Математический анализ 1 семестр Производные высших порядков. Основные теоремы

Дистанционный курс высшей математики
НИЯУ МИФИ
Математический анализ
1 семестр
Лекция 9
Производные высших порядков.
Основные теоремы
дифференциального исчисления.
06 ноября 2014 года
Лектор: Профессор НИЯУ МИФИ, д.ф.-м.н.
Орловский Дмитрий Германович
Производные высших порядков
Рассмотрим функцию
F ( x)  f ' ( x)
Если у этой функции также существует производная, то она
называется производной второго порядка (или второй производной)
f ' ' ( x)  ( f ' ( x))'.
Производная от второй производной (если она существует)
называется производной третьего порядка (или третьей
производной) и т. д. Так можно определить производные любого
порядка. Производная от производной порядка n–1 называется
производной порядка n:
f ( n ) ( x)  ( f ( n1) ( x))'.
Дифференциалы высших порядков
Дифференциал функции выражается формулой
df ( x)  f ' ( x)dx
и является функцией двух переменных: x и dx. Дифференциал от
первого дифференциала, который рассматривается как функция
переменного x при постоянном значении dx, называется вторым
дифференциалом (дифференциалом второго порядка)
d 2 f ( x)  d (df ( x)) dxconst  (df ( x))' dx 
 ( f ' ( x)dx)' dx  f ' ' ( x)( dx) 2 .
Полученную формулу полезно запомнить
d 2 f ( x)  f ' ' ( x)( dx) 2
Дифференциалы высших порядков
Дифференциалом порядка n называется дифференциал от
дифференциала порядка n-1 при условии, что dx=const . Для него
справедлива формула
d n f ( x)  f ( n ) ( x)( dx) n
Дифференциал второго порядка не обладает свойством
инвариантности формы. В самом деле, пусть теперь x=x(t)
некоторая функция, тогда в силу инвариантности формы первого
дифференциала
df ( x)  f ' ( x)dx
второй дифференциал
d 2 f ( x )  d ( f '( x )dx )  d ( f '( x ))dx  f '( x )d (dx ) 
 ( f ''( x )dx )dx  f '( x )d 2 x  f ''( x )(dx )2  f '( x )d 2 x,
причем в общем случае второй дифференциал
d 2 x  x' ' (t )( dt ) 2  0
d 2 f ( x)  f ' ' ( x)( dx) 2  f ' ( x)d 2 x
Формула Лейбница
n
( f ( x) g ( x))
(n)
  Cnk f ( n  k ) ( x) g ( k ) ( x)
k 0
(
n!
Cnk 
k!(n  k )!
– биномиальные коэффициенты).
Доказательство формулы проводится методом математической
индукции.
При n=1 эта формула имеет вид ( f ( x) g ( x))'  f ' ( x) g ( x)  f ( x) g ' ( x)
и совпадает с формулой производной произведения. Предположим,
что эта формула справедлива для натурального числа n и покажем
справедливость этой формулы для следующего натурального числа
n+1.
n
( n 1)
(n)
( f ( x) g ( x))
 (( f ( x) g ( x)) )'  ( Cnk f ( n  k ) ( x) g ( k ) ( x))' 
k 0
 (Cn0 f ( n ) ( x) g ( x)  Cn1 f ( n 1) ( x) g ' ( x)  Cn2 f ( n  2) ( x) g ' ' ( x)  ...
...  Cnk 1 f ( n  k 1) ( x) g ( k 1) ( x)  Cnk f ( n  k ) ( x) g ( k ) ( x)  ...  Cnn f ( x) g ( n ) ( x))' 
Формула Лейбница
 (Cn0 f ( n 1) ( x) g ( x)  Cn0 f ( n ) ( x) g ' ( x))  (Cn1 f ( n ) ( x) g ' ( x)  Cn1 f ( n 1) ( x) g ' ' ( x))  ...
...  (Cnk 1 f ( n  k  2) ( x) g ( k 1) ( x)  Cnk 1 f ( n  k 1) ( x) g ( k ) ( x)) 
 (Cnk f ( n  k 1) ( x) g ( k ) ( x)  Cnk
( nk )
( x) g ( k 1) ( x))  ...
...  (Cnn f ' ( x) g ( n ) ( x)  Cnn f ( x) g ( n 1) ( x)) 
 Cn0 f ( n 1) ( x) g ( x)  (Cn0  Cn1 ) f ( n ) ( x) g ' ( x))  ...
...  (Cnk 1  Cnk ) f ( n  k 1) ( x) g ( k ) ( x))  ...  Cnn f ( x) g ( n 1) ( x).
0
0
k 1
k
k
n
n 1
Учтем теперь, что Cn  1  Cn 1 , Cn  Cn  Cn1 , Cn  1  Cn1 . Тогда
( f ( x) g ( x)) ( n1)  Cn01 f ( n1) ( x) g ( x)  ...
...  Cnk1 f ( n1k ) ( x) g ( k ) ( x)  ...  Cnn11 f ( x) g ( n1) ( x),
т.е. ( f ( x) g ( x))
( n 1)
n 1
  Cnk1 f ( n 1 k ) ( x) g ( k ) ( x). Формула доказана.
k 0
Основные теоремы
•
•
•
•
Теорема Ферма
Теорема Ролля
Теорема Лагранжа
Теорема Коши
Теорема Ферма
17.08.1601 –
– 12.01.1665
Работа советника в парламенте города Тулузы не
мешала Ферма заниматься математикой. Постепенно он
приобрёл славу одного из первых математиков
Франции, хотя и не писал книг (научных журналов ещё
не было), ограничиваясь лишь письмами к коллегам.
Открытия Ферма дошли до нас благодаря сборнику его
обширной переписки, изданной посмертно сыном
Ферма.
В отличие от Галилея, Декарта и Ньютона, Ферма был
чистым математиком — первым великим математиком
новой Европы. Независимо от Декарта он создал
аналитическую геометрию. Раньше Ньютона умел
использовать дифференциальные методы для
проведения касательных, нахождения максимумов и
вычисления площадей. Правда, Ферма, в отличие от
Ньютона, не свёл эти методы в систему, однако Ньютон
позже признавался, что именно работы Ферма
подтолкнули его к созданию анализа.
Теорема Ферма
Пусть во внутренней точке своей области определения функция
имеет экстремум. Если в этой точке существует производная, то она
равна нулю.
(1) Пусть функция f(x) имеет в точке x0 максимум. Тогда у этой
точки существует окрестность, в которой f(x)≤f(x0). В этом случае
при x<x0 мы имеем неравенство
f ( x)  f ( x0 )
 0.
x  x0
Переходя в этом неравенстве к пределу, получаем, что f’(x0)≥0.
С другой стороны, при x>x0 мы имеем неравенство
f ( x)  f ( x0 )
 0.
x  x0
Переходя к пределу в этом неравенстве, получаем, что f’(x0)≤0.
Отсюда следует, что f’(x0)=0.
Теорема Ферма
(2) Пусть функция f(x) имеет в точке x0 минимум. Тогда у этой
точки существует окрестность, в которой f(x)≥f(x0) . В этом случае
при x<x0 мы имеем неравенство
f ( x)  f ( x0 )
 0.
x  x0
Переходя в этом неравенстве к пределу, получаем, что f’(x0)≤0.
С другой стороны, при x<x0 мы имеем неравенство
f ( x)  f ( x0 )
 0.
x  x0
Переходя к пределу в этом неравенстве, получаем, что f’(x0)≥0.
Отсюда следует, что f’(x0)=0.
Теорему Ферма часто называют необходимым условием
экстремума. Если функция имеет экстремум во внутренней точке и
производная функции в этой точке существует, то эта производная
должна быть равна нулю.
Теорема Ферма
Опасные моменты!
1. Во внутренней точке экстремума производная может не
существовать.
2. Точка экстремума функции может не быть внутренней точкой
области определения.
3. Равенство нулю производной является необходимым
условием, но это условие достаточным условием наличия
экстремума не является.
Мишель Ролль
21.04.1652 –
– 08.11.1719
Мишель Ролль французский математик. Родился в
городке Амбер (провинция Овернь). По прибытии в
Париж, в возрасте 23 лет, он в начале добывал себе
средства к существованию перепиской. Его
математические сведения, обнаружившиеся, между
прочим, в решении трудной задачи, предложенной
Озанамом, открыли ему двери академии. В 1685
году он стал её членом.
Особенно важны работы Ролля по предмету
численного решения уравнений и особенно
найденный им метод каскадов для определения
пределов, заключающих корень уравнения.
Изложение исследований Ролля находится в его
«Алгебраическом трактате» (Париж, 1690).
В «Алгебраическом трактате» обращают на себя
внимание: глава о разыскании общего наибольшего
делителя двух многочленов, составляющих
уравнения, и теорема о числе значений корня n-ой
степени.
Теорема Ролля
Пусть f(x) непрерывна на отрезке [a;b] и дифференцируема
внутри интервала (a;b), причем на концах отрезка функция f(x)
принимает одинаковые значения , т. е. f(a)=f(b) .
Тогда существует такая точка ξ∊(a;b) в которой f’(ξ)=0 .
Если функция f(x) постоянна, то ее производная равна нулю
всюду, тогда утверждение теоремы очевидно. Предположим,
теперь, функция f(x) не является постоянной.
Так как функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b], то она
принимает на нем свои максимальное и минимальное значения.
Поэтому на отрезке [a;b] существуют такие точки α и β , что при
всех x∊[a;b] f(α)≤f(x)≤f(β).
Точки α и β являются, таким образом, точками экстремума
функции f(x).
Так как функция f(x) не является постоянной, то f(α) ≠ f(β). По
условию теоремы f(a)=f(b), поэтому хотя бы одна из точек α и β
является внутренней точкой отрезка и по теореме Ферма в этой
точке производная равна нулю.
Теорема Ролля
Геометрическая интерпретация теоремы Ролля
Теорема Ролля
Опасные моменты!
Дифференцируемость во всех
внутренних точках обязательно.
Равенство значений на концах
отрезка обязательно.
Жозеф Луи Лагранж
25.01.1736 –
– 10.04.1813
Французский математик и механик, член Парижской
АН (1772). Родился в семье обедневшего чиновника.
Самостоятельно изучал математику. В 19 лет Лагранж
уже стал профессором в артиллерийской школе
Турина. В 1759 избран член Берлинской АН, а в 1766—
87 был её президентом. В 1787 Л. переехал в Париж; с
1795 профессор Нормальной школы, с 1797 —
Политехнической школы.
Автор классического трактата «Аналитическая
механика», в котором установил фундаментальный
«принцип возможных перемещений» и завершил
математизацию механики. Внёс большой вклад в
развитие анализа, теории чисел, теорию
вероятностей и численные методы, создал
вариационное исчисление.
Лагранж (25.01.1736 – 10.04.1813)
f (b)  f (a )  f '(ξ)(b  a )
http://en.wikipedia.org/wiki/File:Beijing-Mean-Value-Theorem-3733.jpg
Теорема Лагранжа
Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b] и
дифференцируема в интервале (a;b). Тогда существует
такая точка ξ∊(a;b), что
f (b)  f (a )
 f ' (ξ ).
ba
Пусть
f (b)  f (a )
 ( x)  f ( x)  f (a) 
( x  a ).
ba
Эта функция удовлетворяет условиям теоремы Ролля и поэтому
существует такая точка ξ∊(a;b) для которой φꞌ(ξ)=0 т. е.
f ' (ξ ) 
f (b)  f (a )
 0,
ba
что доказывает теорему.
Формулу Лагранжа часто записывают в другой форме
f (b)  f (a)  f ' (ξ )(b  a).
Эту теорему называют также теоремой о конечных приращениях.
Теорема Лагранжа
Геометрическая интерпретация теоремы Лагранжа
tg  
f(b)  f (a )
ba
Теорема Лагранжа
Следствие. Пусть функция f(x) дифференцируема в интервале
(a;b). Тогда для любых точек α,β∊(a,b) найдется точка ξ, лежащая
между α и β (т.е. либо α ≤ ξ ≤ β либо β ≤ ξ ≤ α), для которой
f (  )  f ( )  f ' (ξ )(    ).
(1) α <β По теореме Лагранжа.
f (  )  f ( )  f ' (ξ )(    )
(2) α>β По теореме Лагранжа
f ( )  f (  )  f ' (ξ )(   ).
(3) α=β Обе части равенства равны нулю, ξ = α.
Теорема Лагранжа
Замечание. Возникает вопрос: является ли точка ξ произвольной
точкой интервала, т.е. можно ли для всякой точки ξ из интервала
(a;b) указать две другие точки x1 и x2 из этого интервала такие, что
f ( x2 )  f ( x1 )  f ' (ξ)( x2  x1 ) ( x1  ξ  x2 )
Ответ на этот вопрос отрицательный. Рассмотрим функцию f(x)=x3
на отрезке [-1;1] и точку ξ=0. Производная f’(x)=3x2 в точке ξ=0
равна нулю. Поэтому требуемое равенство имеет вид
x23  x13  0  ( x2  x1 )  0,
что выполнено быть не может так как x1≠x2.
Теорема Лагранжа
Условие постоянства функции.
Определенная в интервале (a;b) функция f(x) постоянна тогда и
только тогда, когда в этом интервале производная f’(x)=0.
(1) Пусть f(x)=const. Тогда f’(x)=(const)’0.
(2) Пусть f’x)=0, а α,β∊(a,b) произвольные точки. Тогда
f (  )  f ( )  f ' (ξ )(    )  0,
Следовательно, f(x)=const.
f (  )  f ( ).
Теорема Лагранжа
Условие монотонности дифференцируемой функции
Возрастающая функция:
Убывающая функция:
x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 ).
x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 ).
Дифференцируемая в интервале (a;b) функция f(x)xвозрастает
тогда и только тогда, когда в этом интервале f’(x)≥0.
Пусть ff(x)uвозрастает, тогда для любой точки x0 0величина
f ( x)  f ( x0 )
f ( x)  f ( x0 )
 0  f ' ( x0 )  lim
 0.
x

x
x  x0
x  x0
o
Обратно, пусть всюду f’(x)≥0 и x1<x2 . По формуле
Лагранжа
f ( x1 )  f ( x2 )  f ' (ξ)( x1  x2 )  0,
т.е.
f ( x1 )  f ( x2 ).
Дифференцируемая в интервале (a;b) функция f(x) убывает тогда
и только тогда, когда в этом интервале f’(x)≤0.
f (x )
Теорема Лагранжа
Достаточное условие строгой монотонности
дифференцируемой функции
Строго возрастающая функция:
Строго убывающая функция:
x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 ).
x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 ).
Если для дифференцируемой в интервале (a;b)(функции f(x)
производная f’(x)>0 в этом интервале, то функция ff(x) строго
возрастает.
Пусть x1<x2 . По формуле Лагранжа f(x1)-f(x2)=f’(ξ)(x1–x2)
Следовательно, f(x1)<f(x2) , т.е. f(x) строго возрастает.
Если для дифференцируемой в интервале (a;b) функции f(x)
производная ff’(x)<0 в этом интервале, то функция ff(x) строго
убывает.
Теорема Лагранжа
Опасные моменты!
Условия строгой монотонности являются достаточными, но они не
являются необходимыми.
f ( x)  x 3
Функция f(x)=x3 строго возрастает на
всей числовой прямой, однако, ее
производная f’(x)=3x2 обращается в
ноль при x=0.
Теорема Лагранжа
Пример. Доказать неравенства
| sin x  sin y || x  y |
| cos x  cos y || x  y |
Решение.
| sin x  sin y || (cos ξ )( x  y ) |
| cos ξ || x  y | 1 | x  y || x  y |
| cos x  cos y || (sin ξ)( x  y ) |
| sin ξ || x  y | 1 | x  y || x  y |
Огюстен Луи Коши
21.08.1789 – 23.05.1857
Великий французский математик, член
Парижской академии наук, Лондонского
королевского общества, Петербургской
академии наук и других академий.
Разработал фундамент математического
анализа, внёс огромный вклад в анализ,
алгебру, математическую физику и многие
другие области математики. Его имя внесено в
список величайших ученых Франции,
помещённый на первом этаже Эйфелевой
башни.
Теорема Коши
Пусть функции f(x)fи g(x) непрерывны на отрезке [a;b] и
дифференцируемы в интервале (a;b) . Пусть также при всех
x∊(a;b) производная g’(x) ≠ 0.
Тогда существует такая точка ξ∊(a;b), для которой
f (b)  f (a) f ' (ξ )

g (b)  g (a) g ' (ξ )
Прежде всего отметим, что g(b) ≠ g(a) так как в противном случае по
теореме Ролля должна найтись точка, в которой g’(x)=0, а это
противоречит условию теоремы. Рассмотрим далее вспомогательную
f (b)  f (a)
функцию
 ( x)  f ( x)  f (a) 
( g ( x)  g (a)).
g (b)  g (a)
Эта
функция
удовлетворяет
условиям
теоремы
Ролля,
следовательно, существует такая точка ξ∊(a;b), в которой производная
f (b)  f (a)
этой функции равна нулю
f ' (ξ ) 
g (b)  g (a)
g ' (ξ)  0.
Так как по условию теоремы производная g’(x) ≠ 0, то из последнего
равенства следует формула Коши.
Теорема Коши
Следствие. Пусть функции f(x) и g(x) непрерывны на
отрезке [a;b] и дифференцируемы в интервале (a;b), причем
при всех x∊(a;b) производная g’(x) ≠ 0. Тогда для любых точек
α,β∊(a,b) найдется точка ξ, лежащая между α и β f(т.е. либо
α≤ξ≤β, либо β≤ξ≤α), для которой
f (  )  f ( ) 
f ' (ξ )
( g (  )  g ( )).
g ' (ξ )
(1) α < β По теореме Коши для отрезка [a;b].
(2) α > β По теореме Коши для отрезка [b;a].
(3) α = β Обе части равенства равны нулю.
Теорема Коши
Контрпример: f(x)=x2, g(x)=x3,a = –1, b=1.
f (b)  f (a)
1 1
0

  0,
g (b)  g (a) 1  (1) 1
в то время как
f ' (ξ) 2ξ
2
 2 
 0.
g ' (ξ ) 3ξ
3ξ
Условия теоремы Коши не выполнены: производная функции g(x)
в интервале (–1;1) обращается в нуль (в точке x=0).
Гийом Франсуа Лопиталь
1661 – 02.02.1704
Французский математик, автор первого учебника по
математическому анализу.
Сын богатых родителей, маркиз Лопиталь поступил
сперва в военную службу, но по слабости зрения
вскоре оставил ее и посвятил себя наукам.
Главная заслуга Лопиталя заключается в первом
систематическом изложении математического анализа,
данное им в сочинении «Анализ бесконечно малых» в
1696 г. В этой книге собраны и приведены в стройное
целое отдельные вопросы, разбросанные до того в
разных повременных изданиях, а также приводится
Правило Лопиталя.
Лопиталю принадлежит также решение ряда задач, в
том числе о кривой наименьшего времени ската
(брахистохрона), о кривой, по которой должен
двигаться груз, прикрепленный к цепи и удерживающий
в равновесии подъемный мост. Решение этих задач
помогло ему стать в один ряд с Ньютоном, Лейбницем
и Якобом Бернулли.
Правило Лопиталя
Пусть функции f(x) и g(x) определены и дифференцируемы в
некотором интервале (a;b). Причем всюду в этом интервале
производная g’(x) ≠ 0. Пусть также при x→a+0 обе функции имеют
пределы, равные нулю. Кроме того
f ' ( x)
 A.
lim
x a  0 g ' ( x)
Тогда также и
f ( x)
 A.
lim
x a  0 g ( x)
Так как обе функции имеют конечные пределы, то их можно
доопределить по непрерывности на промежуток [a;b)[, полагая
f(a)=0f и g(a)=0.
Правило Лопиталя
Проверим определение предела для отношения функций и числа
A. Возьмем положительное число ε. Из определения предела следует,
что существует такой интервал (a;bε), в котором
f ' ( x)
 A  ε.
g ' ( x)
Покажем, что этот же интервал отвечает числу ε в определении
предела и для отношения функций. В самом деле, пусть x∊(a;bε). По
теореме Коши для отрезка [a;x]
f ( x ) f ( x )  f ( a ) f ' (ξ )


.
g ( x ) g ( x )  g ( a ) g ' (ξ )
Так как x∊(a;bε), то также и точка ξ∊(a;bε). В силу выбора интервала
(a;bε)
f ( x)
f ' (ξ )
A 
 A  ε.
g ( x)
g ' (ξ )
Поэтому A является пределом отношения функций приxx→a+0.
Правило Лопиталя
Пусть функции f(x) и g(x) определены и дифференцируемы в
некотором интервале (a;b). Причем всюду в этом интервале
производная g’(x) ≠ 0. Пусть также при x→b–0 обе функции имеют
пределы, равные нулю. Кроме того
f ' ( x)
 A.
lim
x b 0 g ' ( x)
Тогда также и
f ( x)
 A.
lim
x b  0 g ( x)
Так как обе функции имеют конечные пределы, то их можно
доопределить по непрерывности на промежуток (a;b][, полагая
f(b)=0f и g(b)=0.
Правило Лопиталя
Проверим определение предела для отношения функций и числа
A. Возьмем положительное число ε. Из определения предела следует,
что существует такой интервал (aε;b), в котором
f ' ( x)
 A  ε.
g ' ( x)
Покажем, что этот же интервал отвечает числу ε в определении
предела и для отношения функций. В самом деле, пусть x∊ (aε;b). По
теореме Коши для отрезка [x;b]
f ( x) f ( x)  f (b) f ' (ξ)


.
g ( x) g ( x)  g (b) g ' (ξ)
Так как x∊(aε;b), то также и точка ξ∊(aε;b). В силу выбора интервала
(aε;b)
f ( x)
f ' (ξ )
A 
 A  ε.
g ( x)
g ' (ξ )
Поэтому A является пределом отношения функций приxx→b–0.
Правило Лопиталя
Следствие
Пусть функции f(x) и g(x) определены и дифференцируемы в
некотором интервале (x0–δ;x0+δ) кроме, быть может, точки x0. Причем
всюду на этом же множестве производная g’(x) ≠ 0. Пусть также при
x→x0 обе функции имеют пределы, равные нулю. Кроме того
f ' ( x)
 A.
lim
x  x0 g ' ( x )
Тогда также и
f ( x)
 A.
lim
x  x0 g ( x )
Правило Лопиталя
Пример 1. Вычислить
tg x  x
lim
x  0 x  sin x
Решение.
tg x  x
1 / cos2 x  1
lim
 lim

x 0 x  sin x
x 0 1  cos x
2
1  cos x
 lim
 lim(1  cos x)  2
2
x 0 (1  cos x )cos x
x 0
Правило Лопиталя
Пример 2. Вычислить
ch x  cos x
lim
x 0
x2
Решение.
ch x  cos x
sh x  sin x
ch x  cos x
lim
 lim
 lim
1
2
x 0
x 0
x 0
x
2x
2
Правило Лопиталя
Пример 3. Вычислить
lim x ln x
x 0
Решение.
ln x
1/ x
lim x ln x  lim
 lim
  lim x  0
x 0
x 0 1 / x
x 0  1 / x 2
x 0
Правило Лопиталя
Пример 4. Вычислить
Решение.
x
lim x
x   e
x
1
lim
 lim x  0
x   e x
x   e
Правило Лопиталя
Пример 5. Вычислить
Решение.
ln x
lim
x   x
ln x
1/ x
1
lim
 lim
 lim  0
x   x
x   1
x   x
Дистанционный курс высшей математики
НИЯУ МИФИ
Математический анализ.
Производные высших порядков
Основные теоремы дифференциального исчисления.
Лекция 9
завершена.
Спасибо за внимание!
Тема следующей лекции:
Формула Тейлора.
Лекция состоится в четверг 13 ноября
В 10:15 по Московскому времени.