Глава 1 Дифференциальные уравнения движения § 1. Прямолинейное движение § 2. Схема решения дифференциальных уравнений движения § 3. Примеры решения задач Дифференциальные уравнения движения n ma Fk - основной закон динамики k 1 d m Fk dt k 1 n 2 n d r m 2 Fk dt k 1 - векторная форма задания движения 2 n d r m 2 Fk dt k 1 - координатный способ задания движения n mx Fkx k 1 n my Fky k 1 n mz Fkz k 1 - в естественных координатах n m Fk k 1 m Fkn k 1 2 n n 0 Fkb k 1 § 1. Прямолинейное движение сила (или равнодействующая сил) имеет постоянное направление скорость точки в начальный момент времени направлена вдоль силы или равна нулю 2 d x m 2 Fkx dt k 1 т.к. n n dx x dt или mx Fkx k 1 то n d x m Fkx dt k 1 если сила (или равнодействующая сил) зависит от координаты x, а не от времени t или по условию задачи надо найти зависимость скорости Vx от координаты x, то тогда d x d x dx d x x , dx dt dx dt n d x m x Fkx dx k 1 и dx x dt Решение основной задачи динамики – нахождение x = f(t) Cила (равнодействующая сил) может зависеть от времени t, положения x и скорости точки vх n m x Fkx t , x, x k 1 Дважды интегрируя это уравнение, находим x f t , C1 , C2 - общее решение уравнения, x f t , x0 , 0 - частное решение уравнения § 2. Схема решения дифференциальных уравнений движения Составить дифференциальное уравнение: - выбрать систему координат и начало отсчета; - изобразить тело в произвольный момент времени и все действующие на него силы; - найти суммы проекций всех сил на оси координат Интегрирование дифференциальных уравнений Нахождение постоянных интегрирования Определение искомых величин и исследование полученных результатов § 3. Примеры Задача 1 Груз веса Р, находившийся в покое на гладкой горизонтальной поверхности, начинает двигаться под действием горизонтальной силы, проекция которой на горизонталь равна Fx = H sin(kt), где H и k – постоянные величины. Найти закон движения ma N F mg Задача 1 P = mg, Fx= H sin(kt), t=0, x=0, Vx=0 x: max mx Fx H sin kt d x m H sin kt dt m d x H sin kt dt x(t) - ? y m d N Fx 0 x mg x H sin kt dt 1 m x H cos kt C1 k - общее решение дифференциального уравнения Начальные условия: t = 0, x = 0, Vx = 0 H 0 C1 k 1 H m x H cos kt k k dx 1 H m H cos kt dt k k H C1 k - частное решение дифф. уравнения - еще одно дифф. уравнение 1 H m dx H cos kt dt k k 1 H m dx H cos kt k k dt H 1 H m x sin kt t C2 k k k - общее решение Начальные условия: t = 0, x = 0, Vx = 0 0 0 0 C2 mx H 1 H sin kt t k k k H sin kt x t mk k C2 0 - частное решение дифф. уравнения - решение задачи Вывод. На равномерное движение груза со скоростью V = H / (k · m), происходящее по горизонтали вправо, накладывается колебание с амплитудой A = H / (k2· m) и периодом – T = 2·π / k Задача 2 К твердому телу массы m =1 кг, которое может двигаться вдоль оси x, приложена сила притяжения, проекция которой на ось x направлена по горизонтали налево и равна Sx = 2 x. Тело двигалось с начальной скоростью V0 = 10 м/с вправо. Определить скорость тела, когда оно пройдет путь 5 м Задача 2 M =1 кг, Sx= 2 x, t = 0, x0 = 0, V0=10 м/c, xk= 5 м ma N S mg x: d x m 2 x dt Vk - ? y max mx S x d x d x dx d x dx d x x dt dt dx dx dt dx Sx N 0 m x d x 2 x dx x mg m x d x 2 x dx 2x x2 m 2 C1 2 2 - общее решение Начальные условия: t = 0, x = 0, Vx = 10 м/с 100 1 0 C1 2 2 x 2 50 2 C1 50 - закон изменения скорости k 100 2 x 2 100 2 52 50 7.07 м с Ответ. Скорость тела, когда оно пройдет путь 5 м, будет 7.07 м/с Задача 3 Лодку с пассажиром, масса которых m = 120 кг, толкают, сообщая начальную скорость V0 = 2 м/с. Считать силу сопротивления воды при малых скоростях изменяющейся по закону R = µV, где µ = 9.1 кг/с. Найти путь, который пройдет лодка до остановки ma N R mg Задача 3 m=120 кг, V0=2 м/c, R=µV, µ=9.1 кг/с, t=0, x0=0, S-?t-? y R x mg max mx R x d x m x dt d x m dt x d x x m dt N 0 x: ln x t ln C1 m - общее решение дифф. уравнения Начальные условия: t = 0, x = 0, Vx = 2 м/с ln 2 0 ln C1 ln x 0.08 t ln 2 C1 2 - частное решение дифф. уравнения ln x / 2 x при х 0 t ln 0.08 t t 0.08 2 d x d x dx d x dx d x x dt dt dx dx dt dx d x m x x dx - еще одно дифф. уравнение m d x dx x x C2 m - общее решение Начальные условия: t = 0, x = 0, Vx = 2 м/с 2 0 C1 x x 2 m x 0 C1 2 - закон изменения скорости 2m 240 x 26.6 м 9.1 Ответ. Лодка будет двигаться очень долго и будет стремиться преодолеть путь около 26.6 м Задача 4 Камень массы m, брошен под углом α к горизонтальной плоскости со скоростью V0. Определить траекторию движения, горизонтальную дальность полета, высоту полета и время полета камня. Сопротивлением воздуха пренебречь Задача 4 m, V0, α, t = 0, X0 = 0, Y0 = 0 y x(t) - ? y(t) - ? OC - ? H-? T-? mg V0 H α 0 Cx ma mg x: y: max mx 0 ma y my mg d x 0; dt d y dt g разделяем переменные d x 0 dt d y g dt , интегрируем d x 0 dt x C1 d y g dt y g t C2 - общие решение дифференциальных уравнений Начальные условия: t = 0, Vx = V0 cosα, Vy = V0 sinα C1 0 cos ; 0 sin 0 t C2 C2 0 sin x 0 cos y g t 0 sin - частные решения дифференциальных уравнений dx 0 cos dt dy 0 sin g t dt - еще два дифференциальных уравнения dx 0 cos dt dx 0 cos dt dy 0 sin g t dt dy sin g t dt 0 Общие решения дифференциальных уравнений x 0 cos t C3 ; x 0 cos t g t y 0 sin t C4 2 2 y 0 sin t g t 2 2 - частные решения дифференциальных уравнений g x2 Траектория движения камня: y x tg 202 cos2 Уравнение параболы с осью параллельной оси OY Брошенное под углом к горизонту тело движется в безвоздушном пространстве по параболе (Г. Галилей) Горизонтальная дальность полета: при y 0 gx 0 x tg 2 2 20 cos 2 2 x1 0; x2 20 cos tg g - расстояние ОС 02 OC sin 2 g OC sin cos , то Высота полета: если x 2 g 2 0 02 H sin 2 g Время полета: при x OC X 0 T cos 02 X 2 sin cos g 20 T sin g Угол наибольшей дальности: если ' 90 , то расстояние ОС будет одинаковым для обоих случаев При α = 45О Х будет максимальным 02 X* g 02 X * H* 2g 2 02 T* 2 g Задача 5 Парашютист в момент раскрытия парашюта имел скорость V0, направленную вертикально вниз. Найти скорость парашютиста, если проекция силы сопротивления движению на вертикаль Rх = –k2mV2, где m – масса парашютиста; k – постоянный коэффициент; V – скорость в проекции на вертикаль Задача 5 m, V0, Rх=-k2mV2, t=0, x0=0 x-? 0 R mg x ma R mg x: max mx Rх mg d x 2 2 m k m mg dt d x d x dt ; dt 2 2 2 2 g k g k g 2 a k2 a dx 1 xa x2 a 2 2a ln x a C g k2 - табличный интеграл x g k k ln k 2t C1 g x g k - общее решение Начальные условия: t = 0, x = 0 k 2 g ln 1 k 2 0 C1 k x g ln k 2t 2 g k x g k C1 0 - частное решение k x g ln 2 g k t потенцируем это уравнение k x g и получим k x g e 2 k x g k x k x e2 x g 1 e2 k 1 e g kt 2 g k t k x g e2 gkt gkt g 1 e2 gkt gkt k x g - закон изменения скорости Ответ. Скорость парашютиста изменяется согласно полученному закону