10.doc - Всероссийский фестиваль педагогического творчества

Всероссийский фестиваль педагогического творчества
(2014 - 2015 уч. год)
Номинация: Проектная и творческая деятельность учащихся
(математика и физика)
Название работы: Признаки четырехугольников
Автор: Макаров Леонид Александрович, 8 класс.
Руководитель: Симакова Татьяна Александровна
Проектная работа Макарова Леонида,
Ученика 8 класса «Е» школы ГОУ Школа № 1794
Руководитель : Симакова Татьяна Александровна,
учитель математики ГБОУ Школа № 1794
Признаки параллелограмма
Признаки прямоугольника
Признаки квадрата
Признаки ромба
Известные признаки
четырехугольников
Если в четырехугольнике сумма углов
прилежащих к каждой стороне равна 180 °.
Если в четырехугольнике
противолежащие углы попарно равны.
Если в четырехугольнике точка пересечения
диагоналей является центром симметрии
Если в четырехугольнике углы, образованные
каждой диагональю с противолежащими
сторонами равны
В меню
Если сторона параллелограмма образует с
диагоналями углы, сумма которых равна 90°
Если у параллелограмма две смежные стороны
равны
Если диагональ параллелограмма
является биссектрисой его угла
Если диагонали параллелограмма
взаимно перпендикулярны
Если у четырехугольника все стороны равны
Если в четырехугольнике прямые, содержащие
диагонали, являются осями симметрии
В меню
Если в параллелограмме один угол прямой
Если в четырехугольнике две стороны параллельны и
углы, прилежащие к одной из этих сторон прямые
Если в четырехугольнике есть 3 прямых угла
Если в четырехугольнике диагонали равны, и точкой
пересечения делятся пополам
Если в четырехугольнике две противоположные стороны
равны и углы, прилежащие к одной из этих сторон прямые
Если в четырехугольнике перпендикуляры, проведенные к
сторонам, проходящие через их середины, являются осями
симметрии
Если в параллелограмме сумма углов между диагональю и
смежными сторонами равна 90º
В меню
Если в параллелограмме стороны
равны и диагонали равны
Если диагонали прямоугольника
перпендикулярны
Если диагонали ромба равны
Если в ромбе один угол
прямой
Если в параллелограмме углы
равны, а диагонали
перпендикулярны
Если диагонали
четырехугольника взаимно
перпендикулярны и имеют
общую середину
Если угол между диагональю
и стороной ромба равен 45°
Если в четырехугольнике все
стороны равны и среди
внутренних углов есть
прямой
Если сторона ромба образует
с диагоналями равные углы
Если четырехугольник имеет
четыре оси симметрии
В меню
Параллелограмм
Прямоугольник
В меню
Параллелограмм
• Если в четырехугольнике две стороны равны
и параллельны.
• Если в четырехугольнике противоположные
стороны попарно равны.
• Если в четырехугольнике диагонали
пересекаются и точкой пересечения делятся
пополам.
Прямоугольник
• Если в параллелограмме диагонали
равны, то этот параллелограммпрямоугольник.
1к
Если диагонали прямоугольника перпендикулярны,
то этот прямоугольник - квадрат
Доказательство
AC┴BD
В
С
О
ΔAOB и ΔCОB- прямоугольные
равнобедренные.
ΔAOB=ΔCBO по двум катетам.
Из равенства имеем: АВ=ВС.
По свойству прямоугольника
АВ=DC=BC=AD.
АВСD-квадрат.
А
D
2к
Если диагонали ромба равны, то этот ромб квадрат.
Доказательство
AC=BD
В
С
О
А
D
ΔABC=ΔDAB по трем сторонам.
Из равенства имеем:
‫ے‬ВАС=‫ے‬ВСА
По свойству ромба ‫ے‬А=‫ے‬С,
‫ے‬В=‫ے‬D.
Имеем:
‫ے‬А=‫ے‬В =‫ے‬С=‫ے‬D=90°
АВСD-квадрат.
3к
Если у параллелограмма стороны равны и
диагонали равны, то этот параллелограмм квадратом
Доказательство
AB=BC=CD=AD
AC=BD
В
С
О
А
D
Т.к. диагонали равны, то ABCDпрямоугольник.
Т.к. равны стороны, то
АВСD-квадрат.
4к
Если у параллелограмма углы равны, а диагонали
перпендикулярны, то этот параллелограмм квадрат
Доказательство
‫ے‬А=‫ے‬В=‫ے‬С=‫ے‬D
AC┴BD
В
С
Если AC┴BD и AC=BD,то
АВСD-квадрат.
О
А
‫ے‬А=‫ے‬В=‫ے‬С=‫ے‬D =360°:4=90°
Следовательно, ABCDпрямоугольник.
Следовательно AC=BD.
D
5к
Если диагонали четырехугольника взаимно
перпендикулярны и имеют общую середину, то этот
четырехугольник квадрат.
Доказательство
AВ=BС
В
С
О
А
D
ΔAOB = ΔDOC- по двум катетам.
AB=DC
‫ے‬BAO=‫ے‬OCD-накрест лежащие,
следовательно, AВ║DС.
По признаку ABCDпараллелограмм.
ΔAOB = ΔВOC-по двум катетам.
По определению ABCD-ромб.
т.О - середина диагоналей.
По признаку ромба, если
диагонали ромба равны, то
АВСD-квадрат.
6к
Если сторона ромба образует с диагоналями
равные углы, то этот ромб - квадрат.
Доказательство
В
С
2
О
О
1
А
D
ΔAOB-прямоугольный,
равнобедренный.
АО=ВО
По свойству ромба АО=ОС и
ВО=ОD.
АС=ВD
По признаку: если диагонали
ромба равны, то
АВСD-квадрат.
7к
Если угол между диагональю и стороной ромба
равен 45°, то этот ромб - квадрат.
Доказательство
‫ے‬1=45°
‫ے‬AOB=90°,по свойству ромба.
‫ے‬2=90°- ‫ے‬O-‫ے‬1=45°
В
С
1
О
2
А
D
Следовательно, ‫ے‬1=‫ے‬2.
‫ے‬ABО= ‫ے‬CBO=90 ° -по
свойству ромба.
‫ے‬BАО= ‫ے‬DAO=90 ° -по свойству
ромба.
По определению
АВСD-квадрат.
8к
Если в ромбе один угол прямой, то этот ромб квадрат.
Доказательство
AВ=BС
В
А
С
D
По свойству ромба имеем:
‫ے‬B=‫ے‬D=90°, ‫ے‬A=180°-‫ے‬В=90°и
‫ے‬A=‫ے‬С=90°.
Следовательно,
‫ے‬A=‫ے‬С=‫ے‬B=‫ے‬D=90°
По признаку
АВСD-квадрат.
9к
Если в четырехугольнике все стороны равны и
среди внутренних углов есть прямой, то этот
четырехугольник - квадрат.
Доказательство
AВ=BС
В
А
С
D
Т.к. AВ=BС=CD=AD ABCD-ромб.
По свойству ромба имеем:
‫ے‬B=‫ے‬D=90°, ‫ے‬A=180°-‫ے‬В=90°и
‫ے‬A=‫ے‬С=90°.
Следовательно,
‫ے‬A=‫ے‬С=‫ے‬B=‫ے‬D=90°
По признаку
АВСD-квадрат.
10к
Если четырехугольник имеет четыре оси
симметрии , то этот четырехугольник квадрат.
Доказательство
LN; KM; AC; BD -оси
симметрии.
L
В
С
К
N
О
А
M
D
LM-ось симметрии.
AB=CD, BC=AD
По признаку
ABCD-параллелограмм
AC-ось симметрии.
ΔLOC-прямоугольный.
‫ے‬LOC+‫ے‬LCO=90°
LOC=OCN - накрест лежащие.
‫ے‬C=90°, ‫ے‬A=‫ے‬С=‫ے‬B=‫ے‬D=90°
ABCD-прямоугольник.
ΔLOC=ΔCNO-по гипотенузе и остр. углу.
LC=CN,AB=BC=CD=AD.
По определению
АВСD-квадрат.
1р
Если сторона параллелограмма образует с
диагоналями углы, сумма которых равна 90°,то этот
параллелограмм - ромб.
‫ے‬1+‫ے‬2=90°
Доказательство
В
1
2
А
О
О
D
С
Т.к. 1+‫ے‬2=90°, ‫ے‬АОВ=90°
Следовательно, AC┴BD.
По признаку
АВСD-ромб.
2р
Если в параллелограмме две смежные стороны
равны, то этот параллелограмм - ромб.
AВ=BС
Доказательство
В
А
С
D
По свойству параллелограмма
имеем:
АВ=ВС=СD=AD
По определению
АВСD-ромб.
3р
Если диагональ параллелограмма является
биссектрисой его угла, то этот параллелограмм ромб.
‫ے‬1=‫ے‬2
Доказательство
В
1
2
А
С
О
D
ΔAOB = ΔBOC-по катету и
острому углу.
Следовательно, AB=BC.
По свойству параллелограмма
AB=DC,BC=AD
AB=BC=CD=AD
По определению
АВСD-ромб.
4р
Если диагонали параллелограмма взаимно
перпендикулярны, то этот параллелограмм - ромб.
Доказательство
В
А
С
О
D
ΔABO= ΔBOC-по двум катетам.
Следовательно,AB=BC.
Т.к. AB=DC и AD=BC
AB=BC=AD=DC
По определению
АВСD-ромб.
5р
Если в четырехугольнике все стороны равны, то
этот четырехугольник - ромб.
Доказательство
В
А
С
D
Т.к. АВ=DС и СB=AD
по признаку ABCDпараллелограмм.
Т.к. AB=BC=CD=AD
АВСD-ромб.
6р
Если в четырехугольнике прямые, содержащие
диагонали, являются осями симметрии, то этот
четырехугольник - ромб.
Доказательство
В
А
С
D
При осевой симметрии
сохраняется расстояние между
точками.
BD-ось симметрии.
Следовательно,AB=BC и
AD=CD.
АС-ось симметрии.
Следовательно,AB=АD.
Т.к. АВ=СD и AD=BC
АВСD-параллелограмм.
Т.к. AB=BC=AD=CD.
АВСD-ромб.
3пр
Если в параллелограмме один угол прямой, он
является прямоугольником.
Доказательство
В
А
С
D
‫ے‬A=‫ے‬В=90° – односторонние
при ВС║AD и секущей АВ.
‫ے‬A=‫ے‬С=90° – по свойству
параллелограмма.
‫ے‬D=90°
Следовательно,
‫ے‬A=‫ے‬В=‫ے‬С=‫ے‬D=90°.
По определению
АВСD-прямоугольник.
Если в четырехугольнике две стороны
параллельны и углы, прилежащие к одной из этих
сторон прямые, он является прямоугольником
1пр
Доказательство
AВ║DС
‫ے‬А=‫ے‬В=90°
В
А
С
D
По условию AВ ║ DС.
‫ے‬А=‫ے‬В=-односторонние углы
при параллельных прямых АD и
ВС и секущей АВ.
AВ ║ DС и ВС ║ АD
По определению ABCDпараллелограмм.
Т.к. ‫ے‬А=‫ے‬В=90°
АВСD-прямоугольник.
2пр
Если в четырехугольнике 3 прямых угла, он
является прямоугольником.
Доказательство
В
А
С
D
‫ے‬А=‫ے‬В - односторонние при
AD║BC и секущей АВ.
‫ے‬В=‫ے‬С - односторонние при
AВ║BD и секущей ВС.
AD║BC и AВ║BD .
По определению АВСDпараллелограмм.
‫ے‬А=‫ے‬В=‫ے‬C=‫ے‬D=90°
По определению
АВСD-прямоугольник.
4пр
Если в четырехугольнике диагонали равны, и
точкой пересечения делятся пополам, он является
прямоугольником.
Доказательство
В
С
О
А
D
ΔBOC=ΔAOD-по 2 сторонам и
углу между ними.
ΔAOB=ΔDOC-по 2 сторонам и
углу между ними.
Т.к. BC=AD и AB=CD
ABCD-параллелограмм.
ΔABС=ΔDВC-по 3 сторонам.
‫ے‬В+‫ے‬С=180°-односторонние.
‫ے‬В=‫ے‬С=90°
‫ے‬А=‫ے‬D=90°
По определению
АВСD-прямоугольник.
5пр
Если в четырехугольнике две противолежащие
стороны равны и углы, прилежащие к одной из этих
сторон прямые, он является прямоугольником.
Доказательство
В
А
С
D
ΔАВС=ΔADС - по гипотенузе и
катету.
‫ے‬B=‫ے‬D=90°
AB=DC,AB║DC
По признаку ABCDпараллелограмм.
‫ے‬D=‫ے‬C=90°
‫ے‬А=‫ے‬В=‫ے‬C=‫ے‬D=90°
По определению
АВСD-прямоугольник.
6пр
Если в четырехугольнике перпендикуляры,
проведенные к сторонам, проходящие через их
середины, являются осями симметрии, он является
прямоугольником.
Доказательство
К
В
С
N
М
А
О
Е
D
При осевой симметрии сохраняется
расстояние между точками.
MN-ось симметрии.
Значит BC=AD.
KE-ось симметрии.
Значит AB=DC.
По признаку ABCDпараллелограмм.
BK┴KE и MO┴KE
BKOM-прямоугольник.
Следовательно
‫ے‬A=‫ے‬B=‫ے‬C=‫ے‬D=90°
АВСD-прямоугольник.
Если в параллелограмме сумма углов между
диагональю и смежными сторонами равна 90º, то
этот параллелограмм - прямоугольник.
4пр
Доказательство
В
С
‫ے‬A=‫ے‬ABD+‫ے‬BDA=90°
‫ے‬A=‫ے‬C=90°
‫ے‬B=‫ے‬D=180°/2=90°
‫ے‬A=‫ے‬B=‫ے‬C=‫ے‬D=90°
По определению
АВСD-прямоугольник.
А
D
1п
Если в четырехугольнике сумма углов прилежащих
к каждой стороне равна 180 °, то этот
четырехугольник - параллелограмм.
Доказательство
‫ے‬1+‫ے‬2=180°
‫ے‬1+‫ے‬3=180°
В
С
3
2
1
А
D
‫ے‬1+‫ے‬2=180°-односторонние
внутренние.
По признаку BA║AC.
‫ے‬1+‫ے‬3=180°-односторонние
внутренние.
По признаку ВС║AD.
АВСD-параллелограмм.
2п
Если в четырехугольнике противоположные углы
попарно равны, то этот четырехугольник параллелограмм.
Доказательство
В
А
С
D
‫ے‬A+‫ے‬B=‫ے‬D+‫ے‬C=360°/2=180°
‫ے‬A и ‫ے‬В - односторонние.
AB║CD
‫ے‬C и ‫ے‬D - односторонние.
AD║CB.
По определению
АВСD-параллелограмм.
3п
Если в четырехугольнике точка пересечения
диагоналей является центром симметрии, то этот
четырехугольник - параллелограмм.
Доказательство
Точка О - центр симметрии.
При центральной симметрии
сохраняется расстояние между
С
точками.
AO=OC,BO=OD
По признаку
АВСD-параллелограмм.
В
О
А
D
4п
Если в четырехугольнике углы, образованные
каждой диагональю с противолежащими сторонами
равны, то он является параллелограммом
Доказательство
‫ے‬BCO=‫ے‬OAD-накрест лежащие.
BC║AD
С ‫ے‬ABO=‫ے‬CDO-накрест лежащие.
AB║CD
По определению
АВСD-параллелограмм.
В
О
А
D