 0 s 

7. Механические колебания
7.1 Гармонический осциллятор
Гармоническим осциллятором называется система,
совершающая
колебания,
которые
описываются
уравнением
2
(7.1.1)
s  0 s  0
где s(t)
- некоторая физическая величина
(отклонение маятника от положения равновесия, величина
заряда конденсатора и т.д.),
0 - частота колебаний.
В механике примерами гармонического осциллятора
являются пружинный, физический и математический
маятник. Рассмотрим их.

7.2 Пружинный маятник
Маятник – это твердое тело, совершающее колебания
под действием некоторой силы.
Ðàâí î âåñè å
Пусть груз массой m подвешен
на упругой пружине и совершает
m
колебания под действием
упругой силы (закон Гука)
x
F = - kx
(7.2.1)
х – отклонение груза
от положения равновесия,
k – жесткость пружины.
m
F = -kx
Ðàñòÿæåí è å
Действие силы тяжести не учитывается.
Уравнение Ньютона, описывающее движение тела
mx  kx
или
k
x x0
m
Сравнивая с (7.1.1) , находим
k
0 
m
2
m
T
 2
0
k
(7.2.2)
Его решением являются гармонические волны
x(t )  A cos(0t  0 )
(7.2.3)
А – амплитуда колебаний,
φ0 - начальная фаза.
Возвращающую упругую силу можно переписать в виде
F  m x
2
0
Сила пропорциональна отклонению о точки равновесия.
Найдем кинетическую и потенциальную энергии
2
2 2
маятника
m
mA 0
2
Tк 

sin (0t   0 ) 
2
2
2 2
mA 0

[1  cos(20t  2 0 )]
4
dU
F 
dx
 dU   Fdx
kx 2 m02 x 2
U   dU    Fdx 


2
2
0
x
2 2
mA202
mA
0
2

cos (0t  0 ) 
[1  cos(20t  20 )]
2
4
Таким образом, потенциальная и
энергии изменяются с удвоенной частотой
большей частоты колебаний маятника.
кинетическая
20 - в 2 раза
Полная энергия пружинного маятника
mA 
E  Tк  U 
2
2
2
0
не зависит от времени – закон сохранения энергии
замкнутой системы.
Найдем
среднюю
кинетическую
и
среднюю
потенциальную энергии.
Для этого надо взять интеграл по периоду их
изменений, то есть по T/2
1
 Tк  
T /2
T /2

0
mA 
2
sin (0t   0 )dt 
2
2
mA  1

2 T /2
2
2
0
2
0
T /2
 sin ( t   )dt 
2
0
0
mA  1 mA 


2 2
4
2
2
0
2
2
0
0
Аналогично
энергию
1
U  
T /2
T /2

0
находим
1
dU 
T /2
mA  1

2 T /2
2
2
0
среднюю
T /2

0
2
0
mA 
2
cos (0t  0 )dt 
2
2
2
0
T /2
 cos ( t   )dt 
2
0
0
mA  1 mA 


2 2
4
2
потенциальную
2
2
0
0
Таким образом
+A
<Tк> = <U> = E/2
-A
<Tк> + <U> = E
Tк
T/2
Изменения от времени
смещения груза и его энергий.
T/4
T
7.3 Физический маятник
Физический
маятник
–
это
твердое
тело,
совершающее колебания под действием силы тяжести
вокруг неподвижной оси, проходящей через точку, не
совпадающую с центром масс тела.
При отклонении маятника
от положения равновесия
L
возникает вращающий момент,
стремящийся вернуть маятник
α r
в положение равновесия.
О - точка подвеса, С - центр масс.
Разложим силу тяжести
на составляющие
F tL
mg  Ft  Fp
Fp
Ft
- возвращающая сила, которая приводит к
колебаниям.
Направим ось вращения z перпендикулярно листу,
так чтобы она выходила из листа. Уравнение
вращательного движения тела вокруг этой оси
( M ) z  J ( ) z
M  [r  Ft ]
r
r  l e
- радиус вектор центра масс,
относительно точки подвеса
О
J - момент инерции тела
,
e
- единичный вектор,
Согласно правилу правого винта вектор момента сил
направлен в лист, против оси z, кроме того, угол
между радиус вектором центра масс
и силой F прямой,
t
поэтому
M
r
( M ) z   Ft  l
Из рисунка следует
Ft = mgsinα
Угол отклонения α является псевдовектором, его
величина откладывается от вертикальной линии,
направленной к Земле. На рисунке α > 0.
Рисунок отвечает моменту времени, когда тело под
действием силы
Ft возвращается к положению
равновесия, поэтому :
1) угол уменьшается
2) угловая скорость
отрицательная и растет по
величине
3) угловое ускорение
положительное
 
  
M

d
z  2  0
dt
2
Вектора
и
в любой момент времени
направлены в разные стороны.
Поэтому уравнение вращательного движения имеет
вид
 Ft l  J 
d
mgl sin   J 2
dt
2
Пусть угол отклонения мал, тогда
sinα ≈ α
d
 mgl  J 2
dt
2
и получаем
Перепишем последнее уравнение в виде
2
d  mgl



0
2
dt
J
Следовательно, при малых колебаниях угловое
отклонение маятника изменяется по гармоническому
закону
mgl
0 
J
2
J
; T
 2
0
mgl
 (t )   0 cos(0t  0 )
α0
– максимальный угол отклонения (амплитуда).
Введем обозначение
приведенная длина
физического маятника
J
L
ml
Если длину L откладывать вдоль линии ОС от точки
подвеса О, то получим некоторую точку О′, которую
называют центром качаний.
J  J  ml
2
Согласно теореме Штейнера
c
где Jc - момент инерции тела относительно центра масс.
Поэтому
2
c
c
J  ml
J
L

l l
ml
ml
С использованием приведенной длины частота и
период колебаний можно записать в виде
0 
g
L
L
; T  2
g
Точка подвеса и центр качаний обладают
свойством взаимозаменяемости :
если точку подвеса О перенести в центр качаний
О′, то точка подвеса О станет точкой качаний, при этом
период колебаний не изменится.
7.4 Математический маятник
Математический маятник – это материальная точка
массой m, подвешенная на невесомой и нерастяжимой
нити.
Ее колебания тоже происходят
M
под действием силы тяжести.
Поэтому математический маятник
α
является частным случаем
физического маятника,
у которого вся масса тела
расположена в одной точке

– центре масс тела.

l
– длина нити.
Векторы
и M направлены
в противоположные стороны.
α
Момент инерции материальной точки относительно
точки подвеса О равен
J = ml2
Можно использовать все формулы, полученные для
физического маятника
J
l
T  2
 2
mgl
g
J
L
l
ml
Приведенная длина математического маятника равна
длине нити.
Поэтому приведенную длину физического маятника
можно рассматривать как длину такого математического
маятника, период колебаний которого совпадает с периодом
физического маятника.
7.5
Свободные затухающие колебания
Свободные затухающие колебания – это колебания,
амплитуда которых с течением времени уменьшается за
счет потерь энергии.
Например, при механических колебаниях за счет
трения часть энергии колебаний переходит в теплоту.
В электрической цепи роль сил трения играет
сопротивление. Кроме того, энергия электрических
колебаний излучается в виде электромагнитных волн.
Колебания
называются
свободными
(или
собственными), потому что они совершаются за счет
первоначально сообщенной энергии при последующем
отсутствии внешних воздействий на колебательную
систему.
Рассмотрим механический осциллятор. Пусть на тело
наряду с упругой силой Fупр действует сила трения Fтр,
направленная против скорости.
Величина силы трения пропорциональна скорости
движения
Fтр  rx
r
– коэффициент трения.
Уравнение Ньютона для такого осциллятора имеет вид
Fр  Fупр  Fтр  ma ;  kx  rx  mx
r
k
x x x0
m
m
r
k
2
2 
; 0 
m
m
Обозначим
δ - коэффициент затухания,
ω0 - циклическая частота незатухающих колебаний в
отсутствие потерь энергии ( то есть при δ = 0 ), она
называется собственной частотой колебаний.
Тогда уравнение свободных затухающих колебаний
механического осциллятора принимает вид
2
d x
dx
2

2



x

0
0
2
dt
dt
Аналогичный вид имеют свободные затухающие
колебания и для других величин
другие колебательные процессы
s(t),
описывающих
2
d s
ds
2

2



s

0
0
2
dt
dt
В линейных системах параметры
δ
и
ω0
(7.5.1)
постоянны.
Будем искать решение уравнения (7.5.1) в виде
 t
s (t )  e u (t )
Подставляя, получаем уравнение для функции
u(t)
2
d u
2
2

(



)
u

0
0
2
dt
(7.5.2)
Решение этого уравнения зависит от знака разницы
 
2
0
2
Пусть затухание слабое, так что
  0
     0
2
2
0
2
Тогда уравнение (7.5.2) по виду подобно (7.1.1)
2
d u
2


u

0
2
dt
где

- частота затухающих колебаний.
Решением этого уравнения является
u (t )  A0 cos(t  0 )
Поэтому в случае малых колебаний величина s,
описывающая колебательный процесс меняется со
временем по закону
s(t )  A0e
 t
cos(t  0 )
где
 t
A(t )  A0e A0  A(t  0)
амплитуда затухающих колебаний
- начальная амплитуда
Время, за которое амплитуда
е
A(t)
уменьшается в
раз называется временем релаксации

1
(7.5.3)

Затухающие колебания не повторяются, поэтому они
не являются периодическими. Для малых затуханий можно
условно пользоваться понятием периода
T
2


2
 
2
0
(7.5.4)
2
как промежутком времени между двумя характерными
последующими значениями амплитуды.
Изменение во времени затухающих колебаний
s (t ), A(t )
 t
s(t )  A0e cos(t  0 )
 t
A(t )  A0e
A(t )   A0e
 t
Амплитуды двух последовательных
отличающихся на период, относятся как
A(t )
T
e
A(t  T )
колебаний,
(7.5.5)
Это отношение называется декрементом затухания, а
его логарифм
A(t )
T
1
  ln[
]  T  
A(t  T )
 N
(7.5.6)
называется логарифмическим декрементом затухания,
N - число колебаний, совершаемое за время

релаксации
τ.
Для характеристики колебаний используется также
величина
добротность

Q    N

которая пропорциональна числу колебаний
(7.5.7)
N
.
Установим физический смысл добротности.
Для этого вычислим полную энергию колебаний на
примере механического осциллятора
kx
m
E

2
2
2
2
Скорость тела равна
 (t )  x  A0 [ e
Подставляя υ(t)
энергии, получаем
 t
и
cos(t  0 )  e
x(t)
в
 t
sin(t  0 )]
выражение для полной
k 2 2 t

E (t )  A0 e [1  sin(2t  20   )]
2
0
где

  arctg ( )

Изменение во времени полной энергии
затухающих колебаний
Убывание энергии связано с работой силы трения
Fтр  r  x
Мощность, развиваемая этой силой, равна
dE dAтр
2
N

 ( Fтр  )   r  ( x)
dt
dt
Если бы трения не было, то энергия сохранялась во
времени.
При малом затухании

вторым слагаемым в
Е(t)
0
можно пренебречь
k 2 2 t
2 t
E (t )  A0 e
 E0 e
2
k 2
E0  A0
2
E0
- энергия в начальный момент времени.
Подставим приближенную энергию в формулу для
мощности
dE
N (t ) 
 2 E
dt
Скорость убывания энергии равна
dE

 2 E
dt
Период колебаний Т мал, поэтому можно принять dt = T.
Подставляя, получаем изменение (убыль) энергии за период
E  2 ET

Учитывая, что Q 
T
E
1
Q
получаем


E 2 T 2
Таким образом, при слабом затухании добротность с
точностью до множителя 2π равна отношению энергии,
запасенной в системе в данный момент к убыли этой
энергии за период колебаний.
Пусть теперь затухание колебаний сильное.
Если
  0
то Т = ∞
периодическим.
,
значит
движение
Если
  0
то частота
   
2
0
становится мнимой величиной.
2
перестает
быть
В этом случае общее решение уравнения затухающих
колебаний имеет вид
s (t )  C1e
где
 1t
 C2 e
1      
2
2
0
2      
2
С1
 2t
2
0
и С2 - вещественные постоянные, зависящие от
начальных условий.
Такое движение носит апериодический характер – это
значит, что система выведенная из положения равновесия,
возвращается в него не совершая колебаний.
При этом возможны два способа возвращения к положению
равновесия :
s
(
t
)
1) – когда система выведена
из положения равновесия
без толчка,
2) – когда система выведена
из положения равновесия
достаточно сильным
толчком, начальная
скорость равна
| 0 | A0 (     )
2
2
0
8. Колебания в электрическом контуре
8.1 Свободные гармонические колебания
в электрическом контуре
Колебательный электрический контур –
замкнутая цепь, состоящая из конденсатора
индуктивности L и сопротивления R.
ЭДС в цепи отсутствует. Для
возбуждения колебаний конденсатор
заряжают, сообщая обкладкам
заряды ± q . В конденсаторе
возникает электрическое поле с
2
энергией
q
Wc 
2C
это
С,
Если затем конденсатор замкнуть на катушку
индуктивности, то он начнет разряжаться и в контуре
потечет ток I, увеличивающийся со временем. Вместе с
ним будет возрастать магнитное поле в катушке.
В результате энергия электрического поля будет
уменьшаться, а энергия магнитного поля катушки
2
Lq
WL 
2
наоборот, будет увеличиваться.
В момент, когда конденсатор полностью разрядится,
его энергия и электрическое поле будут равны нулю, а ток в
цепи и энергия магнитного поля в катушке будут
максимальными.
После этого ток и магнитное поле в катушке начнут
убывать, а конденсатор начнет перезаряжаться – на
обкладках возникнут заряды противоположных знаков по
сравнению с первоначальными зарядами.
Поскольку магнитный поток в катушке убывает, то в
ней по правилу Ленца возникнет индукционный ток,
направление которого совпадает с током разрядки
конденсатора.
В конденсаторе возникнет электрическое поле,
которое будет стремиться ослабить ток.
Через некоторое время заряд на обкладках достигнет
максимума, ток будет равен нулю. Затем процессы пойдут в
обратном направлении. Через период Т система придет в
первоначальное состояние.
Далее все процессы повторяться.
Получим уравнение колебаний электрического контура.
Согласно закону Ома для замкнутой цепи
I  R  Uc   s
где I·R – падение напряжения на сопротивлении,
напряжение на конденсаторе,
εs
- ЭДС самоиндукции, возникающая в катушке
dI
 s  L
dt
Поэтому закон Ома принимает вид
dI
q
L  I R 0
dt
C
Uc
–
Поскольку
dq
I
dt
то для заряда на обкладках конденсатора
уравнение
2
q(t)
d q dq
q
L 2 
R 0
dt
dt
C
получаем
(8.1.1)
Решим это уравнение сначала для случая, когда
сопротивлением цепи можно пренебречь R = 0
2
d q
1

q

0
2
dt
LC
Тогда
0 
1
LC
; T  2 LC
формула Томсона
q (t )  qm cos(0t  0 )
где
qm – амплитуда колебаний заряда на обкладках
конденсатора.
Сила тока в контуре
dq
I
 0 qm sin(0t   0 ) 
dt
 I m cos(0t   0 
I m  0 qm

2
)
- амплитуда силы тока
Напряжение на обкладках конденсатора
q qm
Uc  
cos(0t   0 ) 
C C
 U m cos(0t   0 )
qm
Um 
C
- амплитуда напряжения.
Сравнивая выражения для тока, заряда и
напряжения видим, что колебания тока опережают по фазе
колебания заряда и напряжения Uc на π/2. Поэтому когда
ток достигает максимума, заряд и напряжение равны
наоборот.
0, и
Найдем полную энергию электрического контура
2
m
q
L 2 2
2
W  Wc  WL 
cos (0t  0 )  I m sin (0t  0 )
2C
2
Подставляя сюда амплитуды тока I m  0 qm
qm и учитывая выражение для
и напряжения
Um 
частоты колебаний
W W
(max)
c
C
0 
1 , получаем
LC
2
m
q
L 2 2
(max)

 WL
 0 qm
2C
2
Значит полная энергия контура совпадает с
максимальной электрической энергией конденсатора и
максимальной магнитной энергией катушки.
Электрические колебания в контуре можно сравнить
с механическими колебаниям маятника, при которых
происходит превращение потенциальной энергии в
2
кинетическую и наоборот.
q
Энергия электрического поля конденсатора
Wc 
2C
аналогична потенциальной энергии маятника.
Lq
Энергия магнитного поля катушки
WL 
2
подобна кинетической энергии маятника.
2
Сила тока в контуре подобна скорости движения маятника.
Индуктивность играет роль массы.
Сопротивление контура аналогично силе трения.
Колебания
в
контуре
сопровождаются
превращениями энергий электрического и магнитного
полей.
8.2 Свободные затухающие колебания
в электрическом контуре
В реальном электрическом контуре всегда имеется
активное сопротивление. Протекающий по нему ток
нагревает его, вследствие чего энергия контура
уменьшается, а колебания в нем затухают. Поэтому
вернемся к общему уравнению (8.1.1), описывающему
затухающие колебания. Оно имеет вид, подобный
уравнению затухающих колебаний общего вида (7.5.1)
2
d q
dq
2

2



q

0
0
2
dt
dt
0 
1
LC
R
; 
2L
Его решениями являются затухающие колебания
заряда на обкладках конденсатора
q(t )  qme
с частотой
   
2
0
и периодом
T
2

2
 t
cos(t  0 )
Разделив заряд на емкость, получим изменение
напряжения на обкладках конденсатора
q (t ) qm  t
U (t ) 
 e cos(t  0 ) 
C
C
 t
 U m e cos(t  0 )
где
Um
– амплитуда напряжения.
Взяв производную от заряда, получим силу тока в цепи
dq
I (t ) 

dt
 t
 qme [ cos(t  0 )   sin(t  0 )]
которую, используя
1
 t
I (t )  0 qm e [


 
2
2
0
 

2
, перепишем в виде
2
cos(t  0 ) 
 
sin(t  0 )]
2
2
ψ , согласно


cos   
; sin  
0
0
Вводя угол
можем записать ток в виде
I (t )  0 qme
 t
cos(t  0   )
Поскольку
cos   0 ; sin   0
то угол
ψ
заключен в пределах
π/2 < ψ < π
Следовательно, при наличии в электрическом
контуре сопротивления сила тока в нем опережает по фазе
напряжение на конденсаторе более чем на 90°.
Для электрического контура используют те же самые
параметры, что и для механических колебаний :
логарифмический коэффициент затухания
   T
добротность
Q


Если активное сопротивление и затухание малы, так
что
то
  0
  0
а добротность принимает вид
1 L
Q
R C
Если сопротивление большое
  0
то происходит апериодический разряд конденсатора.
Сопротивление контура, начиная с которого
колебательный процесс переходит в апериодический,
называется
критическим сопротивлением
Оно определяется из условия
откуда
Rk

2L
1
LC
  0
Rk
L
 Rk  2
C
8.3 Вынужденные колебания
Чтобы в реальной колебательной системе колебания
не затухали необходимо компенсировать потери энергии.
Это возможно, если на систему действует периодически
изменяющееся воздействие
X (t )  X 0 cos t
А) В случае механических колебаний таким воздействием
является вынуждающая сила

F (t )  F0 cos t
- частота вынуждающей силы.
В результате уравнение
маятника принимает вид
колебаний
пружинного
2
d x
dx
m 2   kx  r  F0 cos(t )
dt
dt
Поделив его на массу тела и вводя прежние
параметры, получаем
2
F0
d x
dx
2

2



x

cos(

t
)
0
2
dt
dt
m
(8.3.1)
Это уравнение вынужденных механических колебаний.
Б) Для электрического колебательного контура роль
воздействия X(t) играет внешняя ЭДС, подведенная к
контуру или переменное напряжение
U (t )  U m cos t
Уравнение, описывающее колебания
обкладках конденсатора имеет вид
2
заряда
Um
d q R dq 1


q

cos(

t
)
2
dt
L dt LC
L
на
Используя прежние параметры, уравнение можно
переписать в виде
2
Um
d q
dq
2

2



q

cos(

t
)
0
2
dt
dt
L
(8.3.2)
Это уравнение вынужденных электрических колебаний.
Оба уравнения
общем виде
(8.3.1) , (8.3.2)
можно записать в
2
d s
ds
2

2



s

x
cos(

t
)
0
0
2
dt
dt
(8.3.3)
Уравнение
(8.3.3)
является неоднородным
дифференциальным уравнением.
Его решение равно сумме общего решения
однородного уравнения и частного решения неоднородного
уравнения.
Уравнение (8.3.3) удобнее записать в комплексном
виде, в котором оно проще решается
2
2
it
0
0
2
d s
ds
 2
 s  x e
dt
dt
Будем искать его частное решение в виде
s (t )  s0e
i t
Вычисляем производные
s (t )  i s0e
i t
s (t )   s0e
2
i t
и подставляем в (8.3.3)
i t
s0e (  2i   )  x0e
2
2
0
it
Это уравнение должно выполняться в любой момент
времени, поэтому должны равняться частоты
 
Тогда получаем
x0
s0  2

2
(0   )  2i

x0  (   )  2i 
2
0
2
(   )  4 
2
0
2 2
2
2
Запишем последнее выражение в виде
s0  Ae
где
A
 i
x0
(   )  4 
2
0
2 2
 2 
  arctg  2
2 



0


2
2
Таким образом частное решение исходного уравнения
равно
s (t )  Ae
i (t  )
Его вещественная часть равна
s(t )  A cos(t   )
К нему надо добавить общее решение однородного
уравнения, которое было найдено ранее
s1 (t )  A0e
где
А0
1    
2
0
и
φ1
2
 t
cos(1t  1 )
частота затухающих колебаний
- произвольные константы.
Итак, окончательно общее решение неоднородного
уравнения равно
 t
s(t )  A cos(t   )  A0e
cos(1t  1 )
Второе слагаемое
s (t )
играет заметную роль
только в начальной
стадии процесса – при
установлении колебаний.
Через время релаксации

1

им
можно
пренебречь,
колебания
становятся
гармоническими с частотой вынуждающей силы
.

Резонанс
Рассмотрим зависимость амплитуды колебаний от
частоты вынуждающей силы
A

x0
(   )  4 
2
0
Эта функция
минимален
имеет
2 2
максимум,
2
когда
d  (   )  4 
2
0
2 2
d
2
2
2
знаменатель
 0
Откуда находим резонансную частоту
 рез    2
2
0
2
;  рез  0
и резонансную амплитуду
Aрез 

x0
4  4 (  2 )
4
2
2
0
2

x0
2 (   )
2
0
2
При приближении частоты вынуждающей силы к
резонансной частоте амплитуда вынужденных колебаний
резко возрастает - явление резонанса.
При малом затухании    резонансная частота
0
приближается к частоте собственных колебаний
системы
, а амплитуда в резонансе равна
 рез  0
Aрез 
x0
20
Отклонение при нулевой частоте
статическим отклонением
A(  0) 
ω=0
называют
x0

2
0
Сравнивая, видим, что резонансное и статическое
отклонения связаны формулой
Aрез
0

A(0)
2
Коэффициент пропорциональности
амплитудами равен добротности контура
между
этими
0
2
 


 Q
2 2 Т  Т 
где, согласно (7.5.5) - (7.5.7)
T
1
A(t )
  T  
 ln[
]
 N
A(t  T )
логарифмический коэффициент затухания.
Таким образом, при малом затухании
Aрез  QA(0)
  0
A( )
Добротность можно
переписать в виде
1
0
Q

1   2   3
Δω

где Δω =2δ - ширина пика.
Поэтому добротность
определяет остроту
резонанса.
2
A(0)
3
ωрез


0
R3  Rкр
