I(t)

ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ
ПЕРЕМЕННОГО ТОКА
СРЕДНЕЕ ЗНАЧЕНИЕ
СИНУСОИДАЛЬНОЙ
(ГАРМОНИЧЕСКОЙ) ФУНКЦИИ
Fm
Fср
T
T/2
-Fср
- Fm
t
ƒ(t)=Fmaxsinωt
T
1
FСР   f (t )dt  0
T 0
2
FСР 
T
T /2

0
f (t )dt 
2 Fmax

 0.637 Fmax
Действующие значения
гармонических
токов и
напряжений
4
Действующие значения тока
и напряжения характеризуют
тепловое действие в линейном
резистивном элементе
с сопротивлением R
Действующее значение
гармонического тока i
численно равно такому
постоянному току I , который
за время Т в том же
сопротивлении R выделяет
такое же количества тепла W
При токе и напряжении:
i  I m sin(t   i )
u  U m sin(t   u )
R
i
+
u
ПО ЗАКОНУ ДЖОУЛЯ – ЛЕНЦА:
T
W   i  R  dt  I  R  T , Дж
2
2
0
ПО ЗАКОНУ ОМА:
u  R  i, B
T  2 , c

Действующее значение тока
T
1 2
Im
I
i

dt


2
T 0
Действующее значение
напряжения
T
1 2
Um
U
u

dt


2
T 0
Действующие значения тока
и напряжения не зависят
от угловой частоты 
и начальной фазы 
В результате
i  2 I sin(t   i )
u  2 U sin(t   u )
а(t )  Аm  sin(  t  )
Где: а (t )
Аm
- мгновенное
- амплитудное значение
2
  2f 
T
1
f 
T
значение
(рад/с) - угловая частота
(1/с) или (Гц) - циклическая частота
Т  360  2 рад
0
Векторная диаграмма - это изображение
синусоиды в виде вектора в прямоугольной системе
координат, длина которого равна амплитуде
синусоиды, а угол поворота равен начальной фазе и
отсчитывается от оси абсцисс против часовой
стрелки.
Волновая диаграмма - это развертка вращающегося
вектора во времени.
Таким образом, любую синусоидальную
функцию (ток, напряжение, мощность)
можно отобразить в виде
тригонометрической функции типа
ƒ(t) =Fmaxsin(ωt ± ψƒ), графически в осях
координат[ƒ(t) или ƒ(ωt)] или в виде
вращающихся с круговой частотой (ω)
векторов c длиной равной амплитуде
функции
Совокупность векторов, вращающих с
одинаковой частотой (ω), построенных
в одних осях называются
векторными диаграммами
U(t),I(t)
U
ψU
ψI

ωt
Проекции векторов
на ось ординат
равны мгновенным
значениям функций
φ = ψU – ψI – угол
сдвига между
векторами напряжения
и тока
Пример работы с векторными
диаграммами
Векторные диаграммы позволяют заменить
арифметические действия с тригонометрическими
функциями на работу с векторами
i2(t)
i1(t)
2
ψ2
i3(t)
i2= I2 max sin (ωt+ψ2)
i3= I3 max sin (ωt+ψ3)
1
ψ1
ψ3
3
i1 = i2 + i3
i1 = I1max sin (ωt + ψ1)
Отображение синусоидальных
величин символическим способом
• Символический метод является
основным и применяется для
расчета линейных цепей с
гармоническими токами и
напряжениями. Этот метод основан
на изображении гармонических
функций комплексными числами
-1
Мнимая ось
Комплексная плоскость.
Комплексное изображение функции
0
+j
в
А
•
А
α
A – комплексное
число (КЧ)
a
+1
Вещественна ось
А = а + jв = А cos α + j A sin α
-j
j=
1
Алгебраическая форма записи КЧ
А = А ( соs α + jsin α),
где А – Модуль КЧ,
α – аргумент КЧ
А=
a в
2
2
α = arctg в/a
a = А cos α - Вещественная часть КЧ
в = jА sin α – Мнимая часть КЧ
Комплексное изображение тока
i  I sin t  i 
i  Ie
j t  i 
 I [cos t  i   j sin(t  i )]
i  Ie
j i
e
jt
где I m  Ie
jt
 I me ,
j i
Комплексное изображение
напряжения
u  U sin t  u 
u  Ue
j t  U 
 U cos t  U   j sin t  U  
u  Ue
где
j U
e
jt
 U me
U m  Ue
j U
jt
Таким образом, любой
синусоидальной величине
(току или напряжению)
соответствует комплекс ее
действующего значения и
наоборот
Например: току

i  2.82  sin( t  30 ), А
соответствует

2.82  j30
II
e
2
При этом, например, комплексу
действующего значения
напряжения

U  U  100  e
j 45
,В
соответствует синусоидальная
функция времени
u  2 100  Sin (t  45 ), В

Действия
с комплексными
числами
Где:
F  F e
j
 a  jb - комплексное
число
F - модуль
 - аргумент (фаза)
a - вещественная составляющая
b - мнимая составляющая
1. Переход от алгебраической
формы записи
к показательной форме
a  jb  Fe
F  a b
b
  arctg
a
2
2
j
2. Переход от показательной
формы записи
к алгебраической форме
Fe
j
 a  jb
a  F cos
b  F sin 
3. Сложение и вычитание
F1e
j 1
 F2e
j 2

 (a1  jb 1 )  (a 2  jb 2 ) 
 (a1  a 2 )  j(b1  b 2 ) 
j
 a  jb  Fe .
4. Умножение
(a1  jb1 )(a 2  jb 2 ) 
 F1e
j 1
 F1F2e
j 2

j(  1   2 )

 F2e
j
 Fe .
5. Деление
j 1
a1  jb1 F1e


j 2
a 2  jb 2 F2e
F1 j(  1   2 )
 e

F2
j
 Fe .
6. Возведение в степень
m
(a1  jb1 ) 
 (F1e
j 1 m
) 
m jm 1
 F1 e
j
 Fe .

7. Некоторые соотношения
j 1
2
j  1
3
1  j
j
j  j
je
j90
1e
j0
 je
 j90
1 e
j180
Действия
с синусоидальными
величинами
Рассмотрим действия
с синусоидальными
величинами, имеющими
одинаковую угловую
частоту 
1. Сложение
f (t )  2F sin( t   ) 
 f1 ( t )  f 2 ( t )
f1 (t )  2F1 sin( t   1 ) 
 F1  F1e
j 1
f 2 (t )  2F2 sin( t   2 ) 
 F 2  F2e
j 2
Для определения
используются:
F
и

а) комплексные числа
F1е
j 1
 F2е
j 2
 определяются
 Fе
j
F и
б) вектора на комплексной
плоскости
j
0
F1
1  0
 2 0
F2
F  Fe

j
+1
графически
определяем
Fи
2. Вычитание
f (t )  2F sin( t   ) 
 f1 ( t )  f 2 ( t )
f1 ( t ) 
f 2 (t ) 
F1  F1e
j 1
F 2  F2e
j 2
Для определения
используются:
F
и

а) комплексные числа
F1е
j 1
 F2е
j 2
 определяются
 Fе
j
F и
б) вектора на комплексной
плоскости
j
0
F1
1  0
 2 0
F2
F  Fe

j
+1
графически
определяем
Fи
3. Дифференцирование
f (t )  2F sin( t   ) 
 F  Fe
j
df (t )
 2F sin( t    90) 
dt
 Fe
j(   90 )
 jF
В результате при
f (t )  F
имеем
df (t )
 jF
dt
Таким образом
дифференцированию
синусоидальной функции
соответствует умножение
изображающего ее комплекса
на j
4. Интегрирование
f (t )  2F sin( t   ) 
 F  Fe

j
2F
f (t )dt 
sin( t    90) 

F j(  90 ) F
 e


j
В результате при
f (t )  F
имеем

F
f (t )dt 
j
Таким образом интегрированию
синусоидальной функции
соответствует деление
изображающего ее комплекса
на j