Колебания

Колебания
Колебания
• Периодическая величина: функция f(t) есть
периодическая функция (величина) с периодом Т если
f(t)=f(t+T)
•Колебаниями называются процессы, при которых какая-либо
величина (физическая, географическая или любая другая)
многократно принимает через равные последовательные
промежутки времени одни и те же значения (или
приблизительно одни и те же).
Примерами простых
колебательных систем могут
служить груз на пружине или
математический маятник
Свободные и вынужденные колебания
• Если система каким-либо образом выведена из
равновесия и затем предоставлена самой себе (источник
устранен), то в ней происходят колебания, которые
называются свободными или собственными. Например,
маятник Фуко или боксерская груша, выведенная из
положения равновесия однократным ударом.
• Если же система колеблется под воздействием
периодически изменяющейся внешней силы, то такие
колебания называются вынужденными. Например, мост
под воздействием периодически повторяющейся
внешней силы (прохода строевым шагом колонны
солдат).
Частота, фаза и амплитуда
• Частота v — число колебаний в единицу времени, T —
период колебаний, то есть время, через которое значения
колеблющейся величины начинают повторяться.
1

T
Если период колебания равен 1 с то частота равна 1Гц
• Фазой колебаний называется величина
t  0 
0— начальная фаза колебаний, то есть фаза при t = 0. Фаза
характеризует отклонение величины х от нулевого значения в
данный момент времени и определяется с точность до
произвольного слагаемого кратного 2
• Амплитуда – максимальное отклонение от положения
равновесия
Гармонические колебания
Во многих случаях разнообразные периодические
процессы могут быть представлены как суперпозиция
гармонических колебаний. Гармоническими называются
колебания с постоянной амплитудой А, происходящие по
закону синуса или косинуса, то есть когда изменение
физической величины x(t) выражается формулой:
x t   Asin t 0  или x(t )  Acos(t 0 )
— круговая или циклическая частота колебаний.
2
  2 
T
Дифференциальным уравнением
гармонических колебаний
Скорость и ускорение в гармоническом колебательном движении
точки определяются соответствующими производными по времени:
v
x



  ωAcos ωt 0  ωAsin  ωt 0  
x



2 

2
2
2
a x  x  ω Asin ωt  0   ω x ω Asin ωt  0   
x   x  0
2
Это дифференциальное уравнение гармонических колебаний.
Уравнением такого типа описываются любые гармонические
колебания.
- Скорость изменяется по гармоническому закону, но ее амплитуда больше
амплитуды х в  раз и опережает х на /2
- Ускорение изменяется по гармоническому закону, но его амплитуда больше в 2
раз и опережает х на  (т.е. в противофазе с х)
Гармонический осциллятор
• Тело массы m, колеблющееся горизонтально под действием силы
упругости пружины F=-kx (k — коэффициент упругости, x —
смещение тела относительно положения равновесия, знак “минус”
означает, что упругая сила направлена противоположно
направлению смещения x) согласно 2-му закону Ньютона запишем:
ma  kx или mx  kx
Решением является
k
для
x  x  0 уравнение
гармонического осциллятора
m
где
k
 02  0 
m
k
m
имеем

x  x  0
2
0
• Частота 0 называется собственной частотой данного
гармонического осциллятора. Если вертикально, то появляется
лишь начальное смещение х0: кх0=mg которое потом сокращается.
Кинетическая и потенциальная энергии
• Если проходим через положение равновесия, то вся энергия
переходит в кинетическую (потенциальная =0) и наоборот в
крайнем положении.
mv mω0 A 2 sin 2 (ω0 t  0 ) kA 2 sin 2 (ω0 t  0 )
kA 2
T


, Tмакс 
2
2
2
2
kx 2 kA 2 cos 2 (ω0 t  0 )
kA 2
U

, U макс 
 Tмакс
2
2
2
2
kA 2
kA
E  T U 
(sin 2 (ω0 t  0 )  cos 2 (ω0 t  0 )) 
 const
2
2
2
2
• Верно так как средние значения sin2 и cos2 равны по ½ каждое
• Совершив преобразования над sin2 и cos2 можно показать,
что
T и U изменяются с частотой 20 . Т.е. энергия от T к U и
наоборот в процессе колебаний перекачивается в два раза быстрее.
Квазиупругие силы
• Силы любого происхождения,
пропорциональные величине отклонения
системы от положения равновесия и
направленные к положению равновесия
называются квазиупругими силами. Колебания
под действием квазиупругих сил будут
гармоническими.
• Т.е принципиальное отличие квазиупругих (-кх)
от постоянных (независящих от расстояния и
направления перемещения) сил в том, что
воздействие постоянной силы приводит лишь
к смещению положения равновесия ничего не
меняя в характере самого движения.
Маятник
это
твердое
тело,
совершающее под действием силы
тяжести колебания вокруг неподвижной
точки или оси.
Физический маятник
F
в
0
α
R
c
P
x
.
Физическим маятником называется твердое тело,
которое может колебаться вокруг горизонтальной
оси (возможно только при условии, что центр масс
тела не лежит на этой оси). Т.е. нужен ненулевой
момент сил. Движение такого маятника можно
описать основным уравнением динамики для
вращательного движения тела:
I  Nвн е ш
где I – момент инерции маятника относительно горизонтальной оси вращения
через точку О. Внешних сил здесь две: сила F упругого происхождения
(изгибает ось), действующая на маятник со стороны оси в точке 0 и сила
тяжести P , приложенная в центре масс. Величина и направление силы F нам
неизвестны, но это неважно, так как она проходит через ось вращения и
поэтому ее момент равен нулю (плечо равно нулю).
Физический маятник
Момент силы тяжести:
N = RP  = - Rmgsinα =–Pв
F
в
0
α
R
c
P
x
где в = Rsinα - плечо силы тяжести. Знак «минус»
означает, что при α >0, то есть при отклонении
против часовой стрелки момент силы вызывает
вращение по часовой стрелке (в направлении
противоположном первоначальному отклонению).
Т.е момент силы тяжести действует аналогично
квазиупругой силе –kx . Итак, получаем:
.
I  = –mgRsinα
При малых  (при α <<1 в радианной мере) sinα ≈ α и
 +
ω2α
=0 ,
где
2
mgR
=
I
Физический маятник
В результате имеем дифференциальное уравнение
гармонических колебаний, решением которого как нам
уже известно является функция:
α (t) = Asin(ωt+φ)
где циклическая частота
а период колебаний
I
l
mR
mgR
ω
I
I
T  2π
mgR
Приведенная длина – это длина такого
математического маятника, период колебаний
которого совпадает с периодом колебаний
данного физического маятника
Колебание однородного стержня
0
m
Найдем, для примера, частоту
колебаний однородного стержня,
качающегося на оси, проходящей через
его край.
Момент инерции стержня относительно
оси 0 равен: I = ⅓ml2.
Колебание однородного стержня
0
m
Найдем, для примера, период колебаний
однородного стержня, качающегося на оси,
проходящей через его край.
Момент инерции стержня относительно
оси 0 равен:
I = 1/12 ml2+ m(l/2)2 = ⅓ml2.
Математический маятник
m
Математическим маятником называется
идеализированная система, состоящая из 1)
невесомой 2) нерастяжимой нити, на
которой подвешена 3)масса,
сосредоточенная в одной точке, и
4) совершающая малые (sinα≈α)
колебания. Он оказывается частным
случаем физического маятника.
Момент инерции материальной точки
ω
mgR

I
mgl
g

2
l
ml
I = ml2
T
2π
l
 2π
ω
g
Период колебания маятника не зависит от массы, а зависит только от длины.
Графическое изображение колебаний
Колебание представляется с
помощью вектора амплитуды.
Проекция конца вектора на ось будет совершать гармоническое
колебание с амплитудой, равной длине вектора - А, круговой
частотой, равной угловой скорости вращения вектора ω0 и
начальной фазой, равной углу , образуемому вектором с осью в
начальный момент времени α.
х = А cos (ω0t + α)
Изображение колебаний в виде векторов на
плоскости называется векторной диаграммой
Сложение колебаний
А1 и А2- амплитуды складываемых
колебаний под углами φ1 и φ2 к оси х
А - вектор амплитуды суммарного
колебания.
х1 = А1cos(ω0t+ φ1)
х2 = А2cos(ω0t+ φ2)
Определим модуль амплитуды А результирующего колебания. В ΔОК1К угол
ОК1К= [π-(φ2-φ1)] (из равенства противоположных углов параллелограмма).
Следовательно 2 (φ2-φ1)+2α=2π
Отсюда α= [π-(φ2-φ1)]
Согласно теореме косинусов
А2=А12+А22-2А1А2cos[π-(α2-α1)]= А12+А22+2А1А2cos(α2-α1)
Начальная фаза φ0 результирующего колебания определяется из ΔОКD
tg 0 
KD KC  CD A2 sin  2  A1 sin 1


OD OE  ED A2 cos  2  A1 cos 1
Проанализируем выражение для амплитуды.
А2=А12+А22-2А1А2cos[π-(α2-α1)]= А12+А22+2А1А2cos(α2-α1)
1)Если разность фаз обоих колебаний (φ2- φ1) равна
нулю, амплитуда результирующего колебания равна
сумме А1 и А2.
2) Если разность фаз обоих колебаний (φ2- φ1) равна +π
или – π, т.е. оба колебания находятся в противофазе, то
амплитуда результирующего колебания равна | А1- А2. |.
Биения
Биения - гармоническое колебание с пульсирующей амплитудой
T
2

частоты двух складываемых колебаний мало отличаются друг от
друга, амплитуды одинаковы и начальные фазы φ0=0
х1 = Аcos(ωt)
х2 = Аcos(ω+Δω) t
 t 
x  x1  x2  2 A cos
 cos(t )
 2 
Число n биений в секунду определяется разностью частот
складываемых колебаний n=υ1·υ2
Сложение взаимно перпендикулярных колебаний.
y
b
y x
a
А. Разность фаз φ = 0. В этом случае уравнение
x y 2
принимает вид
a
b
(  ) 0
a b
r  a 2  b 2 cos t
Результирующее движение является
гармоническим колебанием вдоль прямой с
частотой ω и амплитудой
a2  b2
x
y
В. Разность фаз φ±π В этом случае
уравнение принимает вид x y 2
(  ) 0
a b
y
a
b
b
y x
a
x
b
С. При φ±π/2, уравнение переходит
a
1
x
x2 y2
 2 1
2
a
b
т.е.в уравнение эллипса, приведенного к координатным
осям, причем полуоси эллипса равны соответствующим
амплитудам колебаний.
Фигуры Лиссажу.
а
b
Если частоты взаимноперпендикулярных колебаний не
одинаковы, то траектория
результирующего движения имеет вид
довольно сложных кривых, называемых
фигурами Лиссажу.
отношение частот 1:2 и разность фаз π/2
x = a cos ωt
y = b cos (2ωt + π/2)
Затухающие колебания
• Если нельзя пренебрегать сопротивлением среды при
записи 2-го закона Ньютона для движения тела под
действием упругой силы, то его надо дополнить
некоторой функцией, отражающей свойства сил
сопротивления (сил трения).
• Например, если тело все время движется в жидкости с
малыми скоростями, то сила трения пропорциональна
скорости и второй закон Ньютона записывается так:
mx  kx  k1x
или в стандартном для дифференциальных уравнений
виде :
k
k
x 
1
m
x 
m
x0
Затухающие колебания
k
2
Обозначим:
 ω0 (как и ранее) и
m
k1
β
2m
дифференциальное уравнение затухающих колебаний:
x  2βx  ω02 x  0
Решение уравнений такого типа в математике хорошо
известно и в нашем случае выглядит так:

βt
x(t)  A e sin( t   )  A(t)sin( t   )
0
Заметим, что здесь фигурирует не собственная частота
колебаний ω0 , а частота ω , которая зависит от
коэффициента затухания β:

2
2
0 
Апериодическое движение
X
t
0
В результате учета сопротивления
среды получаются
синусоидальные колебания с
убывающей по экспоненте
амплитудой. При очень больших
коэффициентах
  02   2
затухания, то есть при β>ω0 под корнем
стоит отрицательная величина и колебаний не возникает.
Система приходит в равновесие асимптотически, то есть
  1времени

не пересекая горизонтальную ось
(называется
апериодическим). Величина
называется
временем релаксации. За время τ отклонение от
положение равновесия уменьшается в e ≈ 2.73 раз
Декремент затухания
• Быстроту затухания описывают также с помощью декремента
затухания или с помощью логарифмического декремента
затухания. Декрементом затухания Δ называют отношение двух
последовательных амплитуд:
Δ
A(t)
A(t  T)

eβT
• Логарифмическим декрементом затухания δ называют
натуральный логарифм обычного декремента затухания:
δ = lnΔ = βT
• если величина β фиксирована, то величина δ прямо
пропорциональна периоду колебаний. Например, если δ=0.01 то
амплитуда уменьшится в e раз после 100 колебаний. Быстроту
затухания колебаний определяется β= δ/T.
• Добротность системы Q. При больших добротностях δ/Q
Добротность
добротность колебательной системы –
пропорциональна числу колебаний Ne, совершаемых
системой за то время τ , за которое амплитуда колебаний
уменьшается в е раз
Q= π/λ= πNe
Полная энергия колеблющейся системы
Ek
m x
x
x
m 
2
2
2
2
2
ω= ω02-δ2
2 2
0 m
xm  A0 exp( t )
При слабом затухании
колебаний добротность
пропорциональна
Убыль энергии за 1 период
отношению энергии,
dE E E


 2ET энергия за 1 период запасенной в системе в
dt T
T
данный момент к убыли
этой энергии за один

E
2

E
период колебаний. Малое

Q=π/λ
 2ET  2
ET
Q
ET
затухание δ →большая
1
1
E
добротность → малые

(
)
относительно потери
Q 2
ET
энегии.
относительная потеря энергии за период
dE
 2E
dt
Добротность показывает во сколько раз
амплитуда в момент резонанса
превышает смещение системы из
положения равновесия под действием
вынужденной силы той же величины, что и
амплитуда вынуждающей силы.
(Это справедливо лишь при небольших
затуханиях).
Собственные колебания – свободные колебания ,
происходящие при отсутствии трения в системе и
внешних сил.
Уравнение гармонического осциллятора имеет вид в случае, когда
внешние силы и трение отсутствует:
x   x  0
2
0
Где частота колебаний
k
 
m
2
0
Частота собственных колебаний зависит только от свойств системы.
Fтр  r  v  r  x
Учтем теперь силу трения (она пропорциональна скорости):
Пусть тело колеблется под действием упругой силы и на него
действует внешняя сила :
Fвнеш (t)= F0sinΩt
По 2 закону Ньютона
d 2x
m 2   Fi
dt
Пусть присутствует только сила трения:
d 2x
dx
m 2  kx  r
dt
dt
k
 02
m
r
 2
m
Величина потерь
учитывая используемые выше уравнения, второй закон Ньютона запишем в
виде:
x  2  x  02 x  0
x  x0 e
   
2
0
2
 t
частота
cos t
T
2
 
2
0
2
период
Частота свободных колебаний зависит от свойств системы и
интенсивности потерь.
Колебания, происходящие с системе при отсутствии
внешних периодических сил (но при наличии потерь на
трение или излучение) называются свободными
колебаниями.
Вынужденные колебания
• Колебания, происходящие в системе под действием
периодически изменяющейся силы, называются вынужденными.
• Пусть тело колеблется под действием упругой силы и на него
действует внешняя сила :
Fвнеш (t)= F0sinΩt
учитывая используемые выше уравнения, второй закон Ньютона
запишем в виде:
x  2βx  ω x 
2
0
Fo
sin t
m спектр процессов
Подобные уравнения описывают широкий
вплоть до описания движения доменных стенок в магнитных
материалах, где m эффективная масса доменной стенки.
Вынужденные колебания
• Опыт показывает, что если вынуждающая сила действует
достаточно долго, то груз колеблется с частотой
вынуждающей силы Ω и с постоянной амплитудой.
Поэтому можно предположить, что раз вынуждающая
сила гармоническая, то и установившиеся колебания
также будут гармоническими:
x = Asin(Ωt + φ)
• Надо найти амплитуду А и начальную фазу φ этого
колебания. Для этого можно взять первую и вторую
производную x подставить все в уравнение движения.
Если произвести ряд громоздких преобразований, то
можно получить следующие соотношения:
Если на колеблющееся тело действует периодическая синусоидальная
сила с частотой Ω, то тело совершает колебания с той же частотой, причем
амплитуда колебаний будет зависеть от амплитуды и частоты внешней
силы, от коэффициента затухания, от упругих свойств системы и массы
колеблющегося тела. Такие колебания называются вынужденными
колебаниями.
Амплитуда вынужденных колебаний достигает максимума,
когда частота внешней силы Ω равна резонансной частоте:
 p  02  2 2
Частота вынужденных колебаний
Резонанс
Есть зависимость амплитуды от частоты и значит при
некоторой частоте возможна максимальная амплитуда. Это
будет тогда, когда знаменатель в выражении движения
достигнет минимума. Чтобы найти минимум, приравняем
нулю производную по частоте Ω знаменателя:
Это кубическое уравнение имеет, естественно, три корня:
Ω1 = 0
и
 2 , 3     2
2
0
2
Это есть точки экстремума знаменателя. Решение Ω1 = 0
соответствует максимуму знаменателя. При этом
F0
F0
амплитуда
А0 

2
mω 0 k
Резонансная частота
• Из двух оставшихся решений отрицательное
отбрасываем как не имеющее физического смысла, так
как частота отрицательной быть не может. Следовательно,
амплитуда будет максимальной при следующей частоте
вынуждающей силы:
 рез  02  2 2
• Эта частота называется резонансной, а само явление
возрастания амплитуды вынужденных колебаний при
приближении частоты вынуждающей силы к некоторой
частоте называется резонансом.
• Отметим, что резонансная частота не совпадает с
собственной частотой колебаний системы ω0, но близка к
ней и тем ближе, чем меньше трение в системе.
Резонансные кривые
A
1
1<2<3
2
F
3
0
k
1


Если же трение очень велико,
то есть когда 22>02, то
резонанс не наблюдается и с
увеличением частоты
амплитуда вынужденных
колебаний монотонно убывает
0
При Ω → ∞ все кривые асимптотически стремятся к
нулю, так как при слишком быстром изменении
направления вынуждающей силы реальная физическая
система не успевает заметно сместиться из положения
равновесия.
Резонанс в повседневной жизни
• Явление резонанса может наблюдаться в любых физических (и не
только) явлениях. Может быть как вредным, так и полезным.
Например, при конструировании самолета жизненно важно,
чтобы собственная частота вибраций всех его частей (фюзеляж,
крылья и т.п.) существенно отличалась от частот колебаний,
которые могут быть возбуждены при полете, например,
пропеллером и турбиной (которая крутится на определенной частоте).
• В радиотехнике же резонанс часто оказывается полезным: всем
хорошо известно, что прием радио и телепередач основан именно на
резонансе.
• Землетрясение ! Резонансную частоту домов делать подальше от
частоты толчков земной коры