ТЕМА XXV. ЗАТУХАЮЩИЕ И ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ

ТЕМА XXX. ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ
1. ИНТЕНСИВНОСТЬ ПРИ
НАЛОЖЕНИИ ВОЛН (I)
Пусть две волны одинаковой частоты
накладываясь друг на друга, создают
в некоторой точке пространства
колебания одинакового направления:
E1  A1 cos(t  1 ); E2  A2 cos(t  2 ).
Амплитуда результирующего колебания в данной точке определяется с
помощью векторной диаграммы сложения колебаний одного направления:
A2  A12  A22  2 A1 A2 cos(   )  A12  A22  2 A1 A2 cos  ;
  2  1.
Если разность фаз  возбуждаемых волнами колебаний не меняется
с течением времени, то такие волны называются когерентными.
В случае некогерентных волн  непрерывно изменяется, принимая
с равной вероятностью любые значения. При этом среднее по времени
значение cos  равно нулю. Поэтому
2
2
2
A
 A1  A2 
I  I1  I 2 .
Этот результат означает, что интенсивность, наблюдаемая при наложении
некогерентных волн, равна сумме интенсивностей каждой волны.
1. ИНТЕНСИВНОСТЬ ПРИ
НАЛОЖЕНИИ ВОЛН (II)
В случае когерентных волн cos  имеет постоянное во времени,
но свое для каждой точки пространства, значение. Таким образом
A2  A12  A22  2 A1 A2 cos  
I  I1  I 2  2 I1I 2 cos  .
Если для данной точки
cos   0  I  I1  I 2 ,
а если в данной точке
cos   0  I  I1  I 2 .
При наложении когерентных источников происходит перераспределение
светового потока в пространстве: в одних местах возникают максимумы
интенсивности света, а в других – минимумы. Это – интерференция.
Особенно отчетливо проявляется интерференция в том случае, когда
интенсивность обеих интерферирующих волн одинакова ( I1  I 2  I 0 ).
Тогда в максимумах I max  4 I 0 , а в минимумах I min  0. Для некогерентных
волн в этом случае повсюду одинаковая интенсивность I  2 I 0 .
2. ПРОБЛЕМА КОГЕРЕНТНОСТИ
Естественные источники света
сами по себе некогерентные.
Некогерентность естественных
источников света обусловлена тем,
что излучение светящегося тела
слагается из волновых цугов,
испускаемых многими атомами.
Каждый атом излучает независимо
друг от друга в течение ≈10 нс .
При этом фаза результирующей
волны меняется случайным образом.
Когерентные световые волны можно
получить, разделив исходную волну
на две части с помощью её
отражений или преломлений.
Если заставить эти две волны пройти
до экрана разные оптические пути,
а потом наложить их одна на другую,
может наблюдаться интерференция.
3. ОПТИЧЕСКАЯ
РАЗНОСТЬ ХОДА
Пусть есть два когерентных источника света.
До точки A первая волна проходит в среде
с показателем преломления n1 путь d1 ,
а вторая волна проходит в среде с показателем преломления
n2
путь
d2 .
Для простоты допустим, что у обоих источников нулевые начальные фазы
колебаний. Тогда обе волны возбудят в точке A колебания:
E1  A1 cos(t  k1d1 ), k1   V1 ;
E2  A2 cos(t  k2 d 2 ), k2   V2 .
Разность фаз колебаний, возбуждаемых волнами в точке A, будет равна
  k2 d 2  k1d1 

V2
d2 

V1
d1 
Выразим циклическую частоту
  2 ,

0  c 
n1  
 n2
    d 2  d1   (n2 d 2  n1d1 ).
c  c
 c
0 в вакууме:
  2 c 0 .
через длину волны
  c 0 
В результате выражение для разности фаз примет вид
 – это оптическая
2
2

(n2 d 2  n1d1 ) 
,   n2 d 2  n1d1. разность хода (разность
0
0
оптических путей.
4. ИНТЕРФЕРЕНЦИОННЫЕ
МАКСИМУМЫ И МИНИМУМЫ
Если оптическая разность хода
равна целому числу длин волн в вакууме
  m0 (m  0,1,2,...)   
2
0
  2 m,
то разность фаз оказывается кратной 2
и колебания, возбуждаемые в этой точке
обеими волнами, будут происходить
с одинаковой фазой – будет наблюдаться
интерференционный максимум.
Если оптическая разность хода равна
полуцелому числу длин волн в вакууме
1
2
   (m  )0   
  (2m  1) ,
2
0
то колебания в точке наблюдения будут
происходить в противофазе – то есть
наблюдается интерференционный
минимум интенсивности света.
5. ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ ОТ ДВУХ
СВЕТЯЩИХСЯ НИТЕЙ (I)
Рассмотрим две цилиндрические
когерентные световые волны от
источников, имеющих вид тонких
параллельных светящихся нитей
либо узких щелей.
Область, в которой эти волны
перекрываются, называется
полем интерференции.
Внесем в поле интерференции экран, расположив его параллельно
плоскости, проходящей через оба источника света,
на расстоянии L от нее.
На экране будет наблюдаться
интерференционная картина
в виде чередующихся темных
и светлых полос.
Вычислим координаты точек,
для которых интенсивность света
на экране максимальна или минимальна.
5. ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ ОТ ДВУХ
СВЕТЯЩИХСЯ НИТЕЙ (II)
Начало отсчета координаты y
выберем в точке, относительно
которой источники света
расположены симметрично.
Будем считать, что источники света
совершают колебания в одной фазе.
Из рисунка видно, что
r  L   y  d 2 , r  L   y  d 2
2
1
2
2
2
2
2
2
 r22  r12   y  d 2    y  d 2  .
2
2
Преобразуем левую часть полученного уравнения: r2  r1  (r2  r1 )(r2  r1 ).
2
2
Для получения четкой интерференционной картины расстояние d между
источниками должно быть значительно меньше расстояния L до экрана.
Расстояние y , в пределах которого образуется интерференционные
полосы, также бывает значительно меньше L.
2
2
При этих условиях можно считать, что r2  r1  2 L  r2  r1  2 L(r2  r1 ) 
2 L(r2  r1 )   y  d 2   ( y  d 2) 
2
2
2 L(r2  r1 )  2 yd .
5. ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ ОТ ДВУХ
СВЕТЯЩИХСЯ НИТЕЙ (III)
Нами получено уравнение, связывающее
между собой координату y точки на
экране, расстояния 1 и 2 от нее до
источников света, расстояние d
между источниками и расстояние L
от источников до экрана
r
r
2 L(r2  r1 )  2 yd .
Умножая обе части на коэффициент
преломления среды, введем в
уравнение оптическую разность хода
Ln(r2  r1 )  nyd 
L  nyd 
n
yd
.
L
Максимумы интенсивности будут наблюдаться в точках, для которых
оптическая разность хода равна четному числу полуволн в вакууме,
а минимумы – если нечетному числу полуволн. То есть,
n
ymax d

 2m 0 
L
2
ymax   m
L 0
L
 m ;
d n
d
ymin
1 L
 (m  ) .
2 d
5. ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ ОТ ДВУХ
СВЕТЯЩИХСЯ НИТЕЙ (IV)
Расстояние между соседними максимумами называется расстоянием
между полосами, а между минимумами – шириной интерференционной
полосы. Из формул для координат максимумов и минимумов
ymax
1 L
L
  m  ; ymin   (m  ) 
2 d
d
следует, что расстояние
между полосами и ширина
полосы равны между собой
L
y  b  .
d
Расстояние между полосами растет с уменьшением расстояния d между
источниками. При d L расстояние между полосами b  , то есть
порядка микрометра. В этом случае отдельные полосы неразличимы.
Для отчетливой интерференционной картины необходимо, чтобы d
L.
Если интенсивность интерферирующих волн одинакова ( I1  I 2  I 0 ), то
I  I1  I 2  2 I1I 2 cos   2 I 0 (1  cos  )  4 I 0 cos 2 ( 2), (

y ).
6. ВРЕМЕННАЯ
КОГЕРЕНТНОСТЬ
Когерентностью называется согласованное протекание нескольких
колебательных или волновых процессов.
Различают временную и пространственную когерентность.
Временная когерентность обусловлена тем, что описание интерференции
с помощью модели монохроматической волны
E  A cos(t  kr  0 ), A(r , t )  A(r ),   const , k (r , t )  k (r ), 0  const ,
является абстрагированием от действительной ситуации.
Реальная световая волна образуется наложением колебаний частот или
длин волн, заключенных в некотором конечном диапазоне.
Амплитуда волны и начальная фаза претерпевают со временем случайные
изменения.
Колебания, возбуждаемые в некоторой точке пространства двумя
накладывающимися друг на друга световыми волнами, имеют вид
E  A1 (t )cos[1 (t )  t  1 (t )]  A2 (t )cos[2 (t )  t  2 (t )],
причем хаотическое изменение всех функций с течением времени
происходят совершенно независимо.
7. ВРЕМЯ КОГЕРЕНТНОСТИ.
ДЛИНА КОГЕРЕНТНОСТИ
Фаза результирующей волны, образованной
наложением огромного числа отдельных цугов,
порождаемых отдельными атомами изменяется
случайным образом небольшими шагами, т.е.
совершает случайные блуждания, постепенно
удаляясь от первоначального значения.
,
за которое случайное изменение
Время
фазы волны примерно равно
называется
временем когерентности. За это время колебание
как бы забывает свою первоначальную фазу
и становится некогерентным по отношению к самому себе.
Квазимонохроматический свет, содержащий
длины волн в интервале
12
  1 нм имеет время когерентности  10 c.
,
,
Расстояние lк  с , на которое перемещается волна за время
называется длиной когерентности ( или длиной цуга когерентности).
Длина когерентности есть – это то расстояние, на котором
изменение фазы волны достигает значения примерно равного
.
8. ПРЕДЕЛЬНЫЙ ПОРЯДОК
ИНТЕРФЕРЕНЦИИ
Время когерентности связано с длительностью цуга когерентности,
поэтому время когерентности будет определяться выражением

2

  2  
;

2
2 


1

.
То есть, чем шире интервал частот, представленных в данной световой
волне, тем меньше время когерентности этой волны.
Частота волны связана с длиной волны в вакууме соотношением   c .
Продифференцировав это соотношение, установим связь между шириной
частот и шириной длин волн (знак минус опускаем за ненадобностью)

c 

2

2


;
 c 
1
lк  c 
2 2
lк  c

.
c 

Если оптическая разность хода для максимума m-го порядка достигает
значения, близкого к длине когерентности, то полосы интерференции
этого m-го порядка становятся неразличимыми. То есть, предельный
порядок интерференции будет
mmax  .
mmax  lк  2  
9. ПРОСТРАНСТВЕННАЯ
КОГЕРЕНТНОСТЬ
Согласно формуле k   V  n c
соответствует
разбросу частот
разброс значений волнового вектора

k.
То есть временная когерентность связана
с разбросом значений модуля волнового
вектора k  kek .
Пространственная когерентность связана
с разбросом ek направлений ek .
Возникновение в некоторой точке пространства световых колебаний,
возбуждаемых волнами с разными ek , возможно в том случае, если эти
волны испущены разными участками протяженного (неточечного)
источника света.
Источник из данной точки виден под углом  . Этот угол характеризует
интервал, в котором заключены орты ek . Будем считать этот угол малым,
тогда его величина связана с характерным размером источника d
и расстоянием l от источника до точки
наблюдения простым соотношением
tg  sin     d l.
10. РАДИУС КОГЕРЕНТНОСТИ
Если ширина источника такая, что d    ,
то интерференционная картина отсутствует.
Это означает, что волны, проходящие от
краёв источника не когерентны.
На основании этого вводят понятие радиуса
когерентности    . При смещении вдоль
волнового фронта на расстояние радиуса
когерентности случайное изменение фазы
достигает значения порядка
Колебания в двух точках волнового фронта, отстоящих друг от друга на
расстояние, меньшее радиуса когерентности  , будут когерентными.
.
Угловой размер Солнца составляет около 0,01 рад, длина световых волн
равна примерно 0,5 мкм. Следовательно, радиус когерентности для
солнечного света имеет значение порядка   0,5 мкм 0,01  50 мкм  0,05 мм.
Пространственная когерентность световой волны вблизи поверхности
излучающего тела ограничена значением   ( 1 рад). По мере
удаления от источника радиус пространственной когерентности растет.
11. БИЗЕРКАЛА ФРЕНЕЛЯ (I)
P
Два плоских соприкасающихся зеркала
располагаются так, что их отражающие
поверхности образуют угол, близкий к
очень мал.
соответственно угол

o
Параллельно линии пересечения зеркал
на расстоянии
0 от нее помещен
нитевидный источник света.
r
Q
,
Зеркала отбрасывают на экран две
цилиндрические когерентные волны,
распространяющиеся так, как если бы они исходили из мнимых
S2 .
источников S
и
1
Луч OQ является отражением луча SO в зеркале 1,
луч OP – отражением луча SO в зеркале 2.
Очевидно, что POQ  2 , OS  OS1  OS2  r0 .
Расстояние между источниками S1 и S2 равно
Расстояние от плоскости источников до точки
o
d  2r0 sin   2r0.
равно r  r0 cos   r0 .
11. БИЗЕРКАЛА ФРЕНЕЛЯ (II)
P
Картина, создаваемая бизеркалами,
Q
эквивалентна интерференции от двух
нитевидных источников, тогда ширину
полосы найдем по формуле b  L d .
Учитывая, что L  r  s, d  2r0  2r ,
получим ширину интерференционной полосы:
b
rs
.
2r
Область перекрытия волн PQ имеет протяженность PQ  2stg  2s.
Разделив эту величину на ширину полосы, найдем полное число полос
интерференции, которые можно наблюдать
PQ
4sr 2
2
N



.
при фиксированных параметрах системы:
b
 (r  s )

12. БИПРИЗМА ФРЕНЕЛЯ (I)
Изготовленные из одного куска стекла две призмы
с малым преломляющим углом 
имеют одну общую грань.
Параллельно этой грани на расстоянии
от нее
расположен нитевидный источник света S .
Для малых углов падения лучей на призму, все
лучи отклоняются призмой на угол     (n  1)
n – показатель преломления призмы.
В результате преломления лучей на
половинках бипризмы образуются две
когерентные цилиндрические волны,
исходящие из мнимых источников S1 и S 2 ,
лежащих в одной плоскости с S .
Расстояние между источниками равно
a
  .
d  2a sin   2a  2a(n  1) .
Расстояние от источников до экрана
от призмы
L  l  a  s, s –дорасстояние
экрана.
12. БИПРИЗМА ФРЕНЕЛЯ (II)
P
Q
Определим ширину интерференционной
полосы по формуле
b  l d ; d  2a sin   2a  2a(n  1) 
l
as
b

.
d 2a (n  1)
Область перекрытия волн PQ имеет
протяженность
PQ  2stg  2s  2s(n  1) .
Максимальное число наблюдаемых полос составляет
PQ
2a (n  1)
N
 2 s (n  1)

b
( a  s )
4as(n  1) 2  2
N
.
( a  s )
Для того, чтобы все эти полосы были действительно видны, необходимо
учесть ограничения, накладываемые временной когерентностью, то есть
N 2  mmax   .
13. ОПЫТ
ЮНГА
Томас Юнг в 1802 г. впервые получил
интерференционную картину,
увеличив пространственную когерентность
света, идущего от Солнца.
Такое увеличение Юнг осуществил,
пропустив свет через тонкую щель в
непрозрачном экране.
Затем этим светом освещались две тонкие
щели во втором непрозрачном экране.
На третьем непрозрачном экране
наблюдалась интерференционная
картина цилиндрических волн.
  d sin  ,
L    dz L;
dzmin

  (2m  1) .
L
2
Оптическая разность хода
sin   tg  z
dzmax

 2m ;
L
2
14. ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ В
ТОНКИХ ПЛЕНКАХ (I)
1
2
При падении световой волны на
тонкую прозрачную пластинку
(пленку) происходит отражение
волны от обеих поверхностей.
В результате возникают две
волны, которые в случае их
когерентности интерферируют.
Разность хода, приобретаемая лучами 1 и 2 до того, как они сойдутся в
одной точке P, равна   ns2  s1 , где s1 – длина отрезка AD,
а s2 – суммарная длина отрезков АB и ВС, n – показатель преломления
пленки. Показатель преломления окружающей пленку среды полагаем
равным единице. Из рисунка видно, что
S1  2htg  sin  , S2  2h cos     2nh cos   2htg  sin  .
14. ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ В
ТОНКИХ ПЛЕНКАХ (II)
  2nh cos   2htg  sin  
 n

  2h 
 tg  sin   
 cos 

1
2
 n  sin  sin  
  2h 


cos 

 n sin   sin  ;
2
 n  n sin  sin  
 n 2  sin 2  
  2h 
   2h 
.


n cos 


 n cos  
14. ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ В
ТОНКИХ ПЛЕНКАХ (III)
 n  sin  
  2h 
;

 n cos  
2
1
2
2
n cos   n 1  sin 2  
n cos   n2  n2 sin 2  
n cos   n 2  sin 2  
  2h n2  sin 2  .
14. ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ В
ТОНКИХ ПЛЕНКАХ (IV)
  2h n2  sin 2  .
При вычислении разности фаз между
колебаниями в световых лучах 1 и 2
необходимо, кроме оптической разности
хода  учесть возможное изменение
фазы волны при отражении.
1
2
В точке А отражение луча 1 происходит
от оптически более плотной среды.
Поэтому фаза отраженной волны скачком
изменяется на
.
В точке B отражение луча 2 происходит от оптически менее плотной
среды. Поэтому скачка фазы не происходит. В итоге между лучами 1 и 2
возникает дополнительная разность фаз, равная
Её можно учесть,
добавив к  (или вычитая из нее) половину длины волны в вакууме:
.
  2h n 2  sin 2   0 2.
14. ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ В
ТОНКИХ ПЛЕНКАХ (V)
ВРЕМЕННАЯ КОГЕРЕНТНОСТЬ
Для того, чтобы имела место временная
когерентность, разность хода  не
должна превышать длину когерентности:
2
2


2h n 2  sin 2    0  h  0 .
2
0
2 0
0
Пусть:
0  500нм,
тогда,
5002
h
нм 
22
h  60 мкм.
0  2нм,
1
2
14. ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ В
ТОНКИХ ПЛЕНКАХ (VI)
ПРОСТРАНСТВЕННАЯ КОГЕРЕНТНОСТЬ
Параллельные лучи (1 и 2) плоской волны
будут когерентными, если расстояние АД
между ними не превышает радиуса
когерентности
.
Выразим АД через толщину пластины и
углы падения и преломления:
sin r
sin i
b sin 2i

 AD 
;
AD  2b  tgr  cos i; tgr 
cos r n cos r
n cos r
n cos r  n 1  sin 2 r  n2  n2 sin 2 r  n2  sin 2 i 

n  sin i
 2
 b
    .    50 мкм.
2

sin 2i
n  sin i
b sin 2i
2
2
15. ПОЛОСЫ
РАВНОГО НАКЛОНА
Пусть тонкая пластинка освещается
рассеянным монохроматическим светом.
Параллельный пластинке экран поместим
в фокальной плоскости линзы.
Условие интерференционных
максимумов на экране имеет вид:
2b n 2  sin 2 i  0 2  m0 .
Лучи, падающие на
соберутся линзой на одной
пластинку под углом
1
окружности и создадут освещенность, определяемую
оптической разностью хода. Лучи, падающие под
углом 2 соберутся на окружности другого радиуса
и создадут другую освещенность при другой
В результате на экране возникает система светлых и
темных круговых полос с центром в точке О.
Картина получила название полос равного наклона.
i
i,
.
16. ПЛАСТИНКА
ПЕРЕМЕННОЙ ТОЛЩИНЫ (I)
Возьмем пластинку в виде клина с
углом при вершине
Пусть на неё
падает параллельный пучок лучей.
После отражения от разных
поверхностей клина лучи
перестанут будут параллельными.
.
Лучи 1’ и 1” пересекутся после
отражения в точках Q’ и Q”.
Эти точки лежат в плоскости,
проходящей через точку О.
Отразившийся от нижней поверхности луч 1’ и отразившийся от верхней
поверхности луч 2’ пересекутся в точке R’, расположенной ближе к клину
чем Q’. Аналогично лучи 1’ и 3’ пересекутся в точке P’, отстоящей от
поверхности клина дальше, чем Q’.
Временная когерентность будет соблюдаться для тех лучей, для которых
выполняется условие b  02 (2 0 ). Будем считать это справедливым.
Если расположить экран так, чтобы он проходил через точки Q’ и Q”, то
картина интерференции возникнет независимо от радиуса когерентности.
16. ПЛАСТИНКА
ПЕРЕМЕННОЙ ТОЛЩИНЫ (II)

При малом угле клина
разность хода лучей можно
вычислять как для пластины:
  2d n 2  sin 2   0 2.
Поскольку разность хода для лучей,
отразившихся от различных участков
клина неодинакова – на экране
появится система светлых и темных
полос. Каждая полоса получается
в результате отражения от участков
с одинаковой толщиной. Поэтому их
называют полосами равной толщины.
17. КОЛЬЦА НЬЮТОНА (I)
Классическим примером полос равной
толщины являются кольца Ньютона.
Они наблюдаются при отражении света
от соприкасающихся друг с другом
плоскопараллельной толстой стеклянной
пластинки и плоско-выпуклой линзы с
большим радиусом кривизны.
Роль тонкой пленки, от поверхности
которой отражаются интерферирующие
волны, играет воздушный зазор между
пластинкой.
При нормальном падении света полосы
равной толщины имеют вид
концентрических окружностей, а при
наклонном падении – эллипсов.
17. КОЛЬЦА НЬЮТОНА (II)
Оптическую разность хода в воздушном зазоре
можно вычислить как для тонкой пластинки:
  2b n 2  sin 2   0 2.
 1. При нормальном
 0
  2b  0 2.
Для воздуха n
падении света
Из прямоугольного треугольника OBC
следует, что R 2  ( R  b) 2  r 2 
R2  R2  2bR  b2  r 2 
2bR  b  r .
2
2
Для временной и пространственной когерентности требуется, чтобы
b
r
2bR  r 2 
r2
b

2R
r 2 0
  .
R 2
17. КОЛЬЦА НЬЮТОНА (III)
Приравняем оптическую разность хода условию интерференционных
максимумов. В результате получим уравнение
r 2 0
0
  k 0  2k 
R 2
2
r2
0
  2k  1 
R
2
rmax  (2k  1) R 0 2
(k  1,2,3,...).
Аналогично для минимумов интерференции:
r 2 0
0
r2
  (2k  1) 
 (k  1)0 
R 2
2
R
rmin  (k  1) R0 .
В центре картины минимум из за скачка фазы
волны на
при отражении от пластинки.

18. ПРОСВЕТЛЕНИЕ ОПТИКИ
В основе просветления оптики
лежит интерференция при
отражении от тонких пленок.
n1  n2
При прохождение света через
преломляющую поверхность
отражается примерно 4% от
падающего светового потока.
Для устранения отражения света на каждую
свободную поверхность линзы наносится
тонкая пленка вещества с иным показателем
преломления, чем у линзы.
Толщина пленки подбирается так, чтобы волны,
отраженные от обеих её поверхностей, гасили
друг друга:
2 n  sin   (2k  1)
2
2
0
2
.