Уравнения динамики системы в обобщенных координатах

Глава 5
Уравнения динамики системы в
обобщенных координатах
§ 1. Обобщенные координаты и скорости
§ 2. Обобщенные силы
§ 3. Условия равновесия системы в обобщенных
координатах
§ 4. Уравнения Лагранжа
§ 1. Обобщенные координаты и скорости
Будем рассматривать системы с голономными
связями (геометрические и интегрируемые
дифференциальные)
В этом случае число независимых координат,
определяющих положение системы, совпадает с числом
степеней свободы системы
Независимые между собой параметры любой
размерности, число которых равно числу степеней
свободы системы и которые однозначно определяют ее
положение, называют обобщенными координатами
системы ( q1, q2, … , qs )
Координаты q1, q2, … , qs независимы, значит, и
элементарные приращения δq1, δq2, … , δqs
независимы между собой. При этом каждая из них
определяет независимое от других возможное
перемещение системы
При переходе от одной системы координат к другой
можно установить связь между ними
хк = хк (q1, q2, … , qs)
Для радиус-вектора rk k-ой точки системы
rк = rк (q1, q2, … , qs)
Если система движется, то и обобщенные координаты
будут изменяться со временем
q1= f1(t), q2=f2(t), … , qs=fs(t) (1)
(1) – кинематические уравнения движения системы в
обобщенных координатах
Производные от обобщенных координат по времени
называются обобщенными скоростями системы
dq1
dq2
,
q1 
, q2 
dt
dt
dqs
.
, qs 
dt
(2) – уравнения скорости движения системы в
обобщенных координатах
Размерность обобщенной скорости зависит от
размерности обобщенной координаты
(2)
§ 2. Обобщенные силы
Рассмотрим механическую систему из n материальных
точек, на которую действуют силы
F1 , F2 ,
, Fk
Система имеет s степеней свободы, и ее положение
определяется обобщенными координатами q1, q2, … , qs
Сообщаем системе некоторое возможное перемещение,
такое, что координата q1 получает приращение δq1, а
остальные не изменяются.
Тогда каждый из радиус-векторов rk точек системы
получит элементарное приращение (δrk)1 , которое
вычисляется как частный дифференциал
rk
 rk 1  q1,
q1
т.к. rk=rk(q1,
q2, … , qs)
Вычислим сумму элементарных работ всех действующих
сил на рассматриваемом перемещении
A1  F1   r1 1 
r1
 F1 
q1 
q1

r1
  F1 

q1

 Fn   rn 1 
rn
 Fn 
q1 
q1
rn 
 Fn 
 q1
q1 
A1  Q1q1
Величину Q1 называют обобщенной силой,
соответствующей координате q1,
rk
Q1   Fk 
q1
k
Сообщая системе другое независимое возможное
перемещение, при котором изменяется только
координата q2, получим
A2  Q2q2 ,
где Q2 – обобщенная сила , соответствующая q2
Если системе сообщить такое возможное перемещение,
при котором одновременно изменяются все ее
обобщенные координаты, то сумма элементарных работ
приложенных сил на этом перемещении
 A
k
 Q1q1  Q2 q2 
 Qs qs  3
k
(3) – полная элементарная работа всех действующих на
систему сил в обобщенных координатах
Обобщенные силы – это величины, равные
коэффициентам при приращениях обобщенных
координат в выражении полной элементарной работы
действующих на систему сил
Если все наложенные связи идеальные, то работу
совершают только активные силы
Q1 , Q2 ,
, Qs
A

Q  
q
− обобщенные активные силы
системы
− размерность обобщенной силы
системы зависит от [q]
Чтобы решить прямую задачу динамики, т.е. найти
обобщенные силы, нужно
1. Установить число степеней свободы системы
2. Выбрать обобщенные координаты
3. Изобразить все активные силы и силы трения, если
они совершают работу
4. Сообщить системе такое перемещение, при котором
изменяется только одна координата. Задав ей
положительное приращение, вычислить сумму
элементарных работ на этом перемещении, записав
ее в виде
A1  Q1  q1 ,
тогда коэффициент при δq1 даст искомую величину
5. Аналогично вычисляются остальные обобщенные
силы системы Q2, Q3, …, Qs
Область, в каждой точке которой на помещенную туда
материальную частицу действует сила, зависящая от
положения этой точки, называется силовым полем
Чтобы силовое поле было потенциальным,
необходимо и достаточно выполнение условия
Fx Fy Fy Fz Fz Fx

,

,

y
x
z
y x
z
Если все действующие на систему силы являются
потенциальными, то существует такая силовая функция
U, которая зависит от координат точек системы
(xk, yk, zk), что
 A
k
 U
k
U
U
k Ak  U  q q1  q q2 
1
2
U

qs
qs
Если все действующие на систему силы потенциальны,
то обобщенные силы равны частным производным от
силовой функции U по соответствующим обобщенным
координатам
U
U
Q1 
, Q2 
,
q1
q2
U
, Qs 
qs
Так как потенциальная энергия является П = -U , то


Q1  
, Q2  
,
q1
q2

, Qs  
qs
§ 3. Условия равновесия системы в
обобщенных координатах
Принцип возможных перемещений в обобщенных
координатах
Q1q1  Q2 q2 
 Qs qs  0,
т.к. δqi независимы между собой, необходимо, чтобы
Q1  0, Q2  0, , Qs  0
Для равновесия механической системы необходимо и
достаточно, чтобы все обобщенные силы,
соответствующие выбранным для системы
обобщенных координат, были равны нулю
Число условий равновесия (**) равно числу обобщенных
координат, т.е. числу степеней свободы системы
В случае потенциальной силы условия (**) запишутся
U
U
 0,
 0,
q1
q2
U
,
0
qs
или


 0,
 0,
q1
q2

,
0
qs
При равновесии полный дифференциал функций
U или П равны нулю
U  q1 , q2 ,
, qs   0
  q1 , q2 ,
, qs   0
или
Система, на которую действуют потенциальные силы,
в тех положениях, для которых силовая функция или
потенциальная энергия системы имеет экстремум,
находится в равновесии
§ 4. Уравнения Лагранжа
Найдем уравнения движения механической системы
в обобщенных координатах
Вспомним п-п Даламбера-Лагранжа
A  A
a
k
ин
k
0
Рассматривать будем общую задачу, т.е. в первую
сумму будут входить не только работы активных сил,
но и сил трения
Пусть система имеет s степеней свободы и ее положение
определяется обобщенными координатами qk, тогда
a

A
 k  Q1q1  Q2q2 
 Qsqs
Для сил инерции тоже можно перейти к обобщенным
силам инерции, тогда

где
ин
Ak
ин
ин
 Q1 q1  Q2 q2
rk
Q  F
;
q1
ин
1
ин
k
ин
   Qs qs
rk
;Q  F
qs
ин
s
ин
k
Тогда
 Q  Q  q 
1
ин
1
  Qs  Q
ин
s
1
 q
s
0
− п-п Даламбера-Лагранжа,
т.к. δqk независимы, то, следовательно,
ин
Q

Q
 1 1   0;
Вспомним, что
ин
Fk
;  Qs  Qsин   0
Vk
 mk ak  mk
dt
следовательно,
dVk rk
Q   mk

dt q1
ин
1
Вспомним, что
rk  dVk rk
d
d  rk 

 Vk 
 Vk 

,
dt 
q1  dt q1
dt  q1 
тогда
dVk rk d 
rk 
d  rk 

  Vk 
  Vk 

dt q1 dt 
q1 
dt  q1 
Докажем необходимые равенства
I) Вспомним, что
и
rk  rk  q1 , q2 ,
drk rk
Vk

qk 
dt q1
тогда
Vk rk

q1 q1
, qs 
rk

qs ,
qs
II) Т.к. операции полного дифференцирования по времени
и частного по обобщенным координатам
переместительны, то d  rk 
  drk  Vk




dt  q1  q1  dt  q1
d  rk  Vk
,


dt  q1  q1
тогда
и
dVk rk d  rk 
d  rk  d  1 Vk 2  1  Vk 2 

  Vk    Vk     
 
,
dt q1 dt  q1 
dt  q1  dt  2 q1  2  q1 
и
2
2




dV

r
d
1

V
1

V
k
k
k
k
т.к.

  
 

dt
2

q
2

q
dt q1

1 
 1 
V V ,
2
k
2
k
то
2
2






d

m
V

m
V
ин
k k
k k
Q1  

 


dt  q1  2   q1  2 
Т – кинетическая энергия
d  T  T
 

dt  q1  q1
Для других обобщенных сил инерции можно записать
аналогичные выражения. Тогда
Q1  Q  0,
ин
1
,
ин
Qs  Qs
0
запишутся
d  T  T
 Q1 ,


dt  q1  q1
d  T
,

dt  qs
 T
 Qs

 qs
Получили дифференциальные уравнения движения
системы в обобщенных координатах или уравнение
Лагранжа для голономных систем
Вид и число этих уравнений не зависят ни от количества
тел (или точек), входящих в систему, ни от того, как эти
тела движутся
Число уравнений Лагранжа определяется только числом
степеней свободы системы
При идеальных связях обобщенные активные силы Qi и
эти уравнения позволяют заранее исключить все
наперед неизвестные реакции связей
Уравнения Лагранжа представляют собой обыкновенные
дифф. уравнения второго порядка относительно
обобщенных координат
Основная задача динамики в обобщенных координатах
I) Зная обобщенные силы и начальные условия, найти
закон движения системы в виде
q1  f1  t  , q2  f 2  t  ,
, qs  f s  t 
В случае потенциальных сил
d  T  T 

0


dt  q1  q1 q1
Сделаем преобразования
d   T      T   
0


dt  q1
q1

Если введем функцию Лагранжа
(кинетический потенциал), то
L T 
d  L  L
0


dt  q1  q1