Муковнина Людмила Михайловна Учитель математики ГОУ СОШ № 250 Материалы к уроку по подготовке к ЕГЭ (решение стереометрических задач). Цель: повторить теоретический материал, показать практическое его применение в решении стереометрических задач. Задача 1: Ребро правильного тетраэдра равно 1. Первый шар вписан в этот тетраэдр. Второй шар касается вписанного шара и трёх граней тетраэдра. Найдите радиус второго шара. Решение: (первый способ) P 1. Точка О – центр сферы, вписанной в тетраэдр: А0 O1 а) O PH ,(О – высота тетраэдра) C0 B0 O б) точка О лежит на биссектрисе F С А т. О – равноудалена от (АВС) и (РВС) К H угла HKP ОН = r – радиус сферы. В a3 R 3; a3 1; R 1. ∆АВС ∆PHK: PH 3. ∆PHK: по равносторонний: 1 HC , 3 HK 2. – 1 2 3 ; AK PK 3 2 2 3 свойству биссектрисы угла треугольника: r 1 OH HK r 1 2 1 OH 1 ; ò î ãäà : , ; , h 4 OP PK 2 2 3 3 3 OP 3 r 3 1 Следовательно 3r 2 2 2 6 r ; 4r ;r 3 3 4 3 12 PH 2 6 : 2 , таким образом А0, В0, С0 – середины рёбер тетраэдра, 2r 3 6 4. r1 – радиус сферы, вписанной в тетраэдр РА0В0С0. Ответ: r1 6 24 6 24 Решение: (второй способ) Задача решается значительно проще, если знать, что радиус r вписанной сферы в правильный тетраэдр выражается формулой: r h PH 1 h 4 a 6 2 2 , r или r , где а – ребро тетраэдра. 12 3 4 3 1 1 1 2 2 Далее: либо h1 h; r1 , (h1 – высота тетраэдра РА0В0С0, r1 – радиус) 2 4 2 3 8 3 либо a1 Ответ: 1 1 6 6 a; r1 . 2 2 12 24 6 24 Задача 2: Через середины рёбер АВ и АС прямой треугольной призмы ABCA1 B1C1 и точку В1 Проведено сечение призмы, которое разделило призму на два многогранника. Найдите больший из объёмов этих многогранников, если объём призмы равен 12. P Решение: 1. AA1 h; S A1C1B1 S ; S h 12 2. Продлим NC1, MB1 и АА1 – пересечение точка А В M N Р. 3. S ANM С 1 S 4 ( A1C1B1AMN ) РА = АА1 = h. А1 1 1 1 1 В1 4. V h S hS 12 1 PAMN 3 С1 4 12 12 1 2 2 VPA1C1B1 2h S hS 12 8 3 3 3 2 VA1C1B1 AMN 8 1 7 Ответ: 7. Задача 3: Точки Р и Т – середины рёбер МС и MD четырёхугольной пирамиды MABCD, в основании которой лежит параллелограмм ABCD. Объём пирамиды MABCD равен 80. Найдите объём пирамиды MABPT. M Решение: T Метод решения – разбиение данной фигуры на многогранники, объёмы которых можно найти. P 1. VMABD VMBCD , так как S ABD S BCD и h – высота B C пирамиды – общая. Таким образом VABMD 40 . 2. S BMT S BTD , так как MT = TD. А D 4. 1 3. VABMT VABTD 40 20 2 Пирамиду MABPT разбиваем на две: MABT и MBPT – с общей высотой, но S BPT 1 1 1 S ABT , так как TP DC AB , ТР║АВ, ∆АВТ и ∆ВРТ – с общей высотой. 2 2 2 1 1 VMBPT VMABT 20 10 2 2 5. VMABPT VMABT VMBPT 20 10 30 Ответ: 30. Задача 4: В Конусе с вершиной М проведены три образующие МА, МВ и МС, причём АВ – диаметр основания конуса, а отношение длины меньшей дуги АС к меньшей дуге СВ равно 2. Высота конуса равна радиусу его основания. Найдите синус угла между медианой CL треугольника ВСМ и плоскостью АСМ. M Решение: 1. OM = OB = OA = r, L1 AC 120; CB 60 , т. о. СО = ОВ L = СВ = r. С В О А 2. AB r ; CB 2r ; AC r 3 К 3 3. MO ACB ; LK OB; LM LB , значит К – середина ОВ и LK 4. ∆СОВ – равносторонний, СК – высота (К – середина ОВ), CK 1 r. 2 r 3 . 2 2 2 r r 3 5. LK║MO, тогда ∆CKL – прямоугольный ( K 90 ), CL r. 2 2 1 1 1 r3 3 6. VMACB S ACB MO r 3 r r 3 3 2 6 1 1 7. VMACB VBMAC ;VLMAC VBMAC S AMC LL1 2 3 8. r r r 2 r 9. A r 2 r 1 AM MC MB r 2 M D r 3 r r 2 r C 1 r 5 r 2 15 r2 3 r 5 MD 2r , S AMC r 3 2 2 4 4 2 1 r 2 15 r3 3 LL1 10. VLMAC , 3 4 6 Ответ: LL AMC 2 LL1 r 5 11. sin CL ACM LL1 r 1 CL 5 r 5 1 5 4