
число граней
все его двухгранные углы равны



Существует всего пять
правильных многогранников:
 Тетраэдр
 Куб
 Октаэдр
 Додекаэдр
 Икосаэдр
Тетраэдр

Тетра́эдр — многогранник с четырьмя
треугольными гранями, в каждой из вершин
которого сходятся по 3 грани. У тетраэдра 4
грани, 4 вершины и 6 рёбер.

Параллельные плоскости, проходящие через
пары скрещивающихся рёбер тетраэдра,
определяют описанный около тетраэдра
параллелепипед.

Отрезок, соединяющий вершину тетраэдра с
точкой пересечения медиан противоположной
грани, называется его медианой, опущенной из
данной вершины.

Отрезок, соединяющий середины
скрещивающихся рёбер тетраэдра, называется
его бимедианой, соединяющей данные рёбра.

Отрезок, соединяющий вершину тетраэдра с
точкой противоположной грани и
перпендикулярный этой грани, называется его
высотой, опущенной из данной вершины.





Выделяют:
равногранный тетраэдр, у которого все
грани - равные между собой
треугольники;
ортоцентрический тетраэдр, у которого
все высоты, опущеные из вершин на
противоположные грани, пересекаются
в одной точке;
прямоугольный тетраэдр, у которого все
ребра, прилежащие к одной из вершин,
перпендикулярны между собой;
правильный тетраэдр, у которого все
грани - равносторонние треугольники.
Теорема

Все медианы и бимедианы
тетраэдра пересекаются в одной
точке. Эта точка делит медианы в
отношении 3:1, считая от вершины.
Эта точка делит бимедианы
пополам.
Куб

Куб или гексаэдр — правильный
многогранник, каждая грань которого
представляет собой квадрат. Частный
случай параллелепипеда и призмы.
Свойства куба





В куб можно вписать тетраэдр двумя способами, притом четыре
вершины тетраэдра будут совмещены с четырьмя вершинами
куба. Все шесть рёбер тетраэдра будут лежать на всех шести
гранях куба и равны диагонали грани-квадрата.
Четыре сечения куба являются правильными шестиугольниками
- эти сечения проходят через центр куба перпендикулярно
четырём его диагоналям.
В куб можно вписать октаэдр, притом все шесть вершин
октаэдра будут совмещены с центрами шести граней куба.
Куб можно вписать в октаэдр, притом все восемь вершин куба
будут расположены в центрах восьми граней октаэдра.
В куб можно вписать икосаэдр, при этом шесть взаимно
параллельных рёбер икосаэдра будут расположены
соответственно на шести гранях куба, остальные 24 ребра —
внутри куба. Все двенадцать вершин икосаэдра будут лежать на
шести гранях куба.
Октаэдр

Окта́ эдр (греч. οκτάεδρον, от греч. οκτώ, «восемь» и
греч. έδρα — «основание») — один из пяти правильных
многогранников.

Октаэдр имеет 8 граней (треугольных), 12 рёбер, 6
вершин (в каждой вершине сходятся 4 ребра).
Свойства




Октаэдр можно вписать в тетраэдр, притом
четыре (из восьми) грани октаэдра будут
совмещены с четырьмя гранями тетраэдра,
все шесть вершин октаэдра будут совмещены
с центрами шести рёбер тетраэдра.
Октаэдр с ребром y состоит из 6 октаэдров
(по вершинам) с ребром y / 2 и 8 тетраэдров
(по граням) с ребром y / 2.
Октаэдр можно вписать в куб, притом все
шесть вершин октаэдра будут совмещены с
центрами шести граней куба.
В октаэдр можно вписать куб, притом все
восемь вершин куба будут расположены в
центрах восьми граней октаэдра.
Додекаэдр

Додека́эдр (от греч. dodeka —
двенадцать и hedra — грань),
двенадцатигранник —
правильный многогранник,
объёмная геометрическая
фигура, составленная из
двенадцати правильных
пятиугольников. Каждая
вершина додекаэдра является
вершиной трёх правильных
пятиугольников.

додекаэдр имеет 12 граней (пятиугольных), 30 рёбер и 20
вершин (в каждой сходятся 3 ребра. Сумма плоских углов
при каждой из 20 вершин равна 324°.

Додекаэдр применяется как генератор случайных чисел
(вместе с другими костями) в настольных ролевых играх,
и обозначается при этом d12(dice - кости).

Результаты наблюдений в августе 2006 года во время
нанесения на карты областей распределения темной
материи в скоплении галактик Cl 0024+17
(ZwC10024+1652) свидетельствуют о том, что
Вселенная представляет собой набор бесконечно
повторяющихся додекаэдров
Икосаэдр

Икоса́эдр (от греч.
εικοσάς, «двадцать» и
греч. -εδρον, «грань»,
«лицо», «основание») —
правильный выпуклый
многогранник,
двадцатигранник, одно
из Платоновых тел.
Каждая из 20 граней
представляет собой
равносторонний
треугольник. Число
ребер равно 30, число
вершин — 12.
Свойства




Икосаэдр можно вписать в куб, при этом, шесть
взаимно параллельных рёбер икосаэдра будут
расположены соответственно на шести гранях
куба, остальные 24 ребра внутри куба, все
двенадцать вершин икосаэдра будут лежать на
шести гранях куба
В икосаэдр может быть вписан тетраэдр,
притом, четыре вершины тетраэдра будут
совмещены с четырьмя вершинами икосаэдра.
Икосаэдр можно вписать в додекаэдр, при том
вершины икосаэдра будут совмещены с
центрами граней додекаэдра.
В икосаэдр можно вписать додекаэдр, при том
вершины додекаэдра будут совмещены с
центрами граней икосаэдра.
Теорема Эйлера

Для любого
выпуклого
многогранника
сумма числа
вершин и сумма
граней на две
единицы больше
числа его ребер
В+Г-Р=2
Список литературы
Газета «Первое сентября». Математика
 ru.wikipedia.org/wiki
 Учебник геометрии Л.С. Атанасян
 «Геометрия» И.М. Смирнова, В.А.
Смирнов
 http://www.knigka.info/uploads/posts/238
9649497499315.jpeg
