Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном

1
• Тригонометрия –
математическая дисциплина,
изучающая зависимость между
сторонами и углами
треугольника.
2
Тригонометрия
• Возникла и развивалась в древности
как один из разделов астрономии, как
ее вычислительный аппарат,
отвечающий практическим нуждам
человека.
• Можно определить расстояние до
недоступных предметов
• Для составления географических карт.
3
Соотношения между
сторонами и углами
прямоугольного
треугольника
4
Синус угла
B
A
C
Синусом острого угла
прямоугольного
треугольника
называется отношение
противолежащего
катета к гипотенузе.
Sin A = BC/AB
5
Косинус угла
B
A
C
Косинусом острого
угла прямоугольного
треугольника
называется отношение
прилежащего катета к
гипотенузе.
Cos A = AC/AB
6
Тангенс угла
B
A
C
Тангенсом острого
угла прямоугольного
треугольника
называется отношение
противолежащего
катета к
прилежащему.
tg A = BC/AC
7
Записать sinα, cosα, tgα
для данного треугольника
b
cos α = ?
sin α = ?
tg α = ?
а
α
с
8
Упражнения
A
20
sin B = ?
0,8
С
B
12
B
3
C
25
20
B
cos A = ?
0,8
C
tg A = ?
5
A
A
ttg A = ?
g0,75
0,75
A
B
10
,7
8
C
9
Упражнения
cos B = 4/5
B
B
15
cos A = 0,5
?
8
25
?
С
cos B = 0,8
B
A
?
С
36
?
С
A
4
B
21
35
A
С
cos A =5/13
39
A
10
• Просто косинуса или синуса или
тангенса не бывает!!!!
• Косинус, синус и тангенс описывают
величину какого-то угла.
• С помощью косинуса, синуса и
тангенса можно найти угол
прямоугольного треугольника если
известны его стороны
11
Если острый угол одного
прямоугольного треугольника
равен острому углу другого
прямоугольного треугольника, то
синусы этих углов равны, косинусы
этих углов равны и тангенсы этих
углов равны.
12
Что можно сказать о Sin и Cos
углов одного прямоугольного
треугольника?
SinA  CosB
CosA  SinB
2011 г.
13
13
Связь Sin и Cos углов
прямоугольного треугольника с
его внешним углом
A  B  90
В
B
sin α = cos β
sin β = cos α
β
α + β = 180°
sinα = sin β
α
С
β
α
C
А
tg α=ctg β
tg β=ctg α
A
cos α = - cos β
tg α = - tg β
14
Упражнения
• В ∆ АВС угол С=90°,
cos В= 0,8. Найти sin A
0,8
• В ∆ АВС угол С=90°.
cos В= 0,8. Найти cos A
0,6
В
А
С
В
3
2
• В треугольнике АВС
- 0,5
угол С=90°. cos B=
Найти косинус внешнего
угла при вершине А
С
А
15
Упражнения
• В треугольнике
2 34 АВС угол
С=90°. АВ=
ВС=6.
Найти тангенс внешнего
угла при вершине А
B
6
2 34
2 34
С
• В треугольнике АВС угол
С=90°. AB=5. Косинус
внеш-него угла при
вершине В равен -0,6.
Найти АС
- 0,6
A
A
5
С
4
B
16
Упражнения
• В ∆АВС АС=ВС=10,
АВ= 2 51
Найти
синус внешнего угла при
вершине В.
• В ∆АВС угол С равен
5
90°, 4АВ=
, ВС=8.
Найдите тангенс
внешнего угла при
вершине А
С
10
0,7
Н
А
В
B
-2
4 5
8
С
A
17
Основное
тригонометрическое
тождество
2
sin α
+
2
cos α
=1
18
sin2 A + cos2 A = 1
• Эта формула позволяет по данному
значению синуса острого угла
прямоугольного треугольника
найти значение косинуса и
наоборот
• sin A = √ 1 – cos2A
• cos A = √1 – sin2A
19
Тангенс угла равен
отношению синуса к
косинусу этого угла.
tg α = sin α/cos α
20
Применение основного
тригонометрического
тождества
sin A = 3/5
cos A = ?
cos A = √1 – (3/5)2
cos A = √1 - 9/25
cos A =√25/25 - 9/25
cos A = √16/25
cos A =4/5
cos A = √13/ 7
sin A = ?
sin A =√1 – (√13/7)2
sin A = √1- 13/49
sin A = √49/49 -13/49
sin A = √36/49
sin A = 6/7
21
Упражнения
sin A = 0,8
cos A = ?
0,6
sin A = 3/√34
cos A = ?
5/√34
cos A = 0,6
sin A = ?
0,8
cos A=√91/10
sin A = ?
0,3
cos A = √7/10
sin A = ?
√93/10
sin A = 5/√41
cos A = ?
4/√41
sin A = 12/13
cos A = ?
5/13
cos A =5/13
sin A = ?
12/13
22
Проверь себя
В
В
sin A = 0,9
sin A = 3/5
?
?
С
Ответ:
А
√19
АВ = 10
А
Ответ:
12
С
ВС = 9
23
Проверь себя
В
В
cos A = 14/15
cos A = 0,4
2 29
2 29
?
?
2 29
С
Ответ:
21
АВ = 30
А
А
Ответ:
21
С
AB =5
24
Решить задачи
• В треугольнике АВС
АС=ВС=4 АВ=6
Найдите cos А.
• В треугольнике АВС
АС=ВС= 61 АВ=10
Найдите tg А.
• В треугольнике АВС
АС=ВС=15 АВ=18
Найдите sin А.
• В треугольнике АВС
АС=ВС, АВ=24, cos А =
Найдите высоту СH
• В треугольнике АВС
АС=ВС=8,
sin B=
Найдите АВ
• В треугольнике АВС
АС=ВС, АВ=2, sin A=
Найдите АC.
4 41
41
7
4
15
4
25
Проверь себя
C
С
4
А
cos A = ¾=0,75
3
В
H
12
A
B
H
С
C
CH = 6
tg A = 6/5 = 1,2
А
5
H
CH = 12
sin A=12/15= 0,75
15
А
B
61
С
9
H
В
CH = 2 7
HB = 6
AB = 12
8
A
В
H
AC= 3 41
CH= 15
?
C
cos A = ¼
AC = 4
?
A
1
B
26
Упражнения
В тупоугольном
треугольнике АВС
АВ=ВС, АС=25,
СН - высота, АН = 24
Найдите синус угла АСВ
0,28
В тупоугольном
треугольнике АВС
АВ=ВС, АС=2,
СН - высота, АН = √3
Найдите синус угла АСВ
0,5
27
Вычислить значения синуса,
косинуса и тангенса для
углов 300, 450, 600 и занести в
таблицу.
28
AС2=ВА2-ВС2
AС2=с2-(с/2)2=с2-(с2/4)=3с2/4
B
Cos A = AC/AB
3
c
3
2
с/2 соs30 

c
2
с
30°
A
3
с
2
3
АС 
с
2
SinA= BC/AB
C
SinA= CosB
Cos A = SinB
1
c
1
2
sin 30 

c
2
Sin30°= Cos60°=1/2
3
cos 30  sin 60  29
2
АВ 
AB2=CА2+ВС2
2с 2  с
2
Cos A = AC/AB
B
с
соs 45 
2
45°
АВ с с  2с
2
2
2
с
2
c
c 2

1
1 2
2


2
2
2 2
45°
A
с
C
Cos A = SinB
2
cos 45  sin 45 
2
30
Таблица значений sinα, cosα, tgα для
углов α, равных 300, 450, 600
α
300
450
600
sinα
1
2
√2
2
√3
2
cosα
√3
2
√2
2
1
2
tgα
√3
3
1
√3
31
Выполнить устно:
В
С
8
АВСD – параллелограмм.
Найти: SABCD.
300
А
Д
32
Проверяем.
№591(б)
Решение:
В
А
С
ВС = 21, АС = 20, т.к. АВ2 = АС2 + ВС2, то
АВ = 29;
sinА = cosВ = ВС/АВ =21/29
sinB = cosA =АС/АВ =20/29
tgA =BC/AC =21/20,
tgB=AC/BC =20/21.
33
№592
Постройте угол α, если tgα=½.
В
1
А
α
2
С
34
Определения синуса, косинуса и
тангенса острого угла используют для
вычисления неизвестных элементов
(сторон и углов) прямоугольного
треугольника.
35