Пределы последовательностей и функций

{ предел последовательности - число e - оценка – предел функции - теоремы о пределах - признаки существования
пределов - замечательные пределы – первый и второй – бесконечно малые величины и их свойства - сравнение
бесконечно малых величин - теоремы о бесконечно малых величинах – примеры }
Пусть
A
– произвольное множество и пусть каждому
n N
поставлен
a  A . Тогда говорят, что задана
последовательность a1 , a2 , a3 ,..., которая обозначается также
символами  a ,  a  ,  a 
n
n n 1
n n N
в соответствие некоторый элемент
Пример
1 
 
n ! 
n  0 ,1,2,3......
1
1
1
1
1, 1,
,
,
, ....,
, ....
2
6 24
1 2 3     n
n !  1  2  3  4    n , n  1, 0 !  1
a  R называется пределом последовательности  an
  0 n  N : a  an   n  n
Число
для
 , если
Последовательность
 an  называется ограниченной (ограниченной
сверху, ограниченной снизу), если b  R : an  b
an
 b , an  b  n  N
Теорема
Сходящаяся последовательность ограничена. Обратное неверно.
Доказательство
Пусть последовательность
 an  сходится
и
a  lim an
n 
.
  1 n1  N : a  an  1 n  n1
a  1  an  a  1 n  n1
Тогда для
так что
Пусть
b1 :  max( a1 , a2 , ..., an1 1 )
Очевидно, что
 an   b1
c
Свойства пределов (связанные с арифметическими операциями)
Если
то
 lim an  a  R
n 
lim ( an  bn )  a  b
n 
 lim bn  b  R
n 
lim ( an bn )  ab
n 
an
a
lim

(bn  0 n  N , b  0 )
n  b
b
n
Последовательность
an
 an  называется бесконечно малой, если lim
n 
0
Сумма, разность и произведение двух бесконечно малых
последовательностей являются бесконечно малыми последовательностями
Последовательность
если lim an  
n 
 an 
называется бесконечно большой,
1
e  
n 0 n !

n !  1  2  3  4    n , n  1, 0 !  1
e иногда называют
неперовым числом
Ряд сходится
1
1
1

 ... 

1 2 1 2 3
1 2 3   n
n
1 
 1  
 1    

2 
2  
1
1
1
1 1 
 2  ...  n  2 

1
2 2
2
1 
2
1
 2  (1  n )  3
c
2
2 e 3
или
числом Эйлера
sn  1  1 
John Napier
(1550 – 1617)
Leonhard Euler
(1707 – 1783)
n
1

lim 1    e
n  
n
Доказательство
1
sn  
k 0 k !
n
Теорема
n
1

tn  1   
n

1
C


k
n
k 0
n
k
n
n
1

tn  1  
n

n!
1
1 

k
k  0 k ! ( n  k )! n
n
n  j 1


nj
k 1 j 1
n
k
n
n 1
n  j 1
n 1  j 1
1
1 



 1    1 

nj
(n  1)j
n
n

1




n
1

lim 1   
n  
n
1
e

n 0 n !

n
n  j 1
1
1


 1   
nj
j
n

c
1

k 0 k !
n
n
1
1
1
1
1

lim 1    e  1  1 
 

 ...  2.7182818284 59..
n  
n
2 6 24 120
0  e  sn 


1
1
1
1
1
1
1


 ... 


...

1 

( n  1 )!
( n  2 )!
( n  3 )!
( n  1 )! 
n 1
n  1 2
 n! n
  e  s10 
1
 10 7
11 ! 11
Число e - иррациональное
Допустим e – число рациональное, тогда e 
p
, p, q  N
q
0  q ! ( e  sq )  1 / q
Согласно предположению q!e – целое число. Тогда число q!(e-sq) тоже целое.
q ! sq  q ! ( 1  1 
1
1
 ... 
)
2!
q!
Так как q >= 1, то выходит существует
целое число между нулем и единицей !
Мы добились противоречия.
c
Определение (по Коши)
Постоянное число A называется пределом функции f(x) в точке x0 ( при x
стремящемся к x0 ) если для произвольного числа  > 0 найдется число
d() > 0 такое, что из условия | x – x0 | < d ( x не равно x0 ) вытекает
неравенство | f(x) – A | <  .
Определение (в кванторах)
def

lim f ( x )  A    0 d (  )  0: x : x  x0
x  x0
Бесконечно малая величина lim u = 0

 d  x  x 0  f ( x )  A  
Переменная величина u называется бесконечно малой,
если, каково бы не было малое положительное числа
 > 0 , в процессе изменения переменной наступит
момент, начиная с которого будет постоянно
выполняться неравенство | u | <  .
y
A
y = f(x)
2
0
2d
x0
x
@
Доказать, что предел
lim a x  1
x 0
(a  1)
Решение
x
Требуется доказать | a – 1 | <  при | x | < d()
   ax  1  
 1    ax  1  
логарифмируем последние неравенства по основанию a ( a > 1 )
 log a
log a ( 1   )  x  log a ( 1   )

1

d (  )  min loga ( 1   ), log a
1   

1
 x  log a ( 1   )
1 
 d(  )  x  d(  )
x  log a ( 1   )
Теорема 1. Алгебраическая сумма любого определенного числа бесконечно
малых является величиной бесконечно малой.
Теорема 2. Произведение бесконечно малой величины на ограниченную
величину является величиной бесконечно малой.
Доказательство
Пусть  – бмв, a u – ограниченная переменная величина.
 

M
Следствия:
u  M  u   M
    c
n

M

что и доказывает теорему.
величины бесконечно малые
Функция f(x) называется бесконечно большой в точке a (lim f ( x )   ) если
x a
M d (M)  0 : x : 0  x - a  d  f ( x )
 M
Теорема 1. (прямая)
Если переменная величина u стремится к пределу a , то разность между
нею и ее пределом есть величина бесконечно малая.
Доказательство
Пусть a = lim u. Это значит, что при всяком   0 , будет справедливо
неравенство | u - a | <  при достаточном продолжении изменения u. Но
тогда величина u – a есть величина бесконечно малая.
Теорема 2. (обратная)
Если переменная величина u равна сумме некоторой постоянной
величины A и величины бесконечно малой  , то эта постоянная есть
предел переменной.
x 1
1
 lim 1  lim
1
x 
x


x


x
x
Пример: lim
x 1
1
1 
 A 
x
x
Переменная величина может иметь только один предел.
Переменная величина, имеющая предел, является величиной
ограниченной.
Предел алгебраической суммы любого числа переменных равен
алгебраической сумме их пределов.
Предел произведения любого определенного числа переменных равен
произведению их пределов.
Если переменная величина имеет предел, отличный от нуля, то
начиная с некоторого момента она принимает значение того знака,
каков знак ее предела.
Если предел переменной величины отличен от нуля, то величина ей
обратная, является ограниченной величиной.
Предел частного двух переменных равен частному от деления их
пределов, если предел делителя отличен от нуля.
Теорема 1.
Всякая монотонно изменяющаяся и ограниченная в направлении своего
изменения величина имеет предел.
Доказательство ведется на основе теоремы Дедекинда.
Теорема 2.
Если числовые значения переменной
величины v постоянно заключены между
соответствующими числовыми
значениями двух других переменных u
и w и эти последние стремятся к одному
и тому же пределу a , то к этому же
пределу a стремится и переменная v .
y
u
v
w
A
x
0
sin x
sin x
1
при x  0 имеет предел, равный 1 : lim
x

0
x
x
Рассмотрим единичную окружность.
 sin x
0 
D
,x  0

Неопределенность  
x

0 
C

y  
COB  x 0  x y
OC  OB   r  1
Функция y 
y
1
2
AC  sin x OA  cos x
x
0
A
B
SOAC
cos x 
x
1

sin x
cos x
 1, x  0

BD  tgx
x
Сравнивая площади треугольника OAC , сектора
OBC и треугольника OBD, получаем
1
1
1 sin x
 SOBC  SOBD
sin x cos x  x 
2
2
2 cos x
lim : 1  lim
x 0
x 0
sin x
1
x
lim
x 0
sin x
1
x
@
Найти предел
tgx
lim
x 0 x
Решение
0 
 sin x
tgx
1 
lim
    lim 



x 0 x
x 0
cos x 
0 
 x
sin x
1
1
 lim
 lim
1 
1
x 0
x 0 cos x
x
cos 0
1
1 


1

x




Функция
при
имеет предел, равный e : lim 1 
x

x  
x
n
1


lim 1    e Неопределенность 1
n  
n
1
lim 1  x x
Пусть x   Величину x заключим между n и n+1
x
 
n 1  x n
1
1
1  1 
n
x
n 1
1

lim 1  

n  
n
1
1
1



n
x
n 1
1
 1 
1 
n 1

n
1 

e
lim 1 

n  
n 1
x 0

n 1
1

n
1 

 1  
x

e
По второй теореме (признак существовании пределов):
При x   доказывается то-же самое.
x



x
e
e
n
1 

 1 

n

1


1 

lim 1  
x  
x
x
e
@
Найти предел
ln( 1  x )
lim
x 0
x
Решение
lim
x 0
ln( 1  x )
0 
   
x
0 
lim ln( 1  x )
x 0
1
x

lim
x 0
1
ln( 1  x )
x
1
x

ln( lim ( 1  x ) )  ln( e )  1
x 0
Если предел отношения двух бесконечно малых есть число, отличное от нуля

lim
 q  0 то  и  называются бесконечно малыми одного порядка

малости..
Пример:
sin 2 x
2
2
2
sin 2 x
lim
1 
lim


x 0
x

0
7x
7
7
7
2x
sin 2x и 7x - бесконечно малые одного порядка малости
Если предел отношения двух бесконечно малых  и  равен нулю
lim

 0 то

Пример: lim
x 0
 называются бесконечно малой более высокого порядка
малости, чем  .
1  cos x
x

lim
x 0
x
x
sin
2  lim sin x 
2  0 1  0
x
x 0
x
2
2
2 sin 2
1-cosx - бесконечно малая более высокого порядка, чем x . .
Если отношения двух бесконечно малых  и  является величиной

lim
  бесконечно большой, то  называется бесконечно малой более

низкого порядка малости, чем  .
tgx
1
sin x 
1

lim



   1 1  
2
x 0 x
x 0  x
cos x
x 
tg x - бесконечно малая более низкого порядка, чем x 2 .
Пример: lim
Если предел отношения двух бесконечно малых  и  не существует (ни
конечный, ни бесконечный),  и  называются несравнимыми бесконечно
малыми.
Пример:  = sin x .sin (1/x) и  = x - несравнимые бесконечно малые.
y
x
lim
x 0
sin x sin
x
1
x  lim sin x lim sin 1  1  ?
x 0
x x 0
x

Если предел отношения двух бесконечно малых  и  равно 1, lim
1

то  и  называется равносильными (эквивалентными) бесконечно
малыми . Символическое обозначение:  ~ 
Две бесконечно малые  и , равносильные порознь третей бесконечно малой g ,
равносильны между собой.  ~ g V  ~ g   ~  .
Разность двух равносильных бесконечно малых  –  является бмв более высокого
порядка малости, чем каждая из них. Lim (    ) /  = 0 , Lim (    ) /  = 0
Если разность двух бесконечно малых  –  есть бмв высшего порядка по
сравнению с одной из них, то они равносильны. Lim (    ) /  = 0   ~  .
Предел отношения двух бесконечно малых сохраняет свое значение при замене
этих бесконечно малых им равносильными.
Сумма конечного числа бесконечно малых различных порядков равносильна
слагаемому низшего порядка малости (если оно единственно).
@
Найти предел lim
x 0
10 x  3 sin 2 x  3 tg 5 x
2tgx  4 x 3  sin 4 x
Решение
3 sin 2 x
3x
lim
 lim
0
x 0
x

0
10 x
10
lim
x 0
3
tg 5 x
10 x
4x3
2 x 2 cos x
lim
 lim
0
x 0 2 tgx
x 0
1
lim
x 0
10 x  3 sin 2 x  3 tg 5 x
2tgx  4 x 3  sin 4 x
x2
 lim
0
x 0 10
3
sin 4 x
x3
lim
 lim
0
x 0 2tgx
x 0 2
 lim
x 0
10 x
10 x
 lim
5
x 0 2 x
2tgx