Выполнила: ученица 11 класса МБОУ «Среднекибечская СОШ» Канашского района ЧР Лукина Марина

Выполнила: ученица 11 класса
МБОУ «Среднекибечская СОШ»
Канашского района ЧР
Лукина Марина
Проверила: учительница математики
Тимофеева Г.Ф.
«Число , место и комбинация – три
взаимно перекрещивающиеся, но
отличные сферы мышления, к
которым можно отнести все
математические идеи».
Дж. Сильвестр




Понятие комбинаторики
Актуальность и применение комбинаторики
Разделы комбинаторики
Методы решения комбинаторных задач

Комбинаторика – это раздел
математики, в котором изучаются
вопросы о том, сколько различных
комбинаций, подчиненных тем или
иным условиям, можно составить из
заданных объектов.
Комбинаторика – один из разделов дискретной математики, который приобрел большое значение в связи с
использованием его в теории вероятностей, математической логике, теории чисел, вычислительной технике,
кибернетике.
Элементы теории вероятностей, в частности элементы комбинаторики, на современном этапе являются
составной частью всего курса математики, начиная с начальной школы. Поэтому знание этого раздела
математики необходимо студентам – будущим учителям. От увлеченности учителя элементами комбинаторики,
от умения решать комбинаторные задачи зависит заинтересованность учеников этим материалом.
В практической деятельности человеку часто приходится иметь дело с задачами, в которых нужно подсчитать
число всех возможных способов расположения некоторых предметов или число всех возможных способов
осуществления некоторого действия. Приходится выбирать из некоторого конечного множества совокупности
объектов его подмножества, обладающие тем или иным свойством, подсчитывать, сколько различных
комбинаций можно составить из конечного числа элементов, принадлежащих данной совокупности,
располагать эти элементы в определенном порядке.
С комбинаторными вычислениями приходится иметь дело представителям многих специальностей: прорабу
при распределении между рабочими различных видов работ, диспетчеру при составлении графика движения.
Завуч школы, составляя расписание учебных занятий, использует разные комбинации, шахматист из различных
комбинаций выбирает наилучшую и т.д.
В этих задачах речь идет о тех или иных комбинациях. Задачи такого типа называются комбинаторными, а
область математики, в которой изучают комбинаторные задачи, называют комбинаторикой.
Появление компьютеров резко увеличило возможности комбинаторики и расширило сферу ее применения.
Комбинаторные методы применяются в физике, химии, биологии, экономике, лингвистике и многих других
науках.
1) понятие комбинаторных задач
2)основные методы решения
комбинаторных задач






Перечислительная комбинаторика ( задачи о перечислении и подсчете количества
различных конфигураций)
Структурная комбинаторика (теории графов)
Экстремальная комбинаторика (примером этого раздела может служить
следующая задача: какова наибольшая размерность графа, удовлетворяющего
определённым свойствам)
Теория Рамсея
Вероятностная комбинаторика (этот раздел отвечает на вопросы вида: какова
вероятность присутствия определённого свойства у заданного множества.)
Топологическая комбинаторика
Если элемент а можно выбрать т способами, а элемент b –
n способами, причем любой выбор элемента а отличается от
любого выбора элемента b, то выбор «а или b» можно
осуществить способами.
При использовании правила суммы надо следить, чтобы ни
один из способов выбора объекта А не совпадал с какимлибо способом выбора объекта В.
Если такие совпадения есть, правило суммы утрачивает
силу, и мы получаем лишь (m + n - k) способов выбора, где
k—число совпадений.
На тарелке лежат 6 яблок и 3 груши. Сколькими
способами можно выбрать тот или иной фрукт?
Решение. По условию задачи яблоко можно
выбрать шестью способами, а грушу – тремя. Так
как
в задаче речь идет о выборе «либо яблоко, либо
груша», то, чтобы ответить на вопрос задачи,
необходимо сложить количество выборов этих
фруктов, т.е. 6 + 3 = 9. Значит, девятью способами
можно выбрать один из фруктов.
Говорят, что в данном случае задача решена по
правилу суммы.
Если элемент а можно выбрать т
способами, элемент b можно
выбрать п способами, то пару (а, b)
можно выбрать т × п способами
Из Сургута до Тюмени можно добраться поездом, теплоходом, самолетом, автобусом;
из Тюмени до Екатеринбурга – самолетом, поездом и автобусом. Сколькими
способами можно осуществить путешествие по маршруту Сургут – Тюмень –
Екатеринбург?
Решение. Очевидно, число разных путей из Сургута до Екатеринбурга равно так как,
выбрав один из четырех возможных способов путешествия от Сургута до Тюмени, имеем
три возможных способа путешествия от Сургута до Екатеринбурга
Комбинаторные соединения — это такие
комбинации из каких-либо элементов.
Типы соединений:
 Перестановки
 Размещения
 Сочетания
Примеры комбинаторных соединений:
 Пятизначные числа, составленные из цифр 1, 2,
3, 4, 5 так, чтобы цифры в числе не повторялись
(например 23451; 34521; 12543)
 Расстановка 3-ёх книг на полке (например 1-ая;
2-ая; 3-я или 2-ая; 1-ая; 3-я )
 Отрезки, соединяющие
точки A, B, C, D (например AB; AC; AD )
Перестановки без повторений — комбинаторные соединения,
которые могут отличаться друг от друга лишь порядком
входящих в них элементов.
формула для нахождения количества перестановок без
повторений:
Перестановки с повторениями — комбинаторные соединения, в
которых среди образующих элементов имеются одинаковые.В
таких соединениях участвуют несколько типов объектов, причём
имеется некоторое количество объектов каждого типа. Поэтому в
выборках встречаются одинаковые.
формула для нахождения количества перестановок с
повторениями:
Размещения без повторений — комбинаторные соединения,
составленные из n элементов по m. При этом два соединения считаются
различными, если они либо отличаются друг от друга хотя бы одним
элементом, либо состоят из одних и тех же элементов, но
расположенных в разном порядке.
формула для нахождения количества размещений без повторений:
Размещения с повторениями — комбинаторные соединения,
составленные из n элементов по m. При этом каждый из n элементов
может содержаться сколько угодно раз или вообще отсутствовать.
формула для нахождения количества размещений с повторениями:
Сочетания без повторений — комбинаторные соединения
из n элементов по m, составленные из этих элементов и
отличающиеся друг от друга только составом.
формула для нахождения количества сочетаний
без повторений:
Сочетания с повторениями — комбинаторные соединения
из n элементов по m, составленные из этих элементов без
учета порядка с возможностью многократного повторения
предметов.
формула для нахождения количества сочетаний
с повторениями:

Факториал числа — это произведение всех натуральных чисел до этого числа включительно.
Обозначается с восклицательным знаком в конце.
n! = 1 · 2 · 3 · 4 · … · (n-2) · (n-1) · n
Случай 0! определен и имеет значение 0!=1, соответствующее комбинаторной интерпретации комбинации нуля объектов,
другими словами, есть единственная комбинация нуля элементов, а именно: пустое множество.
Ниже приведены значения факториалов от 0 до 10.
0! = 1
1! = 1
2! = 1 · 2 = 2
3! = 1 · 2 · 3 = 6
4! = 1 · 2 · 3 · 4 = 24
5! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 = 120
6! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 = 720
7! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 = 5040
8! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 · 8 = 40320
9! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 · 8 · 9 = 362880
10! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 · 8 · 9 · 10 = 3628800
Свойство факториала:
(n + 1)! = (n + 1) · n!
Например:
(5 + 1)! = (5 + 1) · 5!
Действительно
6! = (1 · 2 · 3 · 4 · 5) · 6 = 720
А значение (1 · 2 · 3 · 4 · 5) = 5! = 120