doc, 436 кб
advertisement
Задачи по олимпиаде 10 класс 1. Упростите выражение, указав при каких значениях a и b упрощение возможно. Решение: 1) при a > 0, и b >0 2) Ответ: 2. Доказать тождество: . Решение: . 3. Решите неравенство: . Решение: -1 y 0 1 x 0 1 такое 4. Найдите четыре целых числа, первые три из которых образуют арифметическую прогрессию, а последние три – геометрическую; сумма крайних чисел равна 66, а сумма средних равна 60. Решение: Ответ: 12; 24; 36; 54. 5. Длина стороны АВСД равна 6 см. Точка M удалена от каждой вершины на 17 см. Найдите расстояние от середины отрезка MA до середины каждой из сторон квадрата. Решение: Рассмотрим треугольник АМВ, в нем КН – средняя линия, поэтому . M E K D C O A H B Проведем КЕ || AD, KECO – параллелограмм (КЕ || AD, AD || BC), поэтому КЕ || OC; KE = OC = AD. Применяя теорему косинусов для треугольника DMC и треугольника EMC, находим DMC = и EC = 9,5 см. Значит, и KO = 9,5 см. Оставшиеся два расстояния от точки K до сторон AD и DC будут по 8,5 см и 9,5 см. Они находятся аналогично тому, как нашли KH и KO. 6. Футбольный мяч представляет собой многогранник с 32 гранями, 20 из которых – белые правильные шестиугольники и 12 – черные правильные пятиугольники. Сколько вершин у такого многогранника? Решение: Так как между ребрами, гранями и вершинами выпуклого многогранника есть связь, выражаемая формулой Эйлера: В+Г-Р=2, где В – число вершин, Г – число граней, Р - число ребер, то В=Р+2-Г. Граней у данного многогранника 32. Число ребер будет равно . Тогда В=90+2-32=60. таким образом, многоугольник имеет 60 вершин. Ответ: 60
