14. Единственность аналитической функции

§14. Единственность
аналитической функции.
Принцип максимума модуля
п.1. Свойство единственности
аналитической функции.
Теорема 1.
Если функции f ( z ) и  ( z ) аналитичны в
области G и совпадают на множестве E  G ,
имеющем предельную точку, лежащую в G, то
f ( z )   ( z ) всюду в G.
Доказательство.
1) Рассмотрим вначале случай, когда
а)
G  {| z  z0 | R};
z0 — предельная точка множества E.
В силу теоремы Тейлора функции f (z ) и  (z )
б)
в круге G разлагаются в сходящиеся
степенные ряды:
f ( z )  c0  c1 ( z  z0 )  c2 ( z  z0 )  c3 ( z  z0 )  ...;
2
3
 ( z )  c0 'c1 ' ( z  z0 )  c2 ' ( z  z0 )  c3 ' ( z  z0 )  ...
2
3
Покажем, что
cn  cn ' , n  0,1,2,...
Выберем последовательность точек {z k }
множества E такую, что
lim z k  z0 .
k 
По условию теоремы
f ( zk )   ( zk ), zk  E.
Перейдем к пределу
lim f ( zk )  lim  ( zk ).
k 
k 
Т.к. функции f (z ) и  (z ) являются
непрерывными в точке z0 , то
f ( z0 )   ( z0 )
или
c0  c0 '.
Поэтому, можно записать
c1 ( z  z0 )  c2 ( z  z0 )  c3 ( z  z0 )  ... 
2
3
 c1 ' ( z  z0 )  c2 ' ( z  z0 )  c3 ' ( z  z0 )  ...,
Сократим на ( z  z0 ) :
2
3
z  E.
c1  c2 ( z  z0 )  c3 ( z  z0 )  ... 
2
 c1 'c2 ' ( z  z0 )  c3 ' ( z  z0 )  ...,
2
z  E.
Полагая z  z k , получим
c1  c2 ( zk  z0 )  c3 ( zk  z0 )  ... 
2
 c1 'c2 ' ( zk  z0 )  c3 ' ( zk  z0 )  ...
2
Переходя к пределу при z k
c1  c1 '.
 z0 , будем иметь
Продолжая аналогичным образом, заключаем
cn  cn ' , n  0,1,2,...
2) Пусть G — произвольная область;
z0  G — предельная точка множества E.
Пусть a  G — произвольная точка.
Покажем, что
f (a )   (a ).
G
z0

a
Соединим точки z0 и
a произвольной
спрямляемой линией
Г, лежащей в
области G.
Обозначим через d — расстояние от линии Г
до границы области G, т.е.
d : inf | u  v |: u  , v  G.
Рассмотрим функции f ( z ) и  ( z ) в круге
d
| z  z0 | .
2
G
Очевидно,
a
выполняются условия
z0
п. 1) и

f ( z)   ( z)
d /2
в этом круге.
d

z1    | z  z0 |  .
2

Тогда функции f ( z ) и  ( z ) будут аналитичны
в круге
| z  z1 | d / 2
Пусть
и совпадать на бесконечном множестве точек,
сходящихся к z1.
G
z0
z1
a

Следовательно,
f ( z)   ( z)
всюду в круге
| z  z1 | d / 2.
Продолжая процесс таких построений, после
конечного числа шагов точка a попадет внутрь
круга
| z  zn | d / 2
где
f ( z )   ( z ).
G
a
z0

В силу
произвольности
выбора точки a
теорема является
доказанной.
п.2. Нули аналитической функции.
Нулем функции f (z ) , аналитической в
некоторой области G, будем называть всякую
точку z0 этой области, в которой имеет место
равенство
f ( z0 )  0.
Пусть z0 — нуль функции f (z ).
Разложим f (z ) в ряд Тейлора по степеням
( z  z0 ) :
f ' ( z0 )
f ' ' ( z0 )
f ( z )  f ( z0 ) 
( z  z0 ) 
( z  z0 ) 2  ...
1!
2!
Если f ( z )  0 , то среди коэффициентов
правой части найдутся отличные от нуля.
Пусть ( z  z0 ) — младшая степень ( z  z0 ) ,
коэффициент при которой отличен от нуля.
Тогда
k
( k 1)
f ( k ) ( z0 )
f
( z0 )
k
k 1
f ( z) 
( z  z0 ) 
( z  z0 )  ...
k!
(k  1)!
или
f ( z )  ( z  z0 )  ( z ),
k
где
 ( z) 
f
(k )
( k 1)
( z0 ) f
( z0 )

( z  z0 )  ...
k!
(k  1)!
Очевидно, функция  (z ) аналитична в точке z0
и
(k )
f
( z0 )
 ( z0 ) 
 0.
k!
Число k  N называется порядком или
кратностью нуля z0 функции
f (z ).
k  1 нуль называется простым.
При k  1 нуль называется кратным.
При
По определению простой нуль
характеризуется тем, что
f ( z0 )  0,
f ' ( z0 )  0.
Кратный нуль характеризуется тем, что
f ( z0 )  f ' ( z0 )  ...  f
Пусть
( k 1)
( z0 )  0,
f
(k )
( z0 )  0.
A  C.
A-точкой функции f (z ) , аналитической в
некоторой области G, будем называть всякую
точку z0 этой области, которая является
корнем уравнения f ( z )  A.
0
Замечание 1.
Каждая A-точка функции
функции f ( z )  A.
f (z ) является нулем
п.3. Принцип максимума модуля.
Теорема 2.
Если функция f (z ) аналитична в области G,
то функция | f ( z ) | не может достигать строгого
локального максимума в этой области.
Доказательство. Предположим противное.
Пусть
i
z0  G | f ( z0 ) || f ( z0  re ) |
при всех достаточно малых r , r  0, и при всех
  [0, 2 ].
Так как функция f ( z0  re ) переменной 
непрерывна на отрезке [0, 2 ] , то справедливо
и следующее строгое неравенство:
i
i
| f ( z0 ) | max | f ( z0  re ) | .
[0,2 ]
(1)
С другой стороны на основании теоремы о
среднем (теорема 4 §9) имеем:
1
| f ( z0 ) |
2
2

0
i
i
f ( z0  re )d  max | f ( z0  re ) | .
[0,2 ]
Получили противоречие с неравенством (1).
Теорема 2’.
Модуль функции f ( z )  const, аналитической в
некоторой области G, не может иметь
максимума ни в одной точке этой области.
Следствие 1.
Модуль функции f (z ) , аналитической в
области G и непрерывной в G , достигает
наибольшего значения в граничных точках
области G, т.е.
z0  G sup | f ( z0 ) |  | f ( z0 ) | .
zG
Доказательство следует из теоремы 2’.
Геометрический смысл принципа максимума
модуля
v
y
| f ( z) |
G
x
u
Теорема 3. (Принцип минимума модуля)
Если функция f (z ) является аналитической в
области G, непрерывной в G и отлична в ней
от нуля, то минимальное по модулю значение
она может принимать только в граничных
точках этой области.
Для доказательства следует рассмотреть
функцию
1
g ( z) 
f ( z)
и применить к ней следствие 1.
Следствие 2.
Функция u ( x, y )  const , непрерывная и
гармоническая в области G, не может иметь
ни максимума, ни минимума ни в одной точке
этой области.