Document 4372435

4 февраля
11е
Правильные многогранники.
1) Все грани параллелепипеда — равные ромбы со стороной 𝑎 и острым углом 60◦.
Найдите высоту параллелепипеда.
2) Все грани параллелепипеда ABCDA1B1C1D1—равные ромбы со стороной 𝑎,
∠BAD=60◦. Докажите, что BDD1B1—квадрат. Найдите диагонали параллелепипеда.
3) Все грани параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 — равные ромбы, причём плоские
углы при вершине C— острые.
а) Докажите, что AA1 ⊥BD.
б) Найдите расстояние от вершины C до плоскости A1B1C1, если плоские углы
при вершине C равны 60◦, а AA1 =√6.
4) На гранях правильного тетраэдра с ребром 𝑎 как на основаниях построены
правильные тетраэдры. Докажите, что новые вершины построенных тетраэдров
являются вершинами правильного тетраэдра. Найдите его ребро.
5) На гранях правильного тетраэдра с ребром 𝑎 как на основаниях построены
равные правильные пирамиды. Плоские углы в этих пирамидах при вершинах,
противолежащих граням тетраэдра, прямые. Рассмотрим многогранник,
образованный тетраэдром и построенными пирамидами. Сколько граней у этого
многогранника? Как он называется?
6)
Покажите, что в кубе можно выбрать четыре вершины, являющиеся вершинами
правильного тетраэдра, причём сделать это можно двумя способами.
7)
Найдите длину кратчайшего пути по поверхности единичного правильного
тетраэдра между серединами его противоположных рёбер.
8)
Ребро правильного октаэдра равно 𝑎. Найдите кратчайшее расстояние по
поверхности октаэдра между серединами двух его параллельных рёбер.
9)
Существует ли выпуклый многогранник, имеющий 12 рёбер, которые
соответственно равны и параллельны 12 диагоналям граней куба?
10) В набор "Юный геометр" входит несколько плоских граней, из которых можно
собрать выпуклый многогранник. Юный геометр Саша разделил эти грани на две
кучки. Могло ли случиться, что из граней каждой кучки тоже можно собрать
выпуклый многогранник?
(И в начале, и в конце каждая из граней набора должна являться гранью
многогранника.)
11) Можно ли разбить правильный тетраэдр с ребром 1 на правильные тетраэдры и
октаэдры, длины ребер каждого из которых меньше 1/100?