По первой неделе: Понедельник 16-35 в 217 ауд. (2 корпус)

Расписание консультаций
По первой неделе:
Понедельник 16-35 в 217 ауд. (2 корпус)
По второй неделе:
четверг 18-00 в 405 ауд. (3 корпус)
1
ВоГТУ
Лекция 4
Колебания и волны
Кузина Л.А.,
к.ф.-м.н., доцент
2012 г.
2
План
1.
Колебательные процессы. Гармонические колебания. Понятие о
спектральном разложении.
2. Дифференциальное уравнение гармонических колебаний.
3. Пружинный, физический и математический маятники.
4. Энергия гармонического осциллятора.
5. Сложение колебаний.
5а. Сложение колебаний одинаковой частоты, происходящих вдоль
одной прямой.
5b. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний одинаковой
частоты.
5с. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний кратных частот.
Фигуры Лиссажу.
1. Затухающие колебания.
2. Вынужденные колебания.
3. Упругие волны. Основные понятия.
4. Дифференциальное уравнение волны.
5. Стоячие волны.
6. Скорость упругих волн.
7. Энергия волны. Групповая скорость. Вектор плотности потока
энергии (вектор Умова). Интенсивность волны.
8. Элементы акустики.
9. Эффект Доплера для звуковых волн.
3
Колебательные процессы. Гармонические колебания
Колебания
Любой процесс, повторяющийся во времени,
является колебательным
Гармонические колебания
Колеблющаяся величина изменяется по
гармоническому закону (sin, cos)
x  A cos   t   0 
А - амплитуда
    t   0  - фаза
 0 - начальная фаза
2
- круговая частота
  2 
T
4
5
Представление гармонических
колебаний:
1) по методу векторных
диаграмм :
x  A cos   t   0 

2) как комплексное число:
S  Ae
i  t 0 
по формуле Эйлера:
i t 0 
S  Ae
 Acos  t  0   i sin   t  0 
x  Re S  A cos   t  0  y  Im S  A sin   t  0 
6
7
Понятие о спектральном разложении. Ряд Фурье
Теорема Фурье:
любую периодическую функцию можно
представить в виде ряда Фурье
f t   f t  T 
T
(разложить по гармоническим составляющим)
2
0

f t   a0   an  cosn0t   bn  sin n0t 
n 1
Для чётной функции:
f t   f  t 

bn  0

f t   a0   an  cosn0t 
n 1
8
9

10

11
Дифференциальное уравнение гармонических колебаний
x  A cos   t  0 
  x    A  sin   t  0 
a  x   2 A  cos  t  0    2 x
2


x  x 0
Решение этого дифференциального
уравнения – гармоническая функция:
Если вторая производная по времени какой-либо
физической величины пропорциональна самой величине с
противоположным знаком, то данная физическая величина
изменяется со временем по гармоническому закону
Сила пропорциональна смещению
(квазиупругая, возвращающая)
F  ma  m 2 x  kx
k  m 2
12
13
Колебательные системы:
1) пружинный маятник
F  ma  mx

F  kx
x   x  0
2

k
 
m
x  A cos   t   0 
2
mx   kx

k
x  x  0
m
k

m
2
m
T
 2

k
14
15
Колебательные системы: 2) Физический маятник
Физический маятник – твёрдое тело, способное
колебаться в поле силы тяжести относительно
оси, не проходящей через центр масс
d  l  sin  – плечо силы тяжести;
l – длина физического маятника
(расстояние от точки подвеса до центра масс)
Величина момента силы тяжести:
M  mg  d  mg  l  sin 
Для малых углов sin    
M  mg  l   
в проекциях на ось вращения:
 M
По закону динамики вращательного движения  
I
и по определению углового ускорения    
M  I  I 
mg  l
 2
I
I   mg  l  
  
mg  l
  0
I
2
I
T
 2

mg16 l
17
Колебательные системы: 3) Математический маятник
Математический маятник - материальная точка
(тело, размерами которого можно пренебречь),
подвешенная на нерастяжимой невесомой нити
Математический маятник - частный случай физического
2
I  mr  ml
2
I
T
 2

mg  l
2
ml 2
l
T  2
 2
mg  l
g
Приведённая длина физического
маятника – это длина такого
математического маятника,
I
который имеет тот же период T  2 lïð .  2
g
mg  l
колебаний:
lïð . 
2
I  ml
I
I
 ñ
 ñ l l
ml
ml
ml
По теореме
Штейнера:
I  I ñ  ml 218
19
Энергия гармонического осциллятора
2
2
m

kx
Полная энергия: W  Wêèí .  Wïîò . 

2
2
x  A cos   t   0 
  x    A  sin   t  0 
k  m 2
m 2  A2  sin 2   t  0  k  A2  cos2   t  0  m 2  A2
W


2
2
2
Полная энергия сохраняется; переходит из кинетической
в потенциальную и обратно
Максимальные значения:
m 2  A 2
W
2
m 2  A 2 k  A2
Wêèí . max  Wïîò . max 

2
2
Средние значения:
W m 2  A2 k  A2
Wêèí .  Wïîò .  

2
4
420
21
Сложение колебаний одинаковой частоты, происходящих
вдоль одной прямой (по методу векторных диаграмм)
Точка одновременно
участвует в двух колебаниях
одинаковой частоты:
x1  A1 cos   t  1 
x2  A2 cos   t  2 
Результирующее
колебание имеет ту же
частоту:
x  x1  x2  A cos   t   0 
Задача – определить амплитуду
колебания
и начальную фазу
результирующего
22
23
 

A  A1  A2
Метод векторных диаграмм
Ax  A1x  A2 x
Ay  A1 y  A2 y
A1 y  A2 y
tg 0 

Ax A1x  A2 x
Ay
A  sin 1 
tg 0  1
A1  cos1 
   2  1
A2  sin  2
A2  cos 2
По теореме косинусов:
A2  A12  A22  2 A1 A2 cos   
A  A12  A22  2 A1 A2 cos 
24
25
Сложение взаимно перпендикулярных
колебаний одинаковой частоты
 x  A1 cos  t 

 y  A2 cos  t   
x

cos  t   A

1

 y  cos  t cos  sin   t sin 
 A2

y
x
 cos   1  cos2   t  sin 
A2 A1
 y

x

 cos 
 A2 A1

2
2






x
  1    sin  


 A1 


2
2
2
  x 2 
 y 
 x 
2 xy

 
cos    cos 2  1     sin 2 

A1 A2
A1  
 A2 
 A1 



2
2
2
 y 
 x 
 x 
2 xy

    cos2     sin 2  
cos  sin 2 
A1 A2
 A2 
 A1 
 A1 
x2
A12

y2
A22

2 xy
cos  sin 2 
A1 A2
26
27
Сложение взаимно перпендикулярных
колебаний одинаковой частоты
x  A1 cos   t 
y  A2 cos   t   

x2
y2
2 xy


cos  sin 2 
A12 A22 A1 A2
В общем случае это уравнение эллипса:
28
29
Сложение взаимно перпендикулярных
колебаний одинаковой частоты:
частные случаи
x2
A12

y2
A22

2 xy
cos  sin 2 
A1 A2
2


2


n
2
2
 x

1)
A2
x
y
2 xy
y


0 
cos  1  2  2 

0  y  x


A1 A2 A1 A2
A1
sin   0
 A1 A2 
2)
    2  n
cos  1
sin   0
3)  

y  x
A2
A1

   n  cos  0 åñëè A1  A2  A
2
2
2
x

y

A

2
sin   1 
30
31
Сложение взаимно перпендикулярных колебаний кратных
частот (частные случаи). Фигуры Лиссажу
 x  Ax cos x  t 

 y  Ay cos  y  t  

ny
nx
1
2


x  x ny


 y  y nx
Условие замкнутости фигуры:
 x  nx   y  n y
nx è n y - ÷èñëî òî÷åê ïåðåñå÷åíè ÿ ôèãóðû ñ îñÿìè OX è OY
1
3
2
3
Метод фигур Лиссажу применяется
для точного определения частоты
3
2
32
33
Затухающие колебания
Fóïð .   kx - квазиупругая (возвращающая)
На тело действуют силы:
По второму закону Ньютона:
Fc   r  v   rx - сопротивления среды
ma  Fóïð .  Fc
r
k
x   x   x  0
m
m
x  2  x  02  x  0
Здесь β – коэффициент затухания;
 0 – циклическая частота собственных
колебаний, то есть колебаний системы
в отсутствие сил сопротивления
a  x
mx  k  x  r  x
Дифференциальное уравнение
затухающих колебаний, где
приняты обозначения:
k
r
2   02 
m
m
34
35
Затухающие колебания
x  2  x  02  x  0
Решение этого дифференциального
уравнения затухающих колебаний
при условии малости затухания
(при β < ω0):
Если затухание велико (β > ω0),
движение системы не имеет
колебательного характера и будет
апериодическим
x  A0  e   t cos  t  0 
  02   2
36
37
Затухающие колебания:
x  A  e   t cos  t  
x  2  x  02  x  0 – дифф.ур-е
0  – решение дифф. уравнения
0
  02   2  0 – частота затухающих меньше частоты собственных
At   A e   t – амплитуда уменьшается по экспоненте
0
At 
A0
T
   T
Док-во:
At  T 
Логарифмический
декремент затухания:
At 
  ln
At  T 
λ – натуральный логарифм отношения
амплитуд двух следующих друг за другом
колебаний, то есть амплитуд колебаний в
моменты времени t и (t+T)
A0e   t
At 
e   t
  ln
 ln
 ln
 ln e  T    T
At  T 
A0e   t T 
e   t  e   T
38
39
Затухающие колебания:
величины, характеризующие затухание
At 
1) Логарифмический
  ln
 T
декремент затухания:
At  T 
2) Время релаксации: За время релаксации t    1 амплитуда

1
уменьшается в е раз:
1


3) Добротность:
A   A0 e
Q


 
  A e 1  A0  A0
0
e
2.7
Число колебаний

1
1
N



за время релаксации:
T T 
  0 0


При условии малости затухания   0  : Q  
 T  2 2
Добротность пропорциональна числу
колебаний за время релаксации:
Q   N
Добротность обратно пропорциональна
относительной убыли энергии колебаний
за время, равное одному периоду:
W t 
Q  2
W t   W t  T 
40
41
Вынужденные колебания
Чтобы при наличии сил сопротивления колебания не затухали,
колебательную систему нужно подпитывать энергией, - например, с
помощью вынуждающей периодической силы:
По второму закону Ньютона:
x 
r
k
F0

x  x
cos  t 
m
m
m
F  F0 cos   t 
ma  k  x  r  v  F0 cos   t 
x  2  x  02  x  f0 cos  t 
Решение уравнения:
x  A cos   t   0 
Дифференциальное уравнение
вынужденных колебаний, где
приняты обозначения:
F0
k
r
2
f0 
0 
2 
m
m
m
Амплитуда зависит от частоты: A( ) 
2


arctg
0
Начальная фаза:
02   2

f0

2
2 2
0  
 4 2 2
42
43
Вынужденные колебания. Резонанс
График зависимости амплитуды
вынужденных колебаний от частоты
вынуждающей силы
Amax 
f0
20
f Q
 0
A( ) 
f0


2
2 2
0  
 4 2 2
Явление резкого возрастания амплитуды
вынужденных колебаний при
приближении частоты вынуждающей
силы к частоте собственных колебаний
системы (резонансной частоте)
называется резонансом
02


d  2

2 2
 4 2 2   0
 0  
d 



2 02   2   2   4 2 2  0


 02   2  2 2  0
f
A(0)  0
02
 ðåç.  02  2 2
44
45
По этим ссылкам можно посмотреть видео
http://www.youtube.com/watch?v=093CzGsstv0 – свободные и
вынужденные колебания, резонанс
http://www.youtube.com/watch?v=BAyt7KVtG58 – вынужденные
колебания, резонанс
http://youtu.be/rdWWvjH8cPM - фигуры Лиссажу
46
Упругие волны. Основные понятия
Волна – это процесс распространения колебаний,
периодический во времени и пространстве
В продольной волне колебания
происходят параллельно
направлению распространения
волны – происходит
деформация сжатия-растяжения
(такие волны возможны в газах,
жидкостях и твёрдых телах)
В поперечной волне колебания
происходят перпендикулярно
направлению распространения
– происходит деформация
сдвига (только в твёрдых телах)
47
Упругие волны. Основные понятия
Волновой фронт – совокупность точек, до которых дошла
волна в данный момент времени
(сферический, плоский)
Луч – направление распространения волны.
В изотропной среде луч
перпендикулярен волновому фронту
Принцип Гюйгенса:
любая точка волнового фронта является
точечным источником вторичных
сферических волн
(объясняет процесс распространения волн)
48
Упругие волны. Уравнение плоской волны
• При распространении упругих волн в
среде любая частица колеблется около
своего положения равновесия.
• Переноса частиц среды не происходит.
Волной переносится энергия.
• Все частицы колеблются с одинаковой
частотой, определяемой частотой
источника
Колебания любой новой частицы,
захваченной волновым процессом,
отстают по фазе от колебаний
предыдущей частицы
Скорость перемещения фиксированной
фазы называется фазовой скоростью
49
Упругие волны. Уравнение плоской волны
Уравнение колебаний источника в
точке x=0:
S  A cos  t 
В произвольной точке x
колебания запаздывают по фазе

x
– время запаздывания (за это время волна дойдёт до точки x)
v
t  t   даёт уравнение колебаний в точке x:
 
  x 

S x, t   A cos  t     A cos    t     A cos   t  x 
v 

  v 
S x, t   A cos  t  k  x 
Волновой вектор

k
(волновое число)
Функция двух переменных: x и t
v
Замена
Длина волны:   v  T 
k

v

2
2

T v 
50
51
Волны: длина волны; волновой вектор; фазовая скорость
Длина волны – минимальное
расстояние между точками,
которые колеблются в одной
фазе
Длина волны – расстояние, на
которое распространяется волна
за время, равное периоду:
  t  k  x
  v T

  Круговая частота характеризует быстроту
t
изменения фазы с течением времени

 k Волновой вектор (волновое число) характеризует
x
быстроту изменения фазы в пространстве
Скорость перемещения фиксированной фазы (фазовая скорость):
    t  k  x  const
d  0    dt  k  dx
vô 
dx 

dt k
52
53
Волны. Дифференциальное уравнение волны
 

S x, t   A cos   t   x 
v 

2S 1 2S

2
x
v 2 t 2
 

  A cos   t   x 
2
v 

t
 2S
 


A cos   t   x 
2
2
v 

x
v
 2S
Это – дифференциальное уравнение волны,
распространяющейся вдоль оси OX
S 
1  2S
2
v t
2
2
– дифференциальное уравнение волны для более общего случая;
здесь  
2
x
2

2
y

2
2
z
2
– оператор Лапласа: S 
S x, t   A cos  t  k  x 
Возможные
решения
уравнения:
2
S x, t   A cos  t  k  x 
 2S
x
2

 2S
y
2
z 2
Плоская волна бежит в
положительном направлении оси OX
Плоская волна бежит в отрицательном
направлении оси OX

 Общий случай плоской волны


 

S r , t   A cos   t  k  r

 2S
 
A0

S r , t  
cos   t  k  r Сферическая волна
r
54
55
Стоячие волны
S1  A sin   t 
S 2  A sin   t  kx   
  2kl  
потеря пол-длины волны при
отражении
Результирующая стоячая волна:
 


S  S1  S 2  2 A cos kx   sin    t  

2
Амплитуда стоячей волны:
Узлы стоячей волны:

2


Añò .  2 A  cos kx  
2



 
Añò .  2 A  cos kx    0  kx      n
2
2 2


ñò . 

2

 x  l    n  ñò .  n 
2
kx 
2kl   
  n
2
2
56
57
Стоячие волны
Узлы стоячей волны расположены на расстоянии,
кратном длине стоячей волны, от закреплённого
конца стержня:

x  l  
2
 n  ñò .  n
ñò . 
1

l  ñò .   n  
2

Узлы

2
l  ñò .  n
Пучности
58
59
Скорость упругих волн
v| | 
E
скорость распространения упругих продольных волн

ρ – плотность, E – модуль Юнга, G – модуль сдвига
v 
G

F
v ñòðóíà 
S
v ãàç 
RT

скорость распространения упругих поперечных волн
скорость распространения волн по натянутой струне
ρ – плотность, F – сила натяжения струны, S – её сечение
скорость звука в газе
R –универсальная газовая постоянная,
T – температура,
μ – молярная масса,
γ – показатель Пуассона (показатель адиабаты, константа
для данного газа, например, для воздуха γ=1.4)
60
61
Энергия волны
Энергия упругой волны S  A cos  t  kx  складывается из кинетической
энергии колеблющихся частиц среды и потенциальной энергии упругой
деформации: W  W
êèí .  Wïîò .
Для объёмной плотности энергии w  W : w  wêèí .  wïîò .
V
Определяется модулем Юнга и
относительной деформацией:
Определяется скоростью
колеблющихся частиц:
S
v÷àñò . 
   A sin   t  kx 
t
E  2
wïîò . 
2
2
2
mv÷àñò
  v÷àñò
.
.
wêèí . 

2V
2
wêèí . 
   2 A2
2
sin   t  kx 
2
Без доказательства

wïîò . 
   2 A2
2
sin 2   t  kx 
wïîò .  wêèí .  w  2wïîò .  2wêèí .     2 A2 sin 2   t  kx 
62
63
Энергия волны. Групповая скорость
w     2 A2 sin 2   t  kx  
wmax     2 A2
Точки с максимальным значением объёмной плотности энергии перемещаются в
пространстве со скоростью v   (групповая скорость).
k
Групповая скорость – скорость переноса энергии
Групповая скорость – скорость перемещения точки а с максимальной
плотностью энергии (максимальной амплитудой)
64
65
Энергия волны. Групповая скорость
Групповая скорость – скорость переноса энергии
v ã.  vô . – для монохроматической волны
v ã.  vô . – если фазовая скорость волны зависит от частоты: v ã.  v ô . или v ã.  v ô .
Возможны оба случая
Без доказательства:
v ã.  v ô .  
dv ô .
d
Для электромагнитных волн возможно v ô .  C - скорости света в вакууме,
поскольку фазовая скорость не связана с переносом энергии (или информации).
Всегда v ã.  C - нельзя передавать энергию или информацию быстрее скорости
света в вакууме.
66
67
Вектор плотности потока энергии
(вектор Умова). Интенсивность волны

dW 
j
n
S  dt
dW
w  S  v  dt
j

 w v
S  dt
S  dt



j  w v
Вектор плотности потока энергии численно равен энергии, перенесённой волной
за единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную лучу

I  j  w  v – интенсивность волны (среднее значение плотности потока энергии)
w     2 A2 sin 2   t  kx  
w 
  A
2 2
2
I
   2 A2
2
v
68
69
Элементы акустики: характеристики звуковых волн
Диапазон частот слышимого звука
16 Ãö    20000 Ãö
I
   2 A2
2
I
LI  lg
I0
LI  10 lg
Инфразвук
  16 Ãö
Ультразвук
  20000 Ãö
 v  w  v – интенсивность волны
(Бел)
I (дБ, децибел)
I0
E (ôîí )  LI (äÁ)  10 lg
I
I0
уровень интенсивности
(объективная характеристика)
Здесь I 0  10 12 Âò – порог слышимости
ì 2
на частоте 1000 Гц
ïðè
  1000 Ãö
уровень громкости (громкость)
Громкость – субъективная характеристика, учитывающая среднюю
чувствительность человеческого уха к звукам разной частоты, выраженный в фонах
(фон), на частоте 1000 Гц совпадает с уровнем интенсивности, выраженным в
децибелах
Шкалы громкости и уровня интенсивности совпадают только при ν=1000 Гц.
Для других частот надо пользоваться кривыми равной громкости:
70
71
Элементы акустики: кривые равной громкости
Громкость = уровню интенсивности только при ν=1000 Гц.
Для других частот надо пользоваться кривыми равной
громкости:
72
Элементы акустики: характеристики звуковых волн
Избыточное звуковое давление
p  2   v  I    v  A
Уровень избыточного звукового давления
Волновое сопротивление Z    v

  r 1
I îòð .
I0
От соотношения между волновыми
сопротивлениями двух сред зависят
коэффициент отражения r
и коэффициент проникновения β
на границе раздела
Из закона сохранения энергии
p
L p (äÁ)  20 lg
p0
Z1
Z2
I ïð .
I îòð .  Z 2  Z1 2

r
 
I0
 Z 2  Z1 

I ïð .
I0

Z
4 1
Z2
 Z1 

 1
Z
 2 
2
73
74
Эффект Доплера для звуковых волн
Эффект Доплера – изменение наблюдаемой частоты волны
при относительном движении источника и/или наблюдателя.
(Рассматривается случай, когда скорости источника и наблюдателя
меньше скорости звука в данной среде: vè  v , v í  v )
А) Пусть наблюдатель движется к источнику:
Период колебаний, который
воспринимает наблюдатель, – это время
между прохождением мимо наблюдателя
двух последовательных гребней волны:
T
T0 
0
v  ví

 0
0 v
1
0 
v


v  ví
1 v  ví v  ví


 0 
v
T
0
v
0
0
75
76
Эффект Доплера для звуковых волн
Эффект Доплера – изменение наблюдаемой частоты волны
при относительном движении источника и/или наблюдателя.
А) Наблюдатель движется к источнику:
  0 
v  ví
v
   0 
Наблюдатель движется от источника:
  0 
v  ví
v
v  ví
v
77
78
Эффект Доплера для звуковых волн
Б) Источник движется к наблюдателю :
Волны «нагоняют» друг друга
за один период на расстояние
vè  T0

v
vè
v  vè
  0  vè  T0 


0 0
0


v  vè
0
v
  0 
v  vè
v

v


Источник движется от наблюдателя :
v
  0 
v  vè
v
  0 
v  vè
79
80
Эффект Доплера для звуковых волн
Объединяем все четыре возможности:
Движется источник
  0 
Движется наблюдатель
v  ví
v  ví
  0 
v
v
  0 
  0 
v  vè
v  vè
v  ví
v
  0 
v  vè
  0 
v
v
v
v  ví
  0 
v  vè
Верхние знаки относятся к случаю сближения источника
и наблюдателя; нижние – удаления
81
82