Аналогичные вычисления для диэлектриков полярными молекулами дают такой же результат. с Из формулы (1.14.10) следует, что в тех местах диэлектрика, где дивергенция положительная, образуется избыток отрицательных связанных зарядов. Эти места являются источниками поля вектора поляризации, из них линии вектора P расходятся. В тех же местах диэлектрика, где дивергенция отрицательная, образуется избыток положительных связанных зарядов, к ним линии вектора поляризации сходятся. Эта зависимость показана на рисунках. + + + - + + - + P + + - - + + - + + - P P>0 ' < 0 P<0 ' > 0 Связанные заряды, как и сторонние заряды, выступают источниками электрического поля. Поэтому для диэлектрика в формуле (1.8.8), выражающей теорему Гаусса в дифференциальной форме, необходимо учитывать все источники поля 1 ( E ) = divE = ( ') (1.14.11) ε0 где - плотность сторонних зарядов, а ' - плотность связанных зарядов, E - усредненное макроскопическое электрическое поле в диэлектрике. Найдем условия, при которых объемная плотность связанных зарядов в диэлектрике ' отлична от нуля. Для этого подставим в (1.14.10) формулу (1.14.3) для вектора поляризации P , в результате получим ' ( P ) = ( 0 E ) Раскроем действие оператора градиента на выражение в круглых скобках. В неоднородном материале диэлектрическая восприимчивость в общем случае является функцией от координаты точки, поэтому с учетом (1.14.11), находим ' 0( E ) = 0 E 0 ( E ) = = 0 ( E ) ( ') Откуда 1 ' ( 0 E ) (1 ) (1.14.12) Следовательно, объемная плотность связанных зарядов в диэлектрике отлична от нуля, когда: 1) диэлектрик неоднороден ( 0 ) 2) плотность сторонних зарядов отлична от нуля ( 0 ) Если диэлектрик изотропный и однородный, то 0. Если в нем отсутствуют сторонние заряды, то 0 . При соблюдении этих 2-х условий объемные связанные заряды в диэлектрике отсутствуют ' 0 и при помещении его в электрическое поле в нем будут возникать только поверхностные связанные заряды с плотностью '. 1.15. Уравнения Пуассона и Лапласа Получим уравнение, из решения которого можно определить электрический потенциал в диэлектрике. Для этого подставим в формулу (1.14.11) выражение (1.10.1), связывающее напряженность электрического поля с электрическим потенциалом 1 ( E ) = - ( ) = ( ' ) ε0 ( ) = divgrad = 2 2 2 x y z 2 2 2 2 где - дифференциальный оператор, называемый оператором Лапласа (лапласианом). В результате получаем уравнение Пуассона 1 = - ( ' ) ε0 (1.15.1) Из его решения находится электростатический потенциал в любой точке диэлектрика, если известно распределение сторонних и связанных зарядов. ' В тех участках поля, где электрических зарядов нет ( ' 0 ), уравнение Пуассона принимает особенно простой вид (1.15.2) = 0 Это уравнение называется уравнением Лапласа – оно является частным случаем уравнения Пуассона. 1.16. Вектор электрического смещения Нахождение напряженности электрического поля E из теоремы Гаусса (1.14.11) неудобно, так как входящая в него объемная плотность связанных зарядов ' , согласно (1.14.12) сама зависит от E . Расчет поля можно упростить, если ввести вспомогательный вектор, источником которого являются только сторонние заряды с плотностью . Для этого подставим в формулу (1.14.11) плотность связанных зарядов ' из (1.14.10) 1 ( E ) = ( P ) ε0 или ( ε0 E + P ) = (1.16.1) Отсюда следует, что искомым вектором является вектор (1.16.2) 0 D=ε E+P который называется электрическим смещением или электрической индукцией. Подставим в (1.16.2) вектор поляризации из (1.14.3) P D = ε0 E + 0 E = ε0 (1 + ) E ε = 1+ Величина (1.16.3) называется диэлектрической проницаемостью среды. Вектор электрического смещения теперь можем записать в виде (1.16.4) 0 D = ε εE Из формулы (1.16.4) следует, что вектора D и E параллельны друг другу. Однако, это справедливо лишь для изотропных диэлектриков. В анизотропных диэлектриках направления векторов D и E в общем случае не совпадают. С учетом (1.16.2) и (1.16.4) формулу (1.16.1) можно переписать в виде (1.16.5) ( D ) = ρ Проинтегрируем это уравнение по некоторому объему V ( D ) dV = ρdV V V Применим к левому интегралу теорему ОстроградскогоГаусса ( D )dV = DdS = Ф D V S где ФD - поток вектора смещения D через замкнутую поверхность S, охватывающую объем V. В результате получили ФD = Dd S = ρdV S (1.16.6) V Эта формула выражает собой теорему Гаусса для электрического смещения: поток вектора электрического смещения через замкнутую поверхность равен сумме сторонних зарядов внутри этой поверхности. Единицей измерения электрического смещения является Кл , а единицей измерения его потока [Ф D ] = Кл [ D] = м2 Из (1.16.6) следует, что заряд величиной 1 Кл создает через охватывающую его поверхность поток смещения, равный 1 Кл . Поле вектора смещения D изображают с помощью силовых линий, аналогично силовым линиям напряженности электрического поля E . Важное отличие между этими двумя векторами состоит в том, что линии вектора смещения D могут начинаться и заканчиваться только на сторонних зарядах. Через связанные заряды линии вектора смещения D идут не прерываясь. В тоже время, силовые линии напряженности электрического поля E могут начинаться или заканчиваться как на сторонних, так и на связанных зарядах. 1.17. Пример вычисления поля в диэлектриках: поле внутри плоской пластины Пусть имеются две бесконечные параллельные, разноименно заряженные плоскости с поверхностными плотностями +σ и -σ . Эти поверхностные заряды являются несвободными сторонними зарядами, нанесенными извне на две поверхности. В вакууме электрическое поле между плоскостями имело бы напряженность смещение D0 = 0 E0 E0 с величиной с величиной E0 0 D0 = 0 E0 и . Внесем между плоскостями пластину из однородного изотропного диэлектрика. Под действием поля E0 диэлектрик поляризуется и на его поверхностях появляются связанные заряды с плотностями σ' . Эти заряды E0 E0 - + создают внутри пластины + E однородное поле с ' + + напряженностью E' = 0 Поля E0 и E' направлены навстречу друг другу, поэтому суммарное поле внутри диэлектрика равно E = E0 E' 1 0 ( ') + + + - + Е' + - ' ' (1.17.1) В пространстве между диэлектриком и заряженными плоскостями поле не меняется и остается равным E 0 . Поляризация диэлектрика пропорциональна напряженности электрического поля в данной точке пространства, поэтому согласно (1.14.8) ' 0 E Подставляя это выражение в (1.17.1), получаем E= откуда 1 0 ( ') 1 0 ( 0 E ) 1 E0 E0 E= 0 (1 ) (1 ) Таким образом E= E0 (1.17.2) Следовательно, поле внутри диэлектрика ослабляется в число раз по сравнению с полем в вакууме. Это связано с поляризацией диэлектрика. Умножим (1.17.2) на , получим электрическое смещение внутри пластины D D0 Значит, электрическое смещение внутри пластины такое же как и вне пластины, то есть оно непрерывно на границе раздела вакуум/диэлектрик. Выразим плотность связанных зарядов в диэлектрике σ Для через плотность на плоскостях. σ' сторонних зарядов этого используем формулу (1.17.2) и прежние соотношения E= откуда ( - ') 0 ; E= 0 ( - ') = E0 0 Следовательно ' = 0 ( 1) (1.17.3) 1.18. Ротор вектора напряженности электрического поля Ранее было показано (1.11.2), что циркуляция вектора напряженности электрического поля по любому замкнутому контуру L равна нулю (1.18.1) Edl = 0 L Существует теорема Стокса, согласно которой интеграл по замкнутому контуру L равен интегралу по поверхности S, охватываемой этим контуром Edl = [ E ]d S L S (1.18.2) Вектор [ E ] = rotE (1.18.3) называется ротором вектора E . Поскольку равенство нулю циркуляции выполняется для любого замкнутого контура L, то из (1.18.1) и (1.18.2) следует [ E ]d S 0 S Поверхность S , опирающаяся на контур тоже может быть произвольной. Поэтому интеграл будет равен нулю, лишь если равна нулю подинтегральная функция [ E ] rotE 0 (1.18.4) Запишем последнее уравнение (1.18.4) вместе с прежним уравнением (1.16.5) ( D) = divD = ρ (1.18.5) [ E ] rotE 0 Эти два уравнения являются основными уравнениями электростатики. Им должно удовлетворять электростатическое поле в любом диэлектрике, в том числе и неоднородном по составу.