Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей

Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей.
Независимость событий
Пример:
Предположим , что мы рассматриваем группу мужчин и женщин, среди которых есть
дальтоники, N- численность группы.
Пусть событие Н – выбрана женщина, событие А – выбранное лицо дальтоник. Тогда событие
A$H – выбранная женщина дальтоник.
N AH
– вероятность того,
N H
что это человек дальтоник, при условии, что он- женщина, обозначим эту вероятность P A / H .
N H
N AH
Имеем P H =
, P AH =
. Следовательно
N
N
Тогда отношение числа женщин дальтоникок к числу всех женщин
P A/H =
Итак P A / H =
N AH
N H
N AH
N
=
N H
N
=
P A/H
P H
P AH
P H
В общем случае полагаем: пусть А и В – два произвольных события, причем вероятность Р(В) > 0
.
Определение 1:
Условной вероятностью события А, при условии, что событие В уже произошло называется
P A/B =
P AB
P B
(*)
Теорема (умножения вероятностей)
Из формулы (*) получаем
P AB = P B $P A / B Q эту формулу называют теоремой умножения вероятностей.
Легко проверить, что все свойства вероятностей сохраняются и для условной вероятности, т.е.
1
1) 0 % P A / B % 1
2) P B / B = 1
K
3) P A / B = 1K P A / B
4) P
A1 CA2 / B = P A1 / B CP A2 / B K P A1A2 / B
Пример:
У нас есть четыре карточки, на которых есть по одной букве: A, A, M, M. Ребенок собрал слово
МАМА. Определить: умеет ли он читать?
Событие A – извлечена карточка с буквой 'А', событие M – извлечена карточка с буквой 'М'.
Тогда
P MAMA = P M $ P A/M $ P M/AM $ P A /MAM =
2
2
1
4
1
$
$
$1=
=
4
3
2
4!
6
Определение 2:
События A и B называются независимыми, если P AB = P A $ P B
Тогда по формуле из определения (1) получаем P A $P B = P B $P A/B , отсюда следует,
что P A/B = P A и P B /A = P B .
2