Обобщенные координаты. Уравнения Лагранжа второго рода.

Вопрос 44 Обобщенные координаты. Уравнения Лагранжа
второго рода. Канонические уравнения механики
Cвязи, реакции, идеальные связи. Обобщенные кооpдинаты и их ваpиации. Общее уpавнение механики
Связями называют условия, которые налагают ограничения
на движение механической системы. Эти условия математически выражают в виде равенств или неравенств, связывающих
между собой координаты и скорости точек системы и время, а
возможно и другие величины, например, ускорения точек.
Связи, осуществляются в виде тел, стесняющих свободное
движение точек системы. В отличие от свободного, движение
системы, стесненное связями, называют несвободным.
Если бы механическую систему не стесняли связи (то есть
если бы механическая система была свободной), то под Действием заданных сил она, вообще говоря, двигалась бы с
другим ускорением, чем при наличии связей. Это означает,
что связи действуют на точки системы как некоторые силы,
которые принято называть реакциями связей. В отличие от
них, заданные силы называют активными силами.
Главный вектор, действующих на точку M j сил реакций
G
связи обозначим R j . Виртуальной работой сил реакций связи
3N G
G
называют величину ∑ j =1 R j ⋅δ rj . Если она равна нулю, то связи
называют идеальными. Об идеальных связях говорят, что они
не препятствуют движению механической системы, совместимому со связями. Связи классифицируют по тем или иным свойствам изображающих их уравнений. В этой классификации легко сориентироваться по следующей таблице:
Уравнение Связи
Наименование Связи
G G
⎧⎪ f ( x , x , t ) > 0(< 0, ≥ 0, ≤ 0)
− односторонняя, неудерживающая
⎨ G G
− двусторонняя, удерживающая
⎪⎩ f ( x , x , t ) = 0
G G
⎧⎪ f ( x , x , t ) = 0( > 0, < 0, ≥ 0, ≤ 0) − нестационарная, реономная
⎨ G G
⎪⎩ f ( x , x ) = 0 ( > 0, < 0, ≥ 0, ≤ 0) − стационарная, склерономная
G
− геометрическая, голономная
⎧ f ( x , t ) = 0 ( > 0, < 0, ≥ 0, ≤ 0)
⎨ G G
⎩ f ( x , x , t ) = 0( > 0, < 0, ≥ 0, ≤ 0) − кинематическая, неголономная
Механическую систему, движение которой стеснено только
голономными связями, называют голономной, в противном случае – неголономной. Пусть на механическую систему наложены
голономные связи, выражаемые равенствами:
G
f ( x, t ) = 0 ,
(1)
где f = ( f1 ,..., f m ) ∈ C 2 (M × (t1 , t2 )) , t1 < t2 , а M - область в R3N .
При этом мы не исключаем, вообще говоря, что на эту систему могут быть наложены и другие связи, как голономные,
так и неголономные. Связи (1) предполагаем независимыми в
M , а точнее, предполагаем, что ранг матрицы Якоби ( ∂fi / ∂xk )
G
равен m при x ∈ M, t ∈ (t1 , t2 ) .
Пусть s = 3N − m , а B - область в R s . Если заданы функции
G
ξ ( q, t ) = (ξ1 ( q, t ),..., ξ3 N ( q, t )) аргументов q = ( q1 ,..., qs ) ∈ B , t ∈ (t1 , t2 ) , дважды непрерывно дифференцируемые на множестве B × (t1 , t2 ) и
G
удовлетворяющие там равенству f (ξ ( q, t ), t ) = 0 , то переменные
q = ( q1 ,..., qs ) называют лагранжевыми или обобщенными координатами. Если q = ( q1 ,..., qs ) - какие-то обобщенные координаты, то
G
G
векторы x = ( x1 ,..., x3 N ) , rj можно выразить через них:
G G
G G
x = x ( q, t ) , rj = rj ( q, t ), j ∈ [1: N ] ,
(2)
– эти функции удовлетворяют связям (1) и, вообще говоря,
не обязаны удовлетворять каким-то другим связям, поэтому
обобщенные координаты q1 ,..., qs можно считать независимыми
величинами если движение механической системы стеснено
только связями (1). В этом случае, s - число степеней
свободы положения механической системы и, при ( q, t ) ∈ B × (t1 , t 2 ) ,
ранг матрицы Якоби ( ∂xν / ∂q p ) равен s . Действительно, так как
эта матрица имеет размеры (3N − m) × 3N , то ее ранг k удовлетворяет неравенству k ≤ 3N − m . С другой стороны, по теореме
о неявных функциях, функции x1 ,..., x3 N должны удовлетворять
3N − k независимым уравнениям. Так как рассматриваемая
механическая система стеснена только m связями (1), то
3N − k ≤ m , то есть k ≥ 3 N − m = s .
Таким образом, из элементов матрицы Якоби ( ∂xν / ∂q p ) можно
составить матрицу s - го порядка с ненулевым определителем, а тогда обобщенные координаты q1 ,..., qs можно выразить в
виде дважды непрерывно дифференцируемых функций декартовых
коор-динат. Из равенств (2) получаем следующие формулы:
G
G
s ∂r
s
∂ rj
∂ xν
∂ xν
G
j
, vj = ∑
, ν ∈ [1: 3N ], j ∈ [1: N ]
(3)
xν = ∑
q p +
q p +
∂t
∂t
p =1 ∂ q p
p =1 ∂ q p
Введем в рассмотрение понятия истинного и виртуального
перемещения. Истинным перемещением механической системы мы
G
будем называть ее перемещение ∆x за время от t до t + ∆t .
Естественно, что эту величину мы будем обозначать также
G
∆rj , j ∈ [1: N ] . Соответственно, истинное перемещение за бес-
конечно малый промежуток времени dt есть бесконечно малое
G
G
перемещение d x , которое мы обозначаем также drj , j ∈ [1: N ] .
Если на механическую систему наложены стесняющие ее
движение связи, то в каждый момент t о них естественно
судить по совокупности возможных перемещений при этом
неизменном значении t , совместимых с уравнениями связей,
так как эта совокупность зависит только от положения системы в данный момент и от связей. Любое совместимое со
связями бесконечно малое перемещение, которое может быть
сообщено механической системе при неизменном t , называют
виртуальным перемещением этой системы в этот момент. Виртуальное перемещение механической системы будем обознаG
G
чать δ x и δ rj , j ∈ [1: N ] . Иначе говоря, виртуальное перемещение в момент t это допустимая вариация движения при неизменном этом значении t (изохронная вариация), причем «допустимая» – означает совместимая с уравнениями связей,
стесняющих движение системы.
При наличии связей вариации координат не независимы:
G
G
если система стеснена голономными связями f ( x , t ) = 0 , а δ x G
виртуальное перемещение, то наряду с x этому равенству
G
G
должна удовлетворять и величина x + δ x . Так как
3N
∂f
G
G
(4)
f ( x + δ x, t ) = ∑
δ xν + ... ,
ν =1 ∂ xν
то получаем равенство
3N
∂f
(5)
δ xν = 0 ,
∑
ν =1 ∂ xν
с точностью до бесконечно малых высших порядков. Так как
3N
∂f
∂f
G
G
(6)
f ( x + d x, t ) = ∑
d xν +
d t + ... ,
∂t
ν =1 ∂ xν
то для истинного перемещения получаем другое равенство:
3N
∂f
∂f
(7)
d xν +
d t =0 ,
∑
∂t
ν =1 ∂ xν
истинное также с точностью до бесконечно малых высших
порядков. Как видим, в случае стационарности связей истинное перемещение является одним из виртуальных перемещений.
Понятие виртуальных перемещений или вариаций обобщенных
координат вводятся так же, как и в случае декартовых координат: виртуальным перемещением механической системы в
обобщенных координатах в момент t называют любое бесконечно малое изменение обобщенных координат при неизменном
этом значении t , совместимое с наложенными связями ((1) и,
возможно, другими).
Из формул (2) получаем:
G
s ∂r
s
∂ xν
G
δ xν = ∑
δ q p , δ rj = ∑ j δ q p , ν ∈ [1: 3N ], j ∈ [1: N ]
(8)
p =1 ∂ q p
p =1 ∂ q p
Если механическая система не стеснена другими связями,
кроме (1), то из способа введения обобщенных координат и
открытости B (область в R s ) следует, что изохронные вариации δ q1 ,..., δ qs независимы.
Рассмотрим дифференциальные уравнения Ньютона движения
механической системы:
G G
d G
m j v j = Fj + R j ,
(9)
dt G
G
где F j и R j - главные векторы внешних и внутренних активных
сил и сил реакций, действующих на материальную точку M j
массы m j . Будем предполагать, что все стесняющие рассматриваемую механическую систему связи являются идееG
альными. Умножая j -ое уравнение (9) скалярно на δ rj и Суммируя полученные равенства по всем j , получаем:
N
G ⎞ G
d G
⎛
(10)
m
v
F
−
∑
j
j ⎟ ⋅ δ rj = 0 ,
⎜ j
dt
⎠
j =1 ⎝
- это общее уравнение механики в декартовых координатах
(уравнение Даламбера - Лагранжа).
Общее уравнение механики в декартовых координатах (10)
мы преобразуем здесь при помощи формул (2),(3),(8) и следующего тождества:
G G
G
G
dv j ∂ rj
d ⎛ G ∂ rj ⎞ G d ∂ rj
= ⎜vj
(11)
⎟ − vj
dt ∂ q p dt ⎜⎝ ∂ q p ⎟⎠
dt ∂ q p
Используя формулу (8), получаем:
G
N
G ⎞ s ∂ rj
d G
⎛
δ qp = 0
(12)
∑
⎜ m j v j − Fj ⎟ ∑
dt
q
∂
⎠ p =1 p
j =1 ⎝
Из формулы (3) следует, что
G
G
∂ rj
∂vj
(13)
=
∂ q p ∂ q p
Сравнивая равенство
G
G
G
s
∂ 2 rj
∂ 2 rj
d ∂ rj
qk +
(14)
=∑
dt ∂ q p k =1 ∂qk ∂q p
∂t ∂q p
с равенством
G
G
G
s
∂v j
∂ 2 rj
∂ 2 rj
,
(15)
=∑
qk +
∂ q p k =1 ∂qk ∂q p
∂t ∂q p
полученным дифференцированием формулы (2) и переменой
местами индексов k , p , приходим к равенству:
G
G
∂vj
d ∂ rj
(16)
=
dt ∂ q p ∂ q p
Используя формулы (12),(14),(17), выводим равенство:
G G
G
G
dv j ∂ rj
d ⎛ G ∂v j ⎞ G ∂v j
= ⎜vj
(17)
⎟ − vj
dt ∂ q p dt ⎜⎝ ∂ q p ⎟⎠
∂ qp
Умножая это равенство на m j и суммируя по всем j = 1,... N ,
получаем:
G G
G
G
N
dv j ∂ rj d N
d ∂T
∂T
G ∂v j N
G ∂v j
mj
,
(18)
= ∑ mjv j
−∑ m j v j
=
−
∑
dt ∂ q p dt j =1
∂ q p j =1
∂ q p dt ∂ q p ∂ q p
j =1
N
N
GG
где T = ∑ m j v j v j / 2 = ∑ m j v 2j / 2 .
j =1
j =1
Из равенств (12),(18)следует равенство
s ⎛
⎞
d ∂T
∂T
(19)
−
− Qp ⎟δ qp = 0 ,
⎜⎜
∑
⎟
dt
q
q
∂
∂
p =1 ⎝
p
p
⎠
где величина Q p , определяемая равенством
G
N G ∂r
3N
∂x
j
Q p = ∑ Fj
= ∑ Xν ν
(20)
∂q p ν =1
∂q p
j =1
(при очевидных обозначениях Xν ), называется обобщенной силой, отвечающей обобщенной координате q p . Равенство (19)
называют общим уравнением механики или уравнением Даламбера-Лагранжа в обобщенных координатах. Отметим, что в
этом уравнении вариации δ q p независимы, если на рассматриваемую механическую систему наложены только связи (1), и
могут быть зависимыми, если на нее наложены и другие связи. Если все силы, действующие на точки механической системы имеют потенциал, то компоненты Xν этих сил можно
вычислить по формуле:
G
∂Π( x )
Xν = −
, ν ∈ [1: 3N ] ,
(21)
∂xν
G
где Π( x ) - потенциальная энергия этой системы.
Из равенств (20),(21) получаем:
G
G
∂Π( x ) ∂xν
∂Π( x ( q, t ))
Q p = −∑
=−
∂q p
∂q p
ν =1 ∂xν
3N
(22)
Уpавнения Лагpанжа II pода и их разpешимость относительно стаpших пpоизводных
Будем рассматривать здесь механическую систему из конечного числа материальных точек M j массы m j , j ∈ [1: N ] . Все
стесняющие движение системы связи предполагаем независимыми, голономными и идеальными. Символом s будем обозначать ее число степеней свободы положения, а символами
q1 ,..., qs - независимые обобщенные координаты, определяющие
положение системы.
Так как вариации δ q1 ,..., δ qs независимы, то в общем уравнении механики можно положить δ q1 ≠ 0, δ q2 = ... = δ qs = 0 , затем
δ q2 ≠ 0, δ q1 = δ q3 = ... = δ qs = 0 и т.д. Это приводит к системе из s
обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка
d ∂T ∂T
−
− Qi = 0 , i ∈ [1: s ] ,
dt ∂ qi ∂ qi
(1)
которые называют уравнениями Лагранжа второго рода. Общий
порядок системы (1) равен 2s . Равенства (1) задают уравнения Лагранжа второго рода алгоритмически. Чтобы для конкретной механической системы выписать их явно, необходимо
получить кинетическую энергию T и обобщенные силы Qi ,
i ∈ [1: s ] как функции аргументов q1 ,..., qs , q1 ,..., q s , t и под-ставить
их в левую часть уравнений (1), произведя там не-обходимые
дифференцирования.
Если все силы, действующие на точки механической системы имеют потенциал, то обобщенные силы можно вычислить
по формуле:
G
∂Π( x ( q, t ))
, i ∈ [1: s ]
(2)
Qi =
∂qi
G
где Π( x ) - потенциальная энергия этой системы.
Вводя в рассмотрение функцию Лагранжа
L=T −Π
(3)
G
и учитывая, что ∂Π ( x ( q, t )) / ∂qi = 0 , уравнения (1) можно переписать в следующем виде:
d ∂L ∂L
−
= 0 , i ∈ [1: s ]
dt ∂ qi ∂ qi
(4)
Как видим, для того, чтобы выписать уравнения Лагранжа
второго рода в случае потенциальных сил, достаточно составить для данной механической системы величину L как функ-
цию аргументов q1 ,..., qs , q1 ,..., q s , t и подставить их в левую часть
уравнений (4), произведя там необходимые дифференцирования.
Из способа вывода уравнений (1) и (4) следует, что они
не изменяют своего алгоритмического вида при замене одних
обобщенных координат на другие.
Обыкновенные дифференциальные уравнения удобно исследовать и решать приближенно в том случае, когда они разрешены относительно старших производных. Мы покажем, что уравнения Лагранжа второго рода (1) и (4) разрешимы относительно обобщенных ускорений q1 ,..., qs . Достаточно ограничиться
рассмотрением уравнений (1), так как они более общие.
Рассмотрим кинетическую энергию механической системы в
декартовых координатах:
N
G
1
T = 2 ∑ m j v 2j
(5)
j =1
G
G
s ∂r
∂ rj
G
j
получаем:
q p +
Из равенств v j = ∑
∂t
p =1 ∂ q p
G
G
G
G
N
s ∂r
s ∂r
∂
r
∂
r
⎞
⎛
⎛
j
j
j
j ⎞
T = 12 ∑ m j ⎜ ∑
qi +
qk +
⎟⎜∑
⎟ = T2 + T1 + T0 ,
∂
q
∂
t
∂
q
∂
t
=
=
j =1
i
1
k
1
⎝
i
k
⎠⎝
⎠
где
G G
G
2
N
N
s
∂ rj ∂ rj
⎛ s ∂ rj ⎞
1
1
T2 = 2 ∑ m j ⎜ ∑
qi ⎟ = 2 ∑ ai ,k qi qk , ai ,k = ak ,i = ∑ m j
,
∂
q
∂
q
∂
q
j =1
j =1
i , k =1
i
k
⎝ i =1 i ⎠
G
G
G
2
s
N
N
∂ rj ∂ rj
⎛ ∂ rj ⎞
1
T1 = ∑ a p q p , a p = ∑ m j
, T0 = 2 ∑ m j ⎜
⎟
∂ qp ∂ t
p =1
j =1
j =1
⎝ ∂t ⎠
Принимая во внимание формулы (6),(7),(8),
Лагранжа (1) можно записать в виде
s
∑a
i ,k
qk = Bi , i ∈ [1: s ] ,
(6)
(7)
(8)
уравнения
(9)
k =1
где величины Bi не зависят от обобщенных ускорений q1 ,..., qs .
Отсюда следует, что для доказательства разрешимости уравнений Лагранжа второго рода относительно обобщенных ускорений q1 ,..., qs достаточно доказать, что
det A ≠ 0 , A = ( ai ,k )
s
i , k =1
(10)
При u = (u1 ,..., us ) , рассмотрим квадратичную форму
T2 (u ) =
s
1
2
∑a
i , k =1
uu ,
i,k i k
(11)
и применим к ней критерий Сильвестра - для положительной
определенности этой формы необходимо и достаточно, чтобы
были выполнены следующие условия:
a1,1 , a1,2
a1,1 > 0,
, ... ,det A > 0
(12)
a2,1 , a2,2
Таким образом, если доказать положительную определенность квадратичной формы T2 , то тем самым будет доказано, в
частности, и неравенство (10). Так как (см. (7))
G
2
N
s ∂r
⎞
⎛
j
T2 (u ) = 12 ∑ m j ⎜ ∑
ui ⎟ ,
(13)
∂
q
1
j =1
i
=
i
⎝
⎠
то T2 (u ) ≥ 0 при любых u , и нам остается доказать, что
T2 (u ) = 0 только в случае u = 0 .
Докажем это от противного. Пусть при некотором u ≠ 0 выполнено равенство T2 (u ) = 0 . Тогда при таком u должны обратиться в ноль все суммы в скобках в равенстве (13),то есть
G
s ∂r
j
ui = 0 , j ∈ [1: N ] ,
(14)
∑
i =1 ∂ qi
или
s ∂x
s ∂x
s ∂x
3 j −2
3 j −1
3j
ui = 0 , ∑
ui = 0 , ∑
ui = 0 , j ∈ [1: N ]
(15)
∑
i =1 ∂ qi
i =1 ∂ qi
i =1 ∂ qi
Из (15) следует, что столбцы матрицы ( ∂xν / ∂q p ) линейно зависимы, а тогда ее
ранг должен быть меньше s , в то время, как в п.1 мы доказали, что он равен s .
Что и требовалось.
Вывод канонических уpавнений
В связи с уравнениями Лагранжа второго рода, введем в
рассмотрение величины
∂L
pi =
, i ∈ [1: s ] ,
(1)
∂ qi
которые называют импульсами или обобщенными импульсами.
Как мы знаем, система уравнений Лагранжа состоит из s
обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка
относительно обобщенных координат q1 ,..., qs . Существует бесконечно много способов сведения ее к системе из 2s обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Для
этого вместо s переменных вводят 2s каких-то новых переменных. В частности, к s переменным q1 ,..., qs можно добавить
еще s дополнительных переменных. Мы так и поступили, введя
дополнительные переменные p1 ,..., ps . Уравнения относительно
переменных q1 ,..., qs , p1 ,..., ps имеют удобную симметричную форму
так называемых канонических или гамильтоновых уравнений,
для которых развита содержательная математическая теория.
Так как L = T − Π , а потенциальная энергия Π не зависит
от обобщенных скоростей q1 ,..., q s , то истинно равенство:
∂2 L
∂ 2T
, i , k ∈ [1: s ]
=
∂qi ∂qk ∂qi ∂qk
Так как
⎛ ∂ 2T ⎞ s
det ⎜
⎟ i , k =1 ≠ 0 ,
q
q
∂
∂
⎝ i k⎠
то равенства (1) можно разрешить относительно q1 ,..., q s :
qi = qi ( q, p, t ) , i ∈ [1: s ] , q = ( q1 ,..., qs ) , p = ( p1 ,..., ps )
(2)
(3)
(4)
Введем в рассмотрение функцию
s
H ( q, p, t ) = ∑ pk qk ( q, p, t ) − L( q, q ( q, p, t ), t ) ,
(5)
k =1
которую называют функцией Гамильтона или гамильтонианом.
Используя формулы (1),(2), получаем равенства:
s
⎛ ∂q
∂H
∂L ∂qk ⎞
(6)
= qi + ∑ ⎜ pk k −
⎟ = qi ,
∂ pi
∂ pi ∂ qk ∂ pi ⎠
k =1 ⎝
s
⎛ ∂q
∂H
∂L ∂qk ⎞ ∂L
∂L
,
= ∑ ⎜ pk k −
=−
⎟−
∂ qi k =1 ⎝ ∂ qi ∂ qk ∂ qi ⎠ ∂ qi
∂ qi
(7)
s
⎛ ∂q
∂H
∂L ∂qk ⎞ ∂L
∂L
(8)
= ∑ ⎜ pk k −
=−
⎟−
∂ t k =1 ⎝
∂ t ∂ qk ∂ t ⎠ ∂ t
∂t
при i ∈ [1: s ] .
Из уравнений Лагранжа и формул (1) и (7) выводим, что
∂L
∂H
d
=−
pi =
, i ∈ [1: s ] ,
(9)
∂ qi
∂ qi
dt
и, присоединяя сюда равенства (6), получаем искомые канонические или гамильтоновы уравнения:
∂H
∂H
d
d
qi =
pi = −
,
, i ∈ [1: s ]
∂ pi
∂ qi
dt
dt
(10)
Равенства (10) задают канонические уравнения алгоритмически. Чтобы выписать канонические уравнения для данной
механической системы, необходимо составить для нее по
формуле (5) гамильтониан H ( q, p, t ) и подставить эту функцию
в правую часть уравнений (10), произведя там необходимые
дифференцирования.