Теорема о трех перпендикулярах

Теорема о трех
перпендикулярах
Нас мало. Нас может быть трое…
Б. Пастернак.
Из цикла «Я их мог позабыть»
Задачи на доказательство
Доказать, что
D1
C1
A1
B1
D
A
C
O
B
1) АС  D1O
2)ABC1  90
ABCD  прямоуголь ник
KD  ( ABC )
Доказать, что : КАВ  КСВ  90
K
D
A
C
B
Среди точек прямой b точка В
является ближайшей к точке А
Докажите, что она ближайшая к
точке С
C
A
a
B
b
α
EF – средняя линия
прямоугольного треугольника
АВС, МЕ – перпендикуляр к
плоскости этого треугольника
Докажите , что
1) MF  AC
2) MC  MA
M
B
E
A
F
C
Дано : ABCD  ромб ,
МК  ( АВС ), Р  МС
Доказать, что :
1)ОМ  BD
M
2)OP  BD
D
A
P
O
K
B
C
ABC  равнобедренный
( АВ  АС )
AD  высотаABC ,
ОК  ( АВС ), Р  АК
P
K
Докажите, чтоBC  DP
C
A
D
O
B
 Через
точку М проведены
наклонная МВ и
перпендикуляр ММ1 к
плоскости угла АВС.
Острые углы МАВ и МВС
равны.
 Докажите, что M1BA  M1BC
M
K
A
M1
B
T
C
Задачи на построение


Отрезок МС перпендикулярен
плоскости равностороннего
треугольника АВС.
Проведите через точку М
перпендикуляр к прямой АВ
М
С
А
B
Отрезок MD перпендикулярен плоскости
прямоугольника ABCD. Проведите через
точку М перпендикуляры к прямым ВС и
АВ
M
C
D
A
B
Отрезок МА перпендикулярен плоскости
ромба. Проведите через точку М
перпендикуляр к прямой AC
M
C
D
O
A
B
Отрезок MN перпендикулярен плоскости
прямоугольного треугольника АВС.
Проведите через точку М перпендикуляры
к прямым АС и ВС
M
N
A
C
B
Отрезок MN перпендикуляр к плоскости
равнобедренного треугольника АВС
(АВ=АС). Проведите через точку М
перпендикуляр к прямой ВС.
М
N
A
С
Задачи на вычисление
ABCD  квадрат
МО  ( АВС ), МО  15см, АВ  16см
Найти :  ( М , АВ);  ( М , АD);  ( M , DC );  ( M , BC )
M
D
15
17
C
8
A
O
K
B
ABC , C  90 , PB  ( ABC ),

PA  13см, B  30 , AC  5см

Найти :  ( P, AC );  ( P, ( ABC ))
P
√69
B
13
12
A
10
300
C
5
ABCD  квадрат, BM  ( ABC ),
BM  4, AB  2
Найти: расстояние от точки М до
сторон и диагоналей квадрата
M
√20
4
B
2
A
3√2
C
√2
D
Катеты прямоугольного треугольника АВС равны
9см и 16см. Через середину гипотенузы - точку О
проведен перпендикуляр к плоскости
треугольника длиной 6см. Найдите расстояние от
концов перпендикуляра до катетов и вершины
прямого угла.
M
7,5
337
A
6
B
481
2
O
4,5
16
10
337
2
8
9
C
Отрезок MD перпендикулярен плоскости
равнобочной трапеции
ABCD(AB=CD).Проведите через точку М
перпендикуляр к прямой ВС
M
C
D
A
B
Отрезок MC перпендикулярен плоскости
прямоугольной трапеции ABCD(угол В –
прямой ).Проведите через точку М
перпендикуляры к прямым АВ и AD
M
D
A
C
ABC  прямоуголь ный, С  90 ,

M
АС  а, В  
МС  ( АВС ), МС  а
Найти :  (С , АВ);  ( М , АВ)
a (1  cos 2  )
C
A
a cos
B
ABCD – ромб, OK – перпендикуляр к плоскости ромба.
ОК=5см. Найти расстояние от точки К до сторон ромба,
если его диагонали равны 40см и 30см.
K
13
5
B
O
20
15
A
C
12
25
M
D
ABCD – квадрат. АВ=2а. DD1=a. Постройте
проекцию DC на плоскость α. Найдите
расстояние между прямой АВ и проекцией DC на
плоскость α.
C
D
2a
Ba√3
A
α
a
D1
C1