Генерация субгармоник в квантовых джозефсоновских цепях М.В. Денисенко, В.О. Муняев, А.М.Сатанин

Генерация субгармоник в
квантовых джозефсоновских
цепях
М.В. Денисенко, В.О. Муняев, А.М.Сатанин
Нижегородский государственный университет им. Н.И.Лобачевского,
Лаборатория «Теория наноструктур» НИФТИ,Н.Новгород, Россия
Мотивация и актуальность
Применение осцилляторных систем для: • инженерии квантовых состояний
A. Wallraff, et al., Nature (London) 431, 162 (2004)
Схема нелинейного осциллятора
Элементы:
Участок цепи:
• для сверхтонких измерений
I.Siddiqi et al., Phys. Rev. Lett. 93, 207002 (2004); I. Siddiqi,
et al. Phys. Rev. B 73, 054510 (2006).
Неэквидистантный спектр!
Возможности:
• Селективное заселение
фоковских состояний;
• Измерение населенностей
кубита
• исследование нелинейных
явлений (например, деление
частоты)
Исследуемая схема
Соотношения
Джосефсона
Резистивная модель джозефсоновского перехода
I  t   I ac cos t 
Рассмотрим

n
p
I ac 2
  2   sin  
 cos  n 
Ic
2
Раскладываем синус
 
I ac 3
 x  
Ic
x  2 x   x   x   cos  n 
2
3
p 
2e I c
C
p

n
2 
RC
n
где


n
t
Пример реализации: волновод с
встроенным джозефсоновским контактом
,
.
Центральная “жила” планарного волновода “разорвана” и в неё
встроена слабая связь
Динамика перехода описывается в рамках резистивной модели:
1
d 21
1
C 2   
2e dt
2e  R 2Zl
 d1
1

I
sin


I
sin(


f
)

V0  t 

C1
1
C2
1
dt
Z
l

Вблизи минимума энергии, когда
1  
(0)
1
a

IC 2
I C1
I C1 sin 1(0)  I C 2 sin 1(0)  f   0
1
d 2
1
C 2   
2e dt
2e  R 2Zl
 d
1
 CJ2  f    3  V0  t 

Zl
 dt 2e
J2  f   J2 1  a 2  2a cos f 
1/ 2
 J2 
2eI C1
C
Гамильтониан джозефсоновского перехода
СV 2
H
 I c sin   I (t )
2
2e
2e
e2
Ec 
2C
Квантование:
  ˆ , p    pˆ
При квантовании величин,
используем коммутационное
соотношение: [ˆ , p
ˆ]  i
Плазменная частота
 p  8Ec EJ
EJ 
2e
Ic
8Ec p 2
H 2
 EJ cos  I (t )
2
2e
С учетом слабой
нелинейности
H
pˆ 2   p2ˆ 2
2


4
ˆ 4  f (t )ˆ
Главный резонанс (n = 1)

1
p
   
  2  2    3   cos
Выделяем быстрые колебания:
   q sin   p cos

 0  q cos  p sin 
Квазиэнергетическая поверхность
в отсутствии трения
 
I ac 3
 
Ic
После усреднения

3

2
2
q

p

p
q

p

q

2
8

 p    q  3 q  q2  p2    p  

2
8
2
В отсутствии трения:
  0.1
  0.01
В отсутствии трения:
q

H
2
 p2 
32
8  3  q
2

 p2  

2
q
Фазовый портрет (n = 1)
Точный резонанс:
  0 и   1
Без трения
С трением:   0.1
Устойчивый фокус
7
Динамика перехода (n = 1)
Со временем колебания выходят на:
  r0 cos   0 
Фурье спектр
  0.02
 1
  0.1
Дробный резонанс (n = 3)

3
p
x  2 x  2 x   x3   cos  3 
Линейный сдвиг: x    A cos  n 
Квазиэнергетическая поверхность
в отсутствии трения
A

2  n2
  2   2    An sin  n        A cos  n    0
3
   q sin   p cos

 0  q cos  p sin 
После усреднения

3

q

p

p  2 A2  q 2  p 2   2 Aqp   q

2
8

 p    q  3 q  2 A2  q 2  p 2   A  q 2  p 2    p

2
8


  0.15
A  0.3
В отсутствии трения:
q
H
2


 p2  
3
 A
4 A2  q 2  p 2   
q  q2  3 p2 

 
4
8

 8
Условия наблюдения дробного
резонанса
21 2
16  2
  A 
16
3 A2 
Один устойчивый фокус
21 2
16  2
  A 
16
3 A2 
Возникают три новые точки
равновесия
21 2
16  2
  A 
16
3 A2 
Один устойчивый фокус, три
седла, три устойчивых фокуса
или узла
Ac  
16 
3 7
 c  2 7
Фазовый портрет (n = 3)
Точный резонанс:   0.1 и A  0.3
Без трения
С трением:   0.01
Устойчивые точки равновесия
Динамика перехода (n = 3)
Со временем колебания выходят на:
x  A cos  3   r cos    
Фурье спектр
Дробный резонанс
  0.01
  1.1 
 1.4
Квантовая теория нелинейного резонанса
H
pˆ 2   p2ˆ 2
2


4
ˆ 
ˆ  f (t )ˆ
4
H   p aˆ  aˆ 

4
1
2 p
p
(aˆ  aˆ  ), pˆ  i
2
(aˆ   aˆ )
(aˆ  aˆ  )4  f (t )(aˆ  aˆ  )
Резонансное приближение
Совершим унитарный поворот и выделим вращение на частоте внешнего
поля 
f (t )  f 0 cos(t )
Стационарный гамильтониан в резонансном приближении:
H eff
  nˆ 

4
nˆ 2 
f0
(aˆ  aˆ  )
2
Разлагая волновую функцию по фоковскому базису |    Cn (t ) n
получим уравнение для коэффициентов
Cn
f
 ( n   n 2 )Cn  0 ( nCn 1  n  1Cn 1 )
t
2

n0 
 1,  n 
Условия захвата в нелинейный резонанс:
2
i
f0

 n0 
1/ 4
 n0
Квазиэнергетическое представление
Спектр квазиэнергий
f 0  0.025
NLevels
f0  0
En   n   n 2
nmax 

2
f 0  0.05
Главный резонанс
Управляющее поле подается на частоте близкой к плазменной частоте, т.е.
 < p - 
f0  0.1
Возбуждение из основного
состояния осциллятора
n0  66
  0.00015
  0.02
f 0  0.2
n0  66
f 0  0.3
n0  66
Динамика населенностей при главном
резонансе
Квазиэнергетическое состояние:
Эволюция суперпозиции
квазиэнергетических состояний
t 0
t  150T
t  300T
t  450T
Дробный резонанс
Аналогично классическому
случаю совершаем
линейный сдвиг
H   p aˆ  aˆ 

4
(aˆ  aˆ    (t )    (t )) 4 ,
t
 (t )  i f 0  ei cos(3 )d
0
После перехода во вращающуюся систему координат и усреднения по
быстро осциллирующим колебаниям, получаем
H eff   nˆ 
Уравнение

4
3
nˆ  g (aˆ  aˆ )
2
3
g

 ˆ  ˆ2

i |    n  n  g (aˆ 3  aˆ  3 )  | 
t
4


так же решаем в фоковском базисе:
|   Cn (t ) n
f0 p
8 2
Pn
Динамика населенностей при дробном
резонансе
n
18
Диссипативная динамика осциллятора
•
•
•
•
Механизмы релаксации в джозефсоновском осцилляторе:
Флуктуация заряда на джозефсоновских контактах
Квазичастицы на островках сверхпроводимости (конечное сопротивление)
Ядерные спины в подложке (флуктуация магнитного поля)
Радиационное затухание, связь с управляющим полем
Уравнение для матрицы плотности:
 1

 [ H ,  ]  (2a a   a  a    a  a)
t i
2
H   p aˆ  aˆ   (aˆ  aˆ )2  f (t )(aˆ  aˆ  ), f (t )  f 0 cos(t )
 p  1,   0.001
f0=0.3
f0=0.2
f0=0.1
Влияние релаксации
  0.005
  0.002
t/T
  0.01
Диссипация приводит к
быстрому захвату в
нелинейный резонанс
(выход на стационарное
значение)
  0.01,   0.0015, f  0.1
t /T
Выводы
• Рассмотрена джозефсоновская цепь, в которой
возможно деление частоты
• Показано, что в классическом режиме происходит
захват колебаний на главный и дробные резонансы
• В резонансном приближении построены
квазиэнергетические состояния для эффективных
гамильтонианов, описывающих целый и дробный
резонансы
• Выяснена роль диссипации в процессе захвата на
резонансы