Замечательные кривые

Замечательные кривые
Архимедова спираль
ρ = kφ
Гиперболическая спираль
ρφ=a
Жезл

a

Логарифмическая спираль
Логарифмическая спираль была впервые описана
Декартом и позже интенсивно исследована Бернулли,
который называл её Spira mirabilis — «удивительная
спираль». Декарт искал кривую, обладающую
свойством, подобным свойству окружности, так чтобы
касательная в каждой точке образовывала с радиусвектором в каждой точке один и тот же угол. Он
показал, что это условие равносильно тому, что
полярные углы для точек кривой пропорциональны
логарифмам радиус-векторов.
r  aeb
Роза
d
  a sin 
n
Циклоида
x  rt  r sin t
y  r  r cos t
Длина арки – 8r
Площадь по аркой втрое больше
порождающего круга
Период колебаний материальной
точки, скользящей по перевёрнутой
циклоиде, не зависит от амплитуды,
Эпициклоида
Плоская кривая, образуемая фиксированной точкой окружности, катящейся
по внешней стороне другой окружности без скольжения.
 Rr 
x   R  r  cos   r cos 

 r

 Rr 
y   R  r  sin   r sin 

 r

Гипоциклоида
Гипоциклоида — плоская кривая, образуемая точкой окружности,
катящейся по внутренней стороне другой окружности без скольжения.

 Rr 
cos



 r

x   R  r   cos   r
Rr







 Rr 
sin



r


y   R  r   sin   r
Rr






Цепная линия
a x a x a
x
y   e  e   a ch
2
a
Перевёрнутая цепная линия —
идеальная форма для арок.
Однородная арка в форме
перевёрнутой цепной линии
испытывает только деформации
сжатия, но не изгиба.
Трактриса
Трактриса (линия влечения) — плоская трансцендентная кривая, для которой
длина отрезка касательной от точки касания до точки пересечения с
фиксированной прямой является постоянной величиной.
Такую линию описывает предмет, волочащийся на верёвке длины a за точкой,
движущейся по оси абсцисс. Трактриса также является кривой погони.
t


x   a  ln tg  cos t 
2


y  a sin t
Декартов лист
x  y  3axy
3
3
Фигуры Лиссажу
x  A sin  at   
y  B sin(bt )
Вид кривой сильно зависит от соотношения a/b. Когда соотношение равно 1,
фигура Лиссажу имеет вид эллипса, при определённых условиях она имеет вид
окружности (A = B, δ = π/2 радиан) и отрезка прямой (δ = 0). Ещё один пример
фигуры Лиссажу — парабола (a/b = 2, δ = π/2). При других соотношениях
фигуры Лиссажу представляют собой более сложные фигуры, которые
являются замкнутыми при условии a/b — рациональное число
Улитка Паскаля
x
2
 y  ay   l 2  x 2  y 2 
2
  l  a sin 
2
Лемниската Бернулли
Геометрическое место точек, произведение расстояний от
которых до двух заданных точек (фокусов) постоянно и равно
квадрату половины расстояния между фокусами.
x
2
y

2 2
 2c 2  x 2  y 2 
  2c 2 cos 2
Кривая погони
Задача о кривой погони поставлена Леонардо да Винчи и решена Бугером в 1732 году.
Задача про
мышей
1
1  cos
2
n
Кривая Минковского
Кривая Минковского — классический геометрический фрактал, предложенный
Минковским. Инициатором является отрезок, а генератором является ломаная из
восьми звеньев. Размерность 3/2.
Кривая Коха
1. Кривая Коха нигде не дифференцируема и не спрямляема.
2. Кривая Коха не имеет самопересечений.
3. Кривая Коха имеет промежуточную (то есть не целую) хаусдорфову
размерность, которая равна ln 4 / ln 3 = 1.26.
Кривая Пеано